【文档说明】河北省石家庄市第二中学2022届高三暑假学科体验数学试题 含答案.docx，共(13)页，801.782 KB，由管理员店铺上传

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12022届高三暑假数学学科体验（8.29）满分：150分时间：120分钟一、单选题(共40分)1．若两条直线1:210lxay+−=与()2:2130laxay+−+=相互垂直，则a=（）A．12−B．0C．12−或0D．2

−或02．等差数列na中，已知70a，2100aa+，则na的前n项和nS的最小值为（）A．5SB．6SC．7SD．8S3．经过点()0,1P−作直线l，若直线l与连接()()1,2,2,1AB−的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A．045剟或135180

剟B．45135剟C．45135D．045剟或135180„4．已知数列na是等比数列，有下列四个命题：①na是等比数列；②1na是等比数列；③1nnaa++是等比数列；④1nnaa+是等比数列，其中正确命题的序号是A．②④B．③

④C．②③④D．①②③④5．若⊙221:5Oxy+=与⊙()()222:20OxmymR−+=相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）A．3B．4C．5D．66．正项数列{}na满足11a=，211

(2)30(1,)nnnnaaaannN−−−+−−=，则133520192021111aaaaaa+++=L（）A．12003534B．10106061C．12202021D．202054617．若等差数列

{}na的公差不为0，数列{}na中的部分项组成的数列1ka，2ka，3ka，nka，恰为等比数列，其中11k=，24k=，310k=，则满足100nk的最小的整数n是（）A．6B．7C．8D．98．设A是双曲线()22

2210,0xyabab−=在第一象限内的点，F为其右焦点，点A关于原点O的对称点为B，且FAFB⊥，24FAFBFA，则双曲线C的离心率的取值范围是（）2A．15,33B．2,3C．17,53D．)2,+二、多选题(共20分,少选得2分，错选

不得分)9．已知数列na中，11a=，13nnaan++=，*nN，则下列说法正确的是（）A．68a=B．2na是等差数列C．20300S=D．2213nnaa−−=10．过抛物线2:4Cy

x=的焦点F的直线l与抛物线C交于()11,Axy，()22,Bxy两点，若1212120xxxxyy+++=，则直线l的斜率为（）A．12B．2C．12−D．-211．设数列{}na的前n项和为nS，且满足1

1222nnaaan−+++=，则下列说法不正确的是（）A．{}na可能为等差数列B．{}na一定为等比数列C．,nN+使得3nS=D．2nnaa+的最小值为2212．如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O.如果

直线–yxm=+与这两段弧只有两个交点，则m的取值可能是（）A．94−B．0C．34D．2三、填空题(共20分)13．下列命题：①当直线l经过两点()11,Axy，()22,Bxy，12xx时，直线l的斜率为2121yyxx−−②直线ykxb=+与y轴交于一点B，则直线在y轴上的截距为

OB③在x轴和y轴上截距相等的直线方程为xya+=④方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示过点()11,xy和()22,xy的直线．其中说法中正确的命题番号是______．14．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝

22bc+有四个交点，其中c为椭圆的半3焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为________．15．已知点P是地物线214yx=上的一个动点，则点P到直线1:43120lxy−−=和2:10ly+=

的距离之和的最小值为________.16．等差数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，若()*381421nnSnnNTn+=+，则67ab=___________.四、解答题(共70分)17．已知等差数列na，259,21aa==，n

b是公差为d的等差数列.（1）求na的通项公式.（2）求证：nab也是等差数列.18．已知圆C：22(4)4xy+−=，直线l：(31)(1)40mxmy++−−=.（1）证明直线l总与圆C相交；（2）当直线l被圆C所截得的弦长为23时，求直线l的方程.19．在平面直角坐标系中，直线l

过点()1,2A①若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；②直线:3=+myxb，且直线m与直线l关于直线1x=−对称，求直线l的方程与b的值．20．已知数列na满足：()1122,nnnaa

annN++−=+，且121,2aa==.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足()*1121,nnnnababnnN++=，且11b=.求数列nb的通项公式，并求其前n项和nT

.21．在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线(),0ykxaa=+交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

