【文档说明】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.984 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-195b2540b7b25b40873934f165f6de14.html

以下为本文档部分文字说明：

官渡一中高二年级2019-2020学年上学期期末考试文科数学试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.设集合2|log1,AxxxR=，2{|log3}Bxx=，则AB=

（）A.(1,2)−B.(0,2)C.(1,8)−D.(0,8)【答案】B【解析】【分析】先利用对数不等式化简集合，再利用集合之间的交集运算求得结果即可.【详解】因为2|log1,AxxxR=()0,2=，2{|log3}Bxx=(0,8)=，所

以AB=(0,2).故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式和集合的交集运算，属于基础题.2.等差数列na的前n项和为nS，且1020S=，2015S=，则30S=()A.10B.20C.30−D.15−【答案】D【解析】【分析】由等差数列{}n

a的前n项和的性质可得：10S，1200SS−，3020SS−也成等差数列，即可得出．【详解】解：由等差数列{}na的前n项和的性质可得：10S，1200SS−，3020SS−也成等差数列，20101030202()()SSSSS−=

+−，302(1520)2015S−=+−，解得3015S=−．故选D．【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程

序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,nx的值分别为3,4，则输出v的值为A.6B.25C.100D.400【答案】C【解析】依据流程图中的运算程序，可知第一步3,3120ni==−=，则1426,2110vi=+==−=

；第二步程序继续运行，则64125,1100vi=+==−=；第三步程序继续运行；则2540100,0110vi=+==−=−，运算程序结束，输出100v=，应选答案C．4.在ABC中，90,2,4BBC

AB===，点D,E分别为边BC,AC的中点，则向量ADuuuv与BE的数量积ADBE=（）A.7B.-7C.9D.-9【答案】B【解析】【分析】把BE，AD都用BC，AB表示出来，求出其数量积，

再把已知条件带入即可求解．【详解】解：由三角形中线性质可得：12BE=（BABC+）1122BCAB=−；12ADABBDABBC=+=+；∴AD•BE=（1122BCAB−）•（12ABBC+）21144BCAB=+•21124BCAB−=22﹣01

2−42＝﹣7；故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查数形结合思想，考查计算能力．5.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选

择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成

绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A.获得A等级的人数减少了B.获得B等级的人数增加了1.5倍C.获得D等级的人数减少了一半D.获得E等级的人数相同【答案】B【

解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设2016年参加考试x人，则2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份ABCDE20160.28x0.32x0.30x0.08x0.02x2

0180.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.6.已知条件P：①是奇函数；②

值域为R；③函数图象经过第四象限．则下列函数中满足条件Р的是（）A.()22xxfx−=+B.1()fxxx=+C.13()fxx=−D.()sinfxx=【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义和值域的定义及其图象逐一

进行判断即可.【详解】对于A选项：()()22xxfxfx−−=+=,又因为()fx的定义域为R,关于原点对称,所以()fx为定义在R上的偶函数，故选项A不符合题意；对于B选项:()fx的定义域为()(),

00,−+,所以()fx的定义域关于原点对称,又因为()()1fxxfxx−=−+=−−,所以()fx为奇函数，①成立,当0x时，()1122fxxxxx=+=，当0x时，()()()11122fxxxxxxx=+=−−+−−=−−

−，故()fx的值域为(),22,−−+,②不成立,所以选项B不符合题意；对于C选项：因为13()fxx=−,所以()fx的定义域为R,关于原点对称,又因为()()()()1133fxxxfx−=−−==−,故13()fxx=−为奇函数

，因为函数13()fxx=−的图象是由幂函数13yx=的图象关于x轴翻折得到的,所以函数13()fxx=−值域为R，图像经过第四象限，所以选项C符合题意；对于D选项:因为()sinfxx=的定义域为R

,关于原点对称,又因为()()()sinsinfxxxfx−=−=−=−,所以函数()sinfxx=为奇函数,因为1sin1x−,所以函数()sinfxx=的值域为1,1−,不符合题意.所以选项D不符合题意；故选C

