【文档说明】河北省石家庄市第二中学2022届高三暑假学科体验数学试题 含答案.docx,共(13)页,801.782 KB,由管理员店铺上传
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12022届高三暑假数学学科体验(8.29)满分:150分时间:120分钟一、单选题(共40分)1.若两条直线1:210lxay+−=与()2:2130laxay+−+=相互垂直,则a=()A.12−B.0C.12−或0D.2−或02.等差数列na中,已知70a,2100aa+,则na
的前n项和nS的最小值为()A.5SB.6SC.7SD.8S3.经过点()0,1P−作直线l,若直线l与连接()()1,2,2,1AB−的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为()A.045剟或135180剟B.45135
剟C.45135D.045剟或135180„4.已知数列na是等比数列,有下列四个命题:①na是等比数列;②1na是等比数列;③1nnaa++是等比数列;④1nnaa+是等比数列,其中正确命题的
序号是A.②④B.③④C.②③④D.①②③④5.若⊙221:5Oxy+=与⊙()()222:20OxmymR−+=相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是()A.3B.4C.5D.66.正项数列{}na满足11a=,211(2)30(1,)nnnnaa
aannN−−−+−−=,则133520192021111aaaaaa+++=L()A.12003534B.10106061C.12202021D.202054617.若等差数列{}na的公差不为0,数列{}na中的部分项组成的数列1k
a,2ka,3ka,nka,恰为等比数列,其中11k=,24k=,310k=,则满足100nk的最小的整数n是()A.6B.7C.8D.98.设A是双曲线()222210,0xyabab−=在第一象限内的点,F为其右焦点
,点A关于原点O的对称点为B,且FAFB⊥,24FAFBFA,则双曲线C的离心率的取值范围是()2A.15,33B.2,3C.17,53D.)2,+二、多选题(共20分,少选得2分
,错选不得分)9.已知数列na中,11a=,13nnaan++=,*nN,则下列说法正确的是()A.68a=B.2na是等差数列C.20300S=D.2213nnaa−−=10.过抛物线2:4Cyx=的焦点F的直线l与抛物线C交于()11,Axy,()2
2,Bxy两点,若1212120xxxxyy+++=,则直线l的斜率为()A.12B.2C.12−D.-211.设数列{}na的前n项和为nS,且满足11222nnaaan−+++=,则下列说法不正确的是()A.{}na可能为等差数列B.{}na一定为等比数列C.,n
N+使得3nS=D.2nnaa+的最小值为2212.如图,⊙O的半径等于2,弦BC平行于x轴,将劣弧BC沿弦BC对称,恰好经过原点O.如果直线–yxm=+与这两段弧只有两个交点,则m的取值可能是()A.94−B.0C.34D.2三、填空题(共20分)13.下列命题:①当直线l经过两点()1
1,Axy,()22,Bxy,12xx时,直线l的斜率为2121yyxx−−②直线ykxb=+与y轴交于一点B,则直线在y轴上的截距为OB③在x轴和y轴上截距相等的直线方程为xya+=④方程()()()()2
11211xxyyyyxx−−=−−表示过点()11,xy和()22,xy的直线.其中说法中正确的命题番号是______.14.若椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)和圆x2+y2=22bc+
有四个交点,其中c为椭圆的半3焦距,则椭圆的离心率e的取值范围为________.15.已知点P是地物线214yx=上的一个动点,则点P到直线1:43120lxy−−=和2:10ly+=的距离之和的最小值为________.1
6.等差数列na,nb的前n项和分别为nS,nT,若()*381421nnSnnNTn+=+,则67ab=___________.四、解答题(共70分)17.已知等差数列na,259,21aa==,nb是公差
为d的等差数列.(1)求na的通项公式.(2)求证:nab也是等差数列.18.已知圆C:22(4)4xy+−=,直线l:(31)(1)40mxmy++−−=.(1)证明直线l总与圆C相交;(2)当直线l被圆C所截得的弦长为23时,求直线l
的方程.19.在平面直角坐标系中,直线l过点()1,2A①若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,求直线l的方程;②直线:3=+myxb,且直线m与直线l关于直线1x=−对称,求直线l的方程与b的值.20.已知数列na满足:()1122,nnna
aannN++−=+,且121,2aa==.(1)求数列na的通项公式;(2)若数列nb满足()*1121,nnnnababnnN++=,且11b=.求数列nb的通项公式,并求其前n项和nT.21.在直角坐标系xoy中,曲线C:y=24x与
直线(),0ykxaa=+交与M,N两点,(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.422.已知椭圆E:22221xyab+=(a>