422．已知椭圆E：22221xyab+=（a＞b＞0）的左、右焦点分別为12,FF，离心率为32e=，过左焦点1F作直线1l交椭圆E于A，B两点，2ABF的周长为8.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线2l：y=kx+m(k

m<0)与圆O：221xy+=相切，且与椭圆E交于M，N两点，22MFNF+是否存在最小值？若存在，求出22MFNF+的最小值和此时直线2l的方程.52022届高三暑假数学学科体验（8.29）参考答案1．C因为12ll⊥，则()()221210aaaaa+−=+

=，解得12a=−或0a=.故选：C.2．B∵等差数列na中，2100aa+，∴210620aaa+=，即60a．又70a，∴na的前n项和nS的最小值为6S．故选：B3．D解：由图可知，经过点()0,1P−作直线l，当直线l过点A时斜率最小，过

点B时斜率大，因为()0,1P−，()()1,2,2,1AB−，所以2(1)1(1)1,11020PAPBkk−−−−−==−==−−，所以ta11n−，因为0180，所以045剟或135180

„，故选：D4．A①：当等比数列na的公比是负数时，显然数列na中，存在某些项是负数，因此na没有意义，故本命题是假命题；②：因为数列na是等比数列，所以有11nnaaq−=，其中q是等比数列的公比，因此有111111111()nnnaaqaq−−==，因为11211111

()1(2,)111()nnnnaaqnnNqaaq−−−==，所以1na是等比数列，故本命题是真命题；③：显然数列(1)nna=−是以1−为首项，公比为1−的等比数列，但是10nnaa−+=，因此数列1nnaa++不能成为等比数列，故本命题是假命题；④：因为数列

na是等比数列，所以有11nnaaq−=，其中q是等比数列的公比，因此有21111(2,)nnnnnnnnaaaqaqqnnNaaaa+−−−==，因此数列1nnaa+是等比数列，故本命题是真命题.故选：A5．B6由圆

的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心2O、1O，则在21RtOAO△中，15OA=，220OA=，斜边上的高为半弦，且21OOAB⊥，则12121211222AOOABSOOOAOA==，即55202AB=，所以AB4=.故选：B．6．B211(2)30(

1,)nnnnaaaannN−−−+−−=，1(1)[(3)]0nnnaaa−+−+=，0na，13nnaa−−=，数列{}na是等差数列，首项为1，公差为3，13(1)32nann=+−=−.212111111()(65)(61)

66561nnaannnn−+==−−+−+，133520192021111111111111010[(1)()()](1)6771360556061660616061aaaaaa+++=−+−++−=−=.故选：B.7．B解：等

差数列{}na的公差0d，其子数列{}nka恰为等比数列，由11k=，24k=，310k=，可得11kaa=，24kaa=，310kaa=，由24110aaa=，得2111(3)(9)adaad+=+，所以

13ad=，所以1(1)(2)naandnd=+−=+，所以子数列{}nka为首项为3d，公比为412aa=的等比数列，则132(2)nnknadkd−==+，所以1322nnk−=−，由100nk，得1322100n−

−，所以1234n−，解得7n…，所以满足100nk的最小的整数n是7．故选：B．8．C设双曲线的左焦点为1F，设1AFF=，则根据题意得111tan,42AFAFAFBF==，7则双曲线的离心率为22221

tan21tancAFBFeaBFAF++===−−，令11tan,,42xx=，易知()211xfxx+=−在11,42单调递增，且1171,5432ff==，则

()17,53fx，即17,53e.故选：C.9．ABC解：因为13nnaan++=，*nN①，所以()1231nnaan+++=+②，所以②-①得23nnaa+−=，*nN又因为11a=，所以22a

=，所以642368aaa=+=+=，且奇数项和偶数项均为公差为3的等差数列，故AB正确；对于C选项，()()()2012341920391557Saaaaaa=++++++=++++()103573002+==，故C选项正确；对于D选项，

由23nnaa+−=，*nN可知，2213nnaa−−=不成立，故错误.故选：ABC10．BD设直线的方程为(1)ykx=−，联立24yx=得2222(24)0kxkxk−++=，所以,224=(24)40kk+−，212224kxxk++=，121xx=,由题得2222112212