【点睛】本题考查函数的基本性质——奇函数的概念和值域的求解及其图象;求解本题的关键是熟练掌握函数的图象及性质;属于中档题.7.下列命题中，是假命题的是()A.0,4x，cossinxxB.xR，sincos2xx+C.函数()|sincos|fxxx=+的最小正周期

为2πD.42log323=【答案】C【解析】【分析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.【详解】对于A，0,4x，cossinxx0,,4442xx+，cossin2cos()04xxx−=+，即cos

sinxx，正确；对于B，xR，sincos2xx+，sincos2sin()24xxx+=+，故sincos2xx+，正确；对于C，函数()|sincos|fxxx=+的最小正周期为2π，()|sincos|2sin

()4fxxxx=+=+p，最小正周期为，错误；对于D，42log323=，根据对数运算法则知：24222log32log3log32223===，正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力．8.函数()1lnfxxx=−

的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过函数在2x=处函数有意义，在2x=−处函数无意义，可排除A、D；通过判断当1x时，函数的单调性可排除C，即可得结果.【详解】当2x=时，

110xx−=，函数有意义，可排除A；当2x=−时，1302xx−=−，函数无意义，可排除D；又∵当1x时，函数1yxx=−单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1lnfxxx=−单调递增，可排除C；故选B

.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.9.设函数23()cos2sin232fxxx=−+−，将函数()fx的图像向左平移

(0)个单位长度，得到函数()gx的图像，若()gx为偶函数，则的最小值是（）A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】【分析】利用恒等变换公式和诱导公式化简()fx，根据平移变换得()gx，根据()gx为偶函数可得结果.【详解】因为23()cos2sin2

32fxxx=−+−22cos2cossin2sin33xx=+sin(22)2x++−13cos2sin222xx=−+sin(2)2x++13cos2sin2cos222xxx=

−++31sin2cos222xx=+sin(2)6x=+，所以()sin2()6gxx=++sin(22)6x=++，因为()gx为偶函数，所以262k+=+，kZ，所以26k=+，kZ，因为0，所以0k=时，取最小值6

.故选：A.【点睛】本题考查了三角恒等变换公式、诱导公式，考查了根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.10.三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BCBD2==，AB2CD43==，则球O的表面积为()A.16πB.32πC

.60πD.64π【答案】D【解析】【分析】根据题意，在BCD中，利用正弦定理和余弦定理，求得BCD所在小圆的半径，在根据AB⊥平面BCD，利用勾股定理求得球的半径，即可求解求得表面积，得到答案．【详解】由题意，设BCD所在小圆的半径为r，且2,23BCBDCD===，在BCD中，

由余弦定理得2221cos22BCBDCDBBCCD+−==−，所以3sin2B=又由正弦定理得23242sin32CDrrB====，又因为AB⊥平面BCD，且43AB=，设球的半径为R，所以22222(2)(43)48RABr

=+=+=，所以4R=，所以球的表面积为2244464SR===，故选D．【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三

条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．11.已知圆C的方程为22(1)(1)2xy−+−=，点P在直线3yx=+上，线段AB为圆C的直径，则PAPB的最

小值为（）A.2B.52C.3D.72【答案】B【解析】【分析】将PAPB转化为2||2PC−，利用圆心到直线的距离求得||PC的取值范围求得PAPB的最小值.【详解】()()()()PAPBPCCAPCCBPCCAPCCA=++=+−22223||

||||222PCCAPC=−=−−52=.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.已知函数12,0()21,0xexfx

xxx−=−−+„，若关于x的方程23())0()(ffxaxa−+=R有8个不等的实数根，则a的取值范围是()A.10,4B.1,33C.()1,2D.92,4【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断