b>0)的左、右焦点分別为12,FF,离心率为32e=,过左焦点1F作直线1l交椭圆E于A,B两点,2ABF的周长为8.(1)求椭圆E的方程;(2)若直线2l:y=kx+m(km<0)与圆O:221xy+=相切,且与椭圆E交于M,N两点,22MFNF+是否存在最小值?若存在,求出22M
FNF+的最小值和此时直线2l的方程.52022届高三暑假数学学科体验(8.29)参考答案1.C因为12ll⊥,则()()221210aaaaa+−=+=,解得12a=−或0a=.故选:C.2.B∵等差数列na中,2
100aa+,∴210620aaa+=,即60a.又70a,∴na的前n项和nS的最小值为6S.故选:B3.D解:由图可知,经过点()0,1P−作直线l,当直线l过点A时斜率最小,过点B时斜率大,因为()0,1P−,()()1,2,2,1AB−,
所以2(1)1(1)1,11020PAPBkk−−−−−==−==−−,所以ta11n−,因为0180,所以045剟或135180„,故选:D4.A①:当等比数列na的公比是负数时,显然数列na中,存在某些项是负数,因此na没有意义
,故本命题是假命题;②:因为数列na是等比数列,所以有11nnaaq−=,其中q是等比数列的公比,因此有111111111()nnnaaqaq−−==,因为11211111()1(2,)111()nnnnaaqnnNqaaq−−−
==,所以1na是等比数列,故本命题是真命题;③:显然数列(1)nna=−是以1−为首项,公比为1−的等比数列,但是10nnaa−+=,因此数列1nnaa++不能成为等比数列,故本命题是假命题;④:因为数列na是
等比数列,所以有11nnaaq−=,其中q是等比数列的公比,因此有21111(2,)nnnnnnnnaaaqaqqnnNaaaa+−−−==,因此数列1nnaa+是等比数列,故本命题是真命题.故选:A5.B6由圆的几何性质知:当两圆在点A处的切线互相垂直时,切线分别过对方圆
心2O、1O,则在21RtOAO△中,15OA=,220OA=,斜边上的高为半弦,且21OOAB⊥,则12121211222AOOABSOOOAOA==,即55202AB=,所以AB4=.故选:B.6.B211(2)30(1,)nnnn
aaaannN−−−+−−=,1(1)[(3)]0nnnaaa−+−+=,0na,13nnaa−−=,数列{}na是等差数列,首项为1,公差为3,13(1)32nann=+−=−.212111111()(65)(61)66561nnaannnn−+==
−−+−+,133520192021111111111111010[(1)()()](1)6771360556061660616061aaaaaa+++=−+−++−=−=.故选:B.7.B解:等
差数列{}na的公差0d,其子数列{}nka恰为等比数列,由11k=,24k=,310k=,可得11kaa=,24kaa=,310kaa=,由24110aaa=,得2111(3)(9)adaad+=+,所以13ad=,所以1(1)(2
)naandnd=+−=+,所以子数列{}nka为首项为3d,公比为412aa=的等比数列,则132(2)nnknadkd−==+,所以1322nnk−=−,由100nk,得1322100n−−,所以1
234n−,解得7n…,所以满足100nk的最小的整数n是7.故选:B.8.C设双曲线的左焦点为1F,设1AFF=,则根据题意得111tan,42AFAFAFBF==,7则双曲线的离心率为2222
1tan21tancAFBFeaBFAF++===−−,令11tan,,42xx=,易知()211xfxx+=−在11,42单调递增,且1171,5432ff==,则()17,53fx
,即17,53e.故选:C.9.ABC解:因为13nnaan++=,*nN①,所以()1231nnaan+++=+②,所以②-①得23nnaa+−=,*nN又因为11a=,所以22a=,所以642368aaa=+=
+=,且奇数项和偶数项均为公差为3的等差数列,故AB正确;对于C选项,()()()2012341920391557Saaaaaa=++++++=++++()103573002+==,故C选项正确;对于D选项,由23nnaa+−=,*nN可知,2213nnaa−−=不成立,故错误
.故选:ABC10.BD设直线的方程为(1)ykx=−,联立24yx=得2222(24)0kxkxk−++=,所以,224=(24)40kk+−,212224kxxk++=,121xx=,由题得222211221212121244=164=
4yxyxyyxxyyxx===−−,,,.因为1212120xxxxyy+++=,所以222224+140,243,2kkkkk+−=+==.满足0.故选:BD11.ACD首先由题意11a=,由11222nnaaan−+++=
,得2n时,2121221nnaaan−−+++=−,相减得121nna−=,112nna−=,11a=也适合,所以112nna−=,数列{}na是等比数列,不是等差数列,A错,B正确;811112221212nnnS−−=
=−−,所以不存在*nN,使得3nS=,C错;0na,22222nnnnaaaa+=.当且仅当2nnaa=,即2na=时,等号成立,但1122nna−=,因此22取不到.D错误,故选:ACD.12.ABD将劣弧BC沿弦BC对称,恰好经过原点O,(3,1),(3,1)BC