12121244=164=4yxyxyyxxyyxx===−−，，，.因为1212120xxxxyy+++=，所以222224+140,243,2kkkkk+−=+==.满足0.故选：

BD11．ACD首先由题意11a=，由11222nnaaan−+++=，得2n时，2121221nnaaan−−+++=−，相减得121nna−=，112nna−=，11a=也适合，所以112nna−=，数列{}na是等比数列，不是等差

数列，A错，B正确；811112221212nnnS−−==−−，所以不存在*nN，使得3nS=，C错；0na，22222nnnnaaaa+=．当且仅当2nnaa=，即2na=时，等号成立，但1122nna−=，因此22取不到．D错误，故选：ACD．12．ABD将劣弧BC

沿弦BC对称，恰好经过原点O，(3,1),(3,1)BC−−−当直线过(3,1)B−−时，13m=−−，当直线过(3,1)C−时，13m=−+，当直线l与圆弧BOC相切时，222m=−，当直线l与⊙O

弧相切时，22m=，当1313m−−−+或22222m−时，直线–yxm=+与两段弧有两个交点.对于A：913134−−−−+，故A正确；对于B：13013−−−+，故B正确；对于C：3132224−+−，故C错误；对于D：222222−，故

D正确；故选:ABD13．①④对于①，因为直线l经过两点()11,Axy，()22,Bxy，12xx时，所以直线l的斜率为2121yyxx−−，故①正确；对于②，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负．故②

不正确；对于③，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为1xyab+=，故③不正确；对于④，此方程即直线的两点式方程变形，即()112121()()()yyxxyyxx−−=−−，故④正确．故答案为：①④.14．5335e.由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆

外，9则22bacbbc++，整理得()()22222142acacacc−−−，解得5335e.故答案为：5335e.15．3抛物线214yx=,即x2=4y的焦点坐标为(0,1),准线方程l2:y+1=0

.由抛物线的定义,可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等,所以抛物线上的点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值,转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0的最小值,03123169

d−−==+.故答案为:3.16．16解：等差数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，()*381421nnSnnNTn+=+，∴(3814)2(21)2nnnnSnTn+=+，设()1(3814)22nnnknSnaa=+=+，∴

1(3814)nknaa+=+，∴11(3814)262kaSk==+=，(3812)nakn=−，∴6216ak=，设()1(21)22nnnknTnbb=+=+，∴1(21)nknbb+=+，1132kbT==，122

nbkn=−，∴7272bk=.∴6721616272akkb==.故答案为：16.17．（1）41nan=+；（2）详见解析.（1）解设等差数列na的公差为1d，由题意，得1011119421adad+=+=，，解得115=4ad=，-----------

------------------------------------------3分所以通项公式为()541nan=+−，即41nan=+.----------------------------------6分（2）∵nb是公差为d

的等差数列，∴()11nbbnd=+−，------------------------------------------------8分于是()1114nanbbadbnd=+−=+.-----------------

-------------------------------10分而()1114414nnaabbbndbndd−−=+−+−=为常数，所以nab是等差数列.------------------------------------------------12分18

．（1）证明见解析；（2）1x=或3y=.解：（1）证明：∵圆C：22(4)4xy+−=，∴圆心(0,4)C，半径2r=，∵直线l：(31)(1)40mxmy++−−=，整理得：(3)(4)0xymxy−++−=，令3040xyxy−=+−=，解得：13xy==，∴直线l过

定点(1,3)M，----------------------------------3分∴22(10)(34)22CMr=−+−==，∴定点(1,3)M在圆内，∴直线l总与圆C相交.------------------------------------------------6分（2）∵直

线l被圆C所截得的弦长为23，∴圆心(0,4)C到直线l的距离22223()2312dr=−=−=，--------------------------------------8分∵直线l：(31)(1)40mxmy++−−=，∴

2222(31)0(1)444(31)(1)(31)(1)mmmdmmmm++−−−==++−++−，∴2241(31)(1)mmm−=++−，解得13m=−或1m=，将13m=−或1m=，代入直线l：(31)(