()fx的范围，然后利用二次函数的性质求解a的范围．【详解】解：函数12,0()21,0xexfxxxx−=−−+„，的图象如图：关于x的方程23())0()(ffxaxa−+=R有8个不等的实数根，()fx必须有两个不相

等的实数根且两根位于()1,2之间，由函数()fx图象可知()(1fx，2)．令()tfx=，方程2()3()0fxfxa−+=化为：23att=−+，(1,2)t，23att=−+，开口向下，对称轴为：32t=，可知：a的最大值为：2339()3224−+=，a的最小值为：2．92

,4a．故选：D．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx+

−−+−则zxy=+的最大值为__________．【答案】9【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当5,4xy==时，max9z=.【详解】不等式组表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)ABC为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数zxy=+的最

大值必在顶点处取得，易知当5,4xy==时，max9z=.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.14.某货轮在A处看到灯塔S在北偏东30°方向

，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75方向，此时货轮到灯塔S的距离为______海里【答案】122【解析】【分析】根据题意画出草图,在ABS中利用正弦定理,即可求得SB的长.【详解】由题意可知,30,

45ABSA==236243AB==海里.在ABS中,根据正弦定理可得:sinsinSBABABSA=241222SB=解得:122SB=海里此时货轮到灯塔S的距离为122海里.故答案为:122.【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用和数形结合思想,能够根据题意画出图像是解决本题的关键.15.已知直线l的倾斜角为3sin5=，，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为___________________.【答案】34110xy−+=

或34290xy+−=【解析】【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.【详解】因为3sin5=，所以2cos1sin54=−=，所以直线l的斜率为3=tan4k=，又因为

直线l经过点P(3,5)，所以直线l的方程为()3543xy−=−或()3543yx−−−=，所以直线l的一般式方程为34110xy−+=或34290xy+−=.故答案为34110xy−+=或34290xy+−=.【点睛】

本题主要考查利用直线的点斜式方程求解直线的方程，根据倾斜角求解直线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.已知数列{}na的前n项和为nS（*nN），且满足212nnSSnn++=+，若对*1,nn

nNaa+恒成立，则首项1a的取值范围是__________．【答案】13(,)44−【解析】因为212nnSSnn++=+，所以212(1)1,(2)nnSSnnn−+=−+−，两式作差得141,2nnaa

nn++=−，所以145,3nnaann−+=−，两式再作差得114,3nnaan+−−=，可得数列{}na的偶数项是以4为公差的等差数列，从3a起奇数项也是以4为公差的等差数列.若对*1,nnnNaa+恒成立，当且仅当12

34aaaa.又12213213,32,742aSaaaaa+==−=−=+，4311172aaa=−=−，所以1111324272aaaa−+−，解得：11344a−.即首项1a的取值范围是13,44−.17.如图,在△ABC中,点P在

BC边上,60,2,4PACPCAPAC==+=.（Ⅰ）求ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是332,求sinBAP.【答案】（I）60；（II）35738.【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得2AP=，则△APC是等边三角形.，故60ACP=

（II）由题意可得120APB=，又由133sin22APBSAPPBAPB==，可得以3PB=，再结合余弦定理可得19AB=，最后由正弦定理可得sinsinABPBAPBBAP=，即可得到sinB

AP的值试题解析：(Ⅰ)在△APC中,因为60,2,4PACPCAPAC==+=,由余弦定理得2222cosPCAPACAPACPAC=+−,所以()()2222424cos60APAPAPAP=

+−−−,整理得2440APAP−+=,解得2AP=.所以2AC=.所以△APC是等边三角形.所以60.ACP=(Ⅱ)法1:由于APB是△APC的外角,所以120APB=.因为△APB的面积是332,所以133si

n22APPBAPB=.所以3PB=.在△APB中,2222cosABAPPBAPPBAPB=+−2223223cos120=+−19=,所以19AB=.在△APB中,由正弦定理得sinsinABPBAPBBAP=,所以3sin1203

