山东大学附属中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试(8月)+数学+PDF版含解析

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【文档说明】山东大学附属中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试(8月)+数学+PDF版含解析.pdf,共(8)页,1.380 MB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

第1页,共4页山大附中高三年级开学摸底测试数学试题一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.已知集合���={���∈≤5},集合���={���|���(���−2)>0},则�

��∩���=()A.{2,3,4}B.{3,4,5}C.[2,5)D.(2,5]2.已知���=1−���2+2���,则���·���=()A.14B.���C.0D.13.已知向量�����=(1,1),�����=(1,−1).若��������+�����//

�����+��������,则()A.���+���=1B.���+���=−1C.������=1D.������=−14.设函数���(���)=2���(���−���)在区间−1,0单调递增,则�

��的取值范围是()A.(−∞,−2]B.[−2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)5.设曲线���1:���2���2+���2=1(���>1),���2:���24−���2=1的离心率分别为���1,���2.若���2=5���1,则���=()A.23

3B.2C.3D.66.过点(0−2)与圆���2+���2−4���−1=0相切的两条直线的夹角为2���则sin���=()A.1B.154C.104D.647.记������为数列{������}的前���项和,设甲:{������}为等

差数列:乙:{���������}为等差数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知2sin(���−���4)cos(���+���)=cos2�

��,且sin���≠0,则tan(���+���6)的值为()A.3B.33C.2−3D.2+3{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}第2页,共4页二、多选题

(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9.一组样本数据���1,���2,⋅⋅⋅,���6,且成等差数列,其中���1是最小值,���6是最大值,则()A.���2,���3,���4,���5的平均数等于���1,���2,⋅⋅⋅,���6的平均数B.���2

,���3,���4,���5的中位数等于���1,���2,⋅⋅⋅,���6的中位数C.���2,���3,���4,���5的标准差不小于���1,���2,⋅⋅⋅,���6的标准差D.���2,���3,���4,���5的极差不大于���1,���2,⋅⋅⋅,���6的极差

10.拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明,对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算.2017年5月23日至27日,围棋世界冠军柯洁与������������������������公司开发的程序“���������ℎ�����

����”进行三局人机对弈,以复杂的围棋来测试人工智能围棋复杂度的上限约为���=3361,而根据有关资料,可观测宇宙中普通物质的原子总数约为���=1080.若两数常用对数之差的绝对值不超过1,则称两数“可相互替代”.下列数值与������

的值“可相互替代”的有()(参考数据:lg2=0.301,lg3=0.477)A.1091B.1092C.1093D.109411.已知函数���(���)的定义域为���,���(������)=������(���)+������(���),则()

A.���(0)=0B.���(−1)=0C.���(���)是奇函数D.���=0为���(���)的极大值点12.下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:���)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99���的球体B.所有棱长均

为1.4���的四面体C.底面直径为0.01���,高为1.8���的圆柱体D.底面直径为1.2���,高为0.01���的圆柱体三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课

中选修2门或3门课,则不同的选课方案共有种(用数字作答).14.在正四棱台������������−���1���1���1���1中,������=2,���1���1=1,������1=2,则该棱台的表面积为{#{QQABYYw

QggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}第3页,共4页15.已知函数���(���)=cos������−1(���>0)在区间[0,2���]有且仅有3个极值点,则���的取值范围是.16.已知双曲线

���:���2���2−���2���2=1(���>0,���>0)的左右焦点分别为���1,���2,点���在���上,点���在���轴上,���1���������·���1���������=0,������2���

���=35�����������,则���的离心率为.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题10.0分)已知在△���������中,���+���=

3���,2sin(���−���)=sin���.(1)求sin���;(2)设������=5,求������边上的高.18.(本小题12.0分)如图,在三棱锥���−���������中,平面���������⊥平面���������,������

=������,���为������的中点.(1)证明:������⊥������;(2)若△���������是边长为1的等边三角形,点���在棱������上,������=2������,且二面角���−������−���的大小为45°,求三棱锥���−���

������的体积.19.(本小题12.0分)已知函数���(���)=���������+���−���.(1)讨论���(���)的单调性;(2)证明:当���>0时,���(���)>2ln���+32.{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQk

ACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}第4页,共4页20.(本小题12.0分)设等差数列{������}的公差为���,且���>1.令������=���2+���������,记������,������分别为数列�

�����,������的前���项和.(1)若3���2=3���1+���3,���3+���3=21,求������的通项公式;(2)若{������}为等差数列,且���99−���99=99,求���.21.(本小题12.0分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微

生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设���表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,���(���=���)=������(���=0,1,2,3).(1)已知���0=0.4,���1=0.3,���2=0.2,�

��3=0.1,求���(���);(2)设���表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,���是关于���的方程:���0+���1���+���2���2+���3���3=���的一个最小正实根,求证:当���(���)≤1时,���=1,当���(���)>1时,