1)40mxmy++−−=，∴直线l的方程：1x=或3y=.------------------------------------------------12分19．①1yx=+或2yx=；②11b=；35yx=−+①当

直线的截距均为0时，则直线l过(0,0)点，设直线方程为0AxBy+=，又()1,2A在直线上，则20AB+=，直线方程为2yx=；-----------------------------------------3分11当直线的截距不为0时，设直线方程为1xyaa−=，代入()1

,2A，得1a=−，则直线方程为1yx=+；综上所述，直线方程为1yx=+或2yx=；------------------------------------------------6分②∵直线l过点()1,2A，∴点()1,2A关于直线1x=−对称的点()3,2−在直线m

上，∴23(3)b=−+，解得11b=------------------------------------------------9分∴直线:311myx=+，其与直线1x=−交于点()1,8−，则点()1,8

−在直线l上，由直线l过点()1,2A，则直线l：218211yx−−=−−−，即35yx=−+------------------------------------------------12分20．(1)nan=；(2)1

2nnnb−=，1242nnnT−+=−.试题解析：（1）由()*1122,nnnaaannN+−=+知数列na为等差数列，且首项为1，公差为211aa−=，所以nan=；----------------------------4分（2）∵()121nnnbnb

+=+，∴()11·112nnbbnnn+=+，∴数列nbn是以111b=为首项，12为公比的等比数列，----------------6分112nnbn−=，从而12nnnb−=，--------------------------------------

----------8分01221123122222nnnnnT−−−=+++++，23111231222222nnnnnT−−=+++++，∴2111111122121222222212nnnnnnnnnT−−+=++++−=−=−−，所以1242nnnT−+=−.--------------

----------------------------------12分21．（Ⅰ）0axya−−=或0axya++=（Ⅱ）存在试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)Maa，(22,)Na−，或(22,)Ma−，(2,)N

aa.∵12yx=，故24xy=在x=22a处的导数值为a，C在(22,)aa处的切线方程为(2)yaaxa−=−，即0axya−−=.------------------------------------------------3

分12故24xy=在x=-22a处的导数值为-a，C在(22,)aa−处的切线方程为(2)yaaxa−=−+，即0axya++=.故所求切线方程为0axya−−=或0axya++=.----------------

--------------------------------6分（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线PM，PN的斜率分别为12,kk

.将ykxa=+代入C得方程整理得2440xkxa−−=.∴12124,4xxkxxa+==−.------------------------------------------------8分∴121212ybybkkxx−−+=+

=1212122()()kxxabxxxx+−+=()kaba+.---------------------------------------10分当=−ba时，有12kk+=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补

，故∠OPM=∠OPN，所以(0,)Pa−符合题意.------------------------------------------------12分22．（1）2214xy+=；（2）最小值为2，230xy−−=或230xy+−=.（1

）依题意，结合椭圆定义知2ABF的周长为4a，则有4a=8，即a=2，又椭圆的离心率为32cea==，得3c=，于是得2221bac=−=，所以椭圆E的方程为2214xy+=；------------------------------------------

------4分（2）因直线2l：y=kx+m(km<0)与圆O：221xy+=相切，则2||11mk=+，即221mk=+，--6分设()()()112212,,,,2,2MxyNxyxx，而点M在椭圆E上，则221114xy+=，即221114xy=−，又2(

3,0)F，222221121111133(3)(3)1234|2|442xxMFxyxxx=−+=−+−=−+=−=1322x−，同理22322NFx=−，于是得()2212342MFNFxx+=−+，--------------------

------------------8分由2214ykxmxy=++=消去y得：()222148440kxkmxm+++−=，显然Δ0，13则122814kmxxk+=−+，又km<0，且221mk=+，因此得()221222818||14

41kkkmxxkk++==++，----------------------------10分令2411tk=+，则212223114432123()333xxttt+=+−=−−+，当且仅当113t=，即t=3时等号成立，于

是得22MFNF+存在最小值，且()22123422MFNFxx+=−+，22MFNF+的最小值为2，由2221413mkk=++=，且km<0，解得2262km==−或2262km=−=.所以所求直线2l的方

程为2622yx=−或2622yx=−+，即230xy−−=或230xy+−=.------------------------------------------------12分