57sin3819BAP==.法2:作ADBC⊥,垂足为D,因为△APC是边长为2的等边三角形,所以1,3,30PDADPAD===.因为△APB的面积是332,所以13322ADPB=.所以3PB=.所以4BD=.在Rt△ADB中,22

19ABBDAD=+=,所以4sin19BDBADAB==,3cos19ADBADAB==.所以()sinsin30BAPBAD=−sincos30cossin30BADBAD=−4331

221919=−35738=.18.已知等比数列{}na的前n项和为()*234,2,,4nSnNSSS−成等差数列，且2341216aaa++=.（1）求数列{}na的通项公式；（2）若2(2)lognanbn=−+，求数列1{}nb

的前n项和nT.【答案】(1)12nna=−(2)32342(1)(2)nnTnn+=−++【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比q，代入2341216aaa++=中，求出q，即可求得数列{}na的通项公式；（2）把

数列{}na的通项公式代入nb中化简，代入求得1nb，再利用裂项相消求得nT．【详解】（1）设等比数列{}na的公比为q，由23424,,SSS−成等差数列知，324224SSS=−+，所以432aa=−，即12q=−.又2341216aaa++=，所以23111

1216aqaqaq++=，所以112a=−，所以等差数列{}na的通项公式12nna=−.（2）由（1）知1()22(2)log(2)nnbnnn=−+=+，所以11111(2)22nbnnnn==−++所以数列1nb的前n项和：1111

1111111224511233nTnnnn=−+−+−++−+−−++111112212nn=+−−++32342(1)(2

)nnn+=−++所以数列1nb的前n项和32342(1)(2)nnTnn+=−++【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项

相消、错位相减等，属于中档题．19.如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，2AEEBBC===，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，ACBDG=．（1）求证：//AE平面BFD；（2）求三棱锥CBGF−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（Ⅰ）由G是AC中点

证得F是AC中点，得中位线平行，再由线面平行的判定定理得//AE平面BFD；（Ⅱ）由等积法可得：解法一：CBFGGBCFVV−−=，计算即可．解法二：1144CBFGCABEABCEVVV−−−==计算即可．【详解】（Ⅰ）证明：依题意可知：G是AC中点．BF⊥平面ACE，则CEBF⊥，而

BCBE=．∴F是AC中点．在AEC中，//FGAE，AE平面BFD,FG平面BFD，∴//AE平面BFD；（Ⅱ）解法一：AD⊥平面,//,ABEADBCBC⊥平面ABE，BCAE⊥，又BF⊥平面ACE，,,BFAEB

FBCBAE⊥=⊥平面BCE，//,FGAEFG⊥平面BCE，13CBFGGBCFCFBVVSFG−−==，而11112212224CFBCEBBCSESB====，112FGAE==，111133CBF

GGBCFVV−−===．解法二：111444CBFGCABEABCEBCEVVVAES−−−===，因为1122222BCESBCBE===，2AE=14CBFGBCEVSAE−=11

2243==．【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，和三棱锥体积的计算，属于基础题.20.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人

行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章

人数y与月份x之间的回归直线方程ˆˆybxa=+；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：()()()1122211,ˆˆˆnniiiiiinniiiixynxyxxyybaybxxxxnx==−==−−−===−−−,参考数据：1

1415niiixy==.【答案】（1）ˆ8.5125.5yx=−+；（2）49.【解析】【分析】（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得ˆˆ,ba的值，得到回归直线方程；（2）令9x=，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人

数.【详解】（1）由表中数据知，3,100xy==，∴1221141515008.55545ˆniiiniixynxybxnx==−−===−−−，ˆ125.ˆ5aybx=−=，∴所求回归直线方程为8.512.5ˆ5yx=−+

.（2）令9x=，则8.591ˆ25.549y=−+=人.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得ˆˆ,ba的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知圆22:6630Cxxyy−+−+=，直线:

20+−=lxy是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线2yx=上．（1）求公共弦AB的长度；（2）求圆E的方程；（3）过点()1,0Q−分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，