−−−当直线过(3,1)B−−时,13m=−−,当直线过(3,1)C−时,13m=−+,当直线l与圆弧BOC相切时,222m=−,当直线l与⊙O弧相切时,22m=,当1313m−−−+或22222m−时
,直线–yxm=+与两段弧有两个交点.对于A:913134−−−−+,故A正确;对于B:13013−−−+,故B正确;对于C:3132224−+−,故C错误;对于D:222222−,故D正确;故选:ABD13.①④对于①,因为直线l经过两点()11
,Axy,()22,Bxy,12xx时,所以直线l的斜率为2121yyxx−−,故①正确;对于②,截距不是距离,是B点的纵坐标,其值可正可负.故②不正确;对于③,经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0,不能
表示为1xyab+=,故③不正确;对于④,此方程即直线的两点式方程变形,即()112121()()()yyxxyyxx−−=−−,故④正确.故答案为:①④.14.5335e.由题意可知,椭圆的上、下顶点在圆内,左、右顶点在圆外,9则22bacbbc++,整理得()
()22222142acacacc−−−,解得5335e.故答案为:5335e.15.3抛物线214yx=,即x2=4y的焦点坐标为(0,1),准线方程l2:y+1=0.由抛物线的定义,可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等,所以抛物线
上的点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值,转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0的最小值,03123169d−−==+.故答案为:3.16.16解:等差数列na,nb的前n项和分别为nS,n
T,()*381421nnSnnNTn+=+,∴(3814)2(21)2nnnnSnTn+=+,设()1(3814)22nnnknSnaa=+=+,∴1(3814)nknaa+=+,∴11(3814)262kaSk
==+=,(3812)nakn=−,∴6216ak=,设()1(21)22nnnknTnbb=+=+,∴1(21)nknbb+=+,1132kbT==,122nbkn=−,∴7272bk=.∴
6721616272akkb==.故答案为:16.17.(1)41nan=+;(2)详见解析.(1)解设等差数列na的公差为1d,由题意,得1011119421adad+=+=,,解得115=4ad=,---------------
--------------------------------------3分所以通项公式为()541nan=+−,即41nan=+.----------------------------------6分(2)∵nb是公差为d的等差数列,∴()11nbbnd=+−,-----
-------------------------------------------8分于是()1114nanbbadbnd=+−=+.------------------------------------------------10分而()1114414nnaabbbndbndd−
−=+−+−=为常数,所以nab是等差数列.------------------------------------------------12分18.(1)证明见解析;(2)1x=或3y
=.解:(1)证明:∵圆C:22(4)4xy+−=,∴圆心(0,4)C,半径2r=,∵直线l:(31)(1)40mxmy++−−=,整理得:(3)(4)0xymxy−++−=,令3040xyxy−=
+−=,解得:13xy==,∴直线l过定点(1,3)M,----------------------------------3分∴22(10)(34)22CMr=−+−==,∴定点(1,3)M在圆内,∴直线l总与圆C相交.------------
------------------------------------6分(2)∵直线l被圆C所截得的弦长为23,∴圆心(0,4)C到直线l的距离22223()2312dr=−=−=,-----------------------------
---------8分∵直线l:(31)(1)40mxmy++−−=,∴2222(31)0(1)444(31)(1)(31)(1)mmmdmmmm++−−−==++−++−,∴2241(31)(1)mmm−=++−
,解得13m=−或1m=,将13m=−或1m=,代入直线l:(31)(1)40mxmy++−−=,∴直线l的方程:1x=或3y=.---------------------------------------------
---12分19.①1yx=+或2yx=;②11b=;35yx=−+①当直线的截距均为0时,则直线l过(0,0)点,设直线方程为0AxBy+=,又()1,2A在直线上,则20AB+=,直线方程为2yx=;-----------------------------
------------3分11当直线的截距不为0时,设直线方程为1xyaa−=,代入()1,2A,得1a=−,则直线方程为1yx=+;综上所述,直线方程为1yx=+或2yx=;-----------