且MNRS⊥，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．【答案】（1）27；（2）229xy+=；（3）最大值17，最小值122．【解析】【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；（2）圆E的圆心在直线2

yx=上，设圆心(,2)Eaa，求出圆心的半径即可得到圆的方程；（3）对直线MN，RS分两种情况讨论，即当过点(1,0)Q−的互相垂直的直线MN，RS为x轴，垂直于x轴时和当过点(1,0)Q−的互相垂直的直线MN，RS不垂直于x轴时，写出四边形MRNS

面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值．【详解】圆2222:6630(3)(3)15Cxxyyxy−+−+=−+−=，所以圆C的圆心坐标(3,3)，半径115r=，（1）圆心到直线:20+−=lxy的距离122|332|2211d+−==+，公共弦2211227ABrd=−=；（2

）圆E的圆心在直线2yx=上，设圆心(,2)Eaa，由题意得CEl⊥，23103aaa−==−，即(0,0)E，E到l的距离2222d==，所以E的半径22221()2732rdAB=+=+=，所以圆E的方程：229xy+=；（3）当过点(1,0)Q−的互相垂直的直线MN，RS为x轴，垂直于

x轴时，2||26MNr==，这时直线RS的方程为1x=−，代入到圆E中，||22y=，所以||42RS=，四边形MRNS的面积11||||64212222sMNRS===；当过点(1,0)Q−的互相垂直的直线MN，RS不垂直于x轴时，设直线MN为：11xmyxmy=−

−+，则直线RS为：(1)0ymxmxym=−+++=，所以圆心E到直线MN的距离211hm=+，圆心E到直线RS的距离2||1mhm=+，2221||2291MNrhm=−=−+，2221||292811mRSmm=−=+++，设21(01)1t

tm=+，当0t=或1时，正好是x轴及垂直x轴，面积2129282722stttt=−+=−++，当12t=时，s最大且17s=，0t=或1时，s最小122，四边形MRNS面积的最大值17，最小值122．【点睛】本题主要考查直

线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题．22.已知函数3()fxx=−.（1）若R，()()2cos2sin220fmfm++−−恒成立，求m的取值范围；（2）若3()(sin())gxfx=+，是否存在实数x，使得()3()2

gxQgx++，()23()gxQgx++都成立？请说明理由.【答案】（1）12m−；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据()fx的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到2cos2sin22mm++恒成立，利用参变分离，得到m的取值范

围；（2）假设x存在，整理()3()2gxgx++和()23()gxgx++，设tan3xp+=，13tanqx+=，(),pqQ得到()()331pq−−=，按照0pq+=和0pq+进行分类讨论，从而证明不存在所需的x.【详解】（

1）3()fxx=−，为R上的奇函数，单调递减，所以()()2cos2sin220fmfm++−−恒成立，可得()()()2cos2sin2222fmfmfm+−−−=+所以2cos2sin22mm++恒成立即()221sincos2m−−恒成

立，当sin1=时，该不等式恒成立，当sin1时，()21sin21sinm−−−，设(1sin0,2t=−，则()()()22111sin21sin2tht−−−−−==−112222tt−

=−+−，当且仅当2tt=，即2t=时，等号成立，所以12m−.（2）()3()(sin())sinsingxfxxx=+=−+=所以()sin33tan3()sin22gxxxgxx+=+=+

++，sin()122333()sintanxgxgxxx+++=+=+假设存在实数x，使得tan3xQ+和13tanQx+都成立，设tan3xp+=，13tanqx+=，(),pqQ则()()331pq−−=，()32

pqpq−+=−，若0pq+=，则2pq=−，解得2p=，2q=−或2p=−，2q=，均不是有理数，若0pq+，则23pqpq+=+，其中3Q，而2pqQpq++，所以不成立，综上所述，故不存在实数x，使得()3()2gxQgx++，()

23()gxQgx++都成立.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.