-------------------------------------6分②∵直线l过点()1,2A,∴点()1,2A关于直线1x=−对称的点()3,2−在直线m上,∴23(3)b=−+,解得11b=--------------------------------------
----------9分∴直线:311myx=+,其与直线1x=−交于点()1,8−,则点()1,8−在直线l上,由直线l过点()1,2A,则直线l:218211yx−−=−−−,即35yx=−+------------------------------------------------12分
20.(1)nan=;(2)12nnnb−=,1242nnnT−+=−.试题解析:(1)由()*1122,nnnaaannN+−=+知数列na为等差数列,且首项为1,公差为211aa−=,所以nan=;--------------------------
--4分(2)∵()121nnnbnb+=+,∴()11·112nnbbnnn+=+,∴数列nbn是以111b=为首项,12为公比的等比数列,----------------6分112nnbn−=,从而12nnnb−=,---
---------------------------------------------8分01221123122222nnnnnT−−−=+++++,23111231222222nnnnnT−−=+++++,∴211111112212122222221
2nnnnnnnnnT−−+=++++−=−=−−,所以1242nnnT−+=−.------------------------------------------------12分21.(Ⅰ)0axya−−=或0axya++=(Ⅱ)存在试题解析:(Ⅰ)由题设可
得(2,)Maa,(22,)Na−,或(22,)Ma−,(2,)Naa.∵12yx=,故24xy=在x=22a处的导数值为a,C在(22,)aa处的切线方程为(2)yaaxa−=−,即0axya−−=.-----
-------------------------------------------3分12故24xy=在x=-22a处的导数值为-a,C在(22,)aa−处的切线方程为(2)yaaxa−=−+,即0axya++=.故所求切线方程
为0axya−−=或0axya++=.------------------------------------------------6分(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为复合题意得点,11(,)Mxy,22(,)Nxy,直线PM,PN的斜率
分别为12,kk.将ykxa=+代入C得方程整理得2440xkxa−−=.∴12124,4xxkxxa+==−.---------------------------------------------
---8分∴121212ybybkkxx−−+=+=1212122()()kxxabxxxx+−+=()kaba+.---------------------------------------10分当=−ba时,有12kk+=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠OPM=∠OPN,所以(0,)Pa−符合题意.------------------------------------------------12分22.(1)2214xy+=;(2)最小值为2,230xy−−=或230x
y+−=.(1)依题意,结合椭圆定义知2ABF的周长为4a,则有4a=8,即a=2,又椭圆的离心率为32cea==,得3c=,于是得2221bac=−=,所以椭圆E的方程为2214xy+=;--------
----------------------------------------4分(2)因直线2l:y=kx+m(km<0)与圆O:221xy+=相切,则2||11mk=+,即221mk=+,--6分设()()()112212,,,,2,2MxyNxyxx,而点
M在椭圆E上,则221114xy+=,即221114xy=−,又2(3,0)F,222221121111133(3)(3)1234|2|442xxMFxyxxx=−+=−+−=−+=−=1322x−,同理22322NFx=−,于是得()2212342
MFNFxx+=−+,--------------------------------------8分由2214ykxmxy=++=消去y得:()222148440kxkmxm+++−=,显然Δ0,13则122814kmxxk+=−+,又km<
0,且221mk=+,因此得()221222818||1441kkkmxxkk++==++,----------------------------10分令2411tk=+,则212223114432123()333xxttt+=+−=−−+,当且仅当113t=,即t=3时等号成立,于是得
22MFNF+存在最小值,且()22123422MFNFxx+=−+,22MFNF+的最小值为2,由2221413mkk=++=,且km<0,解得2262km==−或2262km=−
=.所以所求直线2l的方程为2622yx=−或2622yx=−+,即230xy−−=或230xy+−=.------------------------------------------------12分