���<1;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.22.(本小题12.0分)已知点���(2,1)在双曲线���:���2���2−���2���2−1=1(���>1)上,直线���交���于���,���两点,直线

������,������的斜率之和为0.(1)求���的斜率;(2)若tan∠���������=22,求△���������的面积.{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIg

GhAAEIAAAyBFABAA=}#}数学答案和解析1-8.������������������������9.���������10.������11.���������12.���������13.8414.5+3715.[32,2)(注:x=0不和题意)16.35517.【答案】解:(

1)∵���+���=3���,∴���−���=3���,解得���=���4...........1分∴2sin(���−���)=sin���可化为2sin(���−���4)=sin(���−���4−���),即2sin(���−���4)=si

n(3���4−���),展开得:2sin���−2cos���=22cos���+22sin���,整理得sin���=3cos���,..........3分将cos���=13sin���代入sin2���+cos2���=1,得109sin2���=1,∴sin2���=910,sin

���=31010......5分(2)由(1)知sin���=31010,cos���=13sin���=1010,���=���4,∴sin���=sin���+���4=22×31010+22×1010=255...........7分又∵������sin���=��

����sin���,∴������=������sin���sin���=5×25522=210,..........9分∴������边上的高ℎ=������sin���=210×31010=6...........10分18.【答案】

(1)证明:∵������=������,∴△���������是以������为底的等腰三角形,又∵���为������的中点,∴������⊥������,..........2分∵平面���������

⊥平面���������,且平面���������∩平面���������=������,������⊂平面���������,∴������⊥平面���������,∵������⊂平面���������,∴������⊥������...

........4分(2)解:以���为坐标原点,������为���轴,������为���轴,垂直������且过���的直线为���轴,建立空间直角坐标系.∵△���������是边长为1的等边三角形,∴���32,12,0,���0,1,0,���0,−1,0,...

.......6分不妨设���0,0,���(���>0),∵点���在棱������上,������=2������,∴���(0,13,2���3),∴BE����=0,43,2���3,BC����=32,32,0.......7分设向量������=���,���,���为平

面���������的法向量,设���=3,则���=−1,���=2���,即������=3,−1,2���..........8分显然OA�����=0,0,���是平面���������的法向量,∵二面角���−������−���的大小为45°,∴|������→·��

�→||������→|·|���→|=22,即|2���·4+4���2|=22,解得���=1(舍去−1),..........10分数学答案第1页共4页{#{QQABYYwQggCAQABAABh

CQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}∴������−���������=13���△���������·OA=13×12×2×32×1=36...........12分19.【答案】解:(1)���′

(���)=���������−1,..........1分当���=0时���′(���)=−1<0,���(���)在(−∞,+∞)单调递减,当���<0时���������<0,���′(���)<0,���(���)在(−∞,+∞)单调递减,当���>0时,令���′(���)=

0,���=−ln���,���∈(−∞,−ln���)时,���′(���)<0,���(���)单调递减.���∈(−ln���,+∞)时���′(���)>0,���(���)单调递增,故当���≤0时���(���)在(−∞,+∞)单调递减,当���>0时,��

�(���)在区间(−∞,−ln���)单调递减,在区间(−ln���,+∞)单调递增...........5分(2)由(1)知当���>0时,���(���)在区间(−∞,−ln���)单调递减,在区间(−ln���,+∞)单调递增.故���(���)min=���−ln���=���2+ln

���+1,..........7分令���(���)=���2+ln���+1−2ln���+32=���2−ln���−12,..........8分���′(���)=2���2−1���,令���′(���)=0,因为���>0,故���=22,

���(���)在区间(0,22)单调递减,在区间(22,+∞)单调递增,..........10分���(���)min=���22=−ln22>0,即���>0时,���(���)>0恒成立,即���(���)min>2ln���+32,即当���>0

时,���(���)>2ln���+32...........12分20.【答案】解:因为3���2=3���1+���3,故3���=���3=���1+2���,即���1=���,故������=������,所以������=���2+����

�����=���+1���,������=���(���+1)���2,..........2分������=���(���+3)2���,又���3+���3=21,即3×4���2+3×62���=21,即2���2−7���+3=0,故���=3或���=12(舍),故{������

}的通项公式为:������=3���...........4分(2)方法一:(基本量法)若{������}为等差数列,则2���2=���1+���3,即2×2×3���1+���=1×2���1+3×4���1+2���,即��

�12−3���1���+2���2=0,所以���1=���或���1=2���;..........6分当���1=���时,������=������,������=���+1���,故������=���(���+1

)���2,������=���(���+3)2���,又���99−���99=99,即99⋅100���2−99⋅1022���=99,即50���2−���−51=0,所以���=5150或���=−1(舍);..........8分当���1=2���时,���

���=(���+1)���,������=������,故������=���(���+3)���2,������=���(���+1)2���,又���99−���99=99,即99⋅102���2−99⋅100

2���=99,即51���2−���−50=0,所以���=−5051(舍)或���=1(舍);..........10分数学答案第2页共4页{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}综上:���=51

50...........12分方法二:因为{������}为等差数列且公差为���,所以可得������=������+���1−���,则������=���2+���������+���1−���=(

���+1)⋅���������+���1−���..........5分解法一:因为{������}为等差数列,根据等差数列通项公式可知������与���的关系满足一次函数,所以上式中的分母“������+���1−���”需满足���1−���=0或者������1−���=1,即���1

=���或者���1=2���;解法二:由������=���2+���������+���1−���=(���+1)⋅���������+���1−���可得,���1=2���1,���2=6���1+���,���3=12���1+2���,因为{�����

�}为等差数列,所以满足���1+���3=2���2,即2���1+12���1+2���=2⋅6���1+���,两边同乘���1(���1+���)(���1+2���)化简得���12−3���1���+2���2=0,解得���1=���或者���1=2���;..........

7分因为{������},{������}均为等差数列,所以���99=99���50,���99=99���50,则���99−���99=99等价于���50−���50=1,..........8分①当���1=���时,������=������,������=1���(���+1)

,则���50−���50=50���−51���=1,得50���2−���−51=0⇒(50���−51)(���+1)=0,解得���=5150或者���=−1,因为���>1,所以���=5150;②当���1=2���时,������=���(���+1),������=1�

�����,则���50−���50=51���−50���=1,化简得51���2−���−50=0⇒(51���+50)(���−1)=0,解得���=−5051或者���=1,因为���>1,所以均不取;综上所述,���=5150..

.........12分21.【答案】(1)���(���)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1...........2分(2)设������=���3���3+���2���2+���1−1���+���0,因为���3+���2+�

��1+���0=1,故������=���3���3+���2���2−���2+���0+���3���+���0,若������≤1,则���1+2���2+3���3≤1,故���2+2���3≤���0...........4分���

′���=3���3���2+2���2���−���2+���0+���3,因为���′0=−���2+���0+���3<0,���′1=���2+2���3−���0≤0,故���′���有两个不同零点���1,�

��2,且���1<0<1≤���2,且���∈−∞,���1∪���2,+∞时,���′���>0;���∈���1,���2时,���′���<0;故������在−∞,���1,���2,+∞上为增函数,在��

�1,���2上为减函数,..........6分数学答案第3页共4页{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}若���2=1,因为��

����在���2,+∞为增函数且���1=0,而当���∈0,���2时,因为������在���1,���2上为减函数,故������>������2=���1=0,故1为���0+���1���+���

2���2+���3���3=���的一个最小正实根,若���2>1,因为���1=0且在0,���2上为减函数,故1为���0+���1���+���2���2+���3���3=���的一个最小正实根,综上,若

������≤1,则���=1...........8分若������>1,则���1+2���2+3���3>1,故���2+2���3>���0.此时���′0=−���2+���0+���3<0,���′1=���

2+2���3−���0>0,故���′���有两个不同零点���3,���4,且���3<0<���4<1,且���∈−∞,���3⋃���4,+∞时,���′���>0;���∈���3,���4时,���′���<0;故������在

−∞,���3,���4,+∞上为增函数,在���3,���4上为减函数,而���1=0,故������4<0,又���0=���0>0,故������在0,���4存在一个零点���,且���<1.所以���为���0+�

��1���+���2���2+���3���3=���的一个最小正实根,此时���<1,故当������>1时,���<1...........10分(3)意义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干

代后必然临近灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能...........12分22.【答案】解:(1)将点���代入双曲线方程得4���2−1���2−1=1,化简得���4−4���2+4=0得:

���2=2,故双曲线方程为���22−���2=1;..........1分由题显然直线���的斜率存在,设���:���=������+���,设���(���1,���1),���(���2,���2),则联立直线与双曲线得:(2���2−1

)���2+4���������+2���2+2=0,△>0,故���1+���2=−4������2���2−1,���1���2=2���2+22���2−1,......3分���������+���������=���1−1���1−

2+���2−1���2−2=������1+���−1���1−2+������2+���−1���2−2=0,化简得:2������1���2+(���−1−2���)(���1+���2)−4(

���−1)=0,故2���(2���2+2)2���2−1+(���−1−2���)(−4������2���2−1)−4(���−1)=0,即(���+1)(���+2���−1)=0,而直线���不过���点,故�

��的斜率���=−1...........6分(2)设直线������的倾斜角为���,由tan∠���������=22,得tan∠���������2=22,由2���+∠���������=���,得���

������=tan���=2,即���1−1���1−2=2,..........8分联立���1−1���1−2=2,及���122−���12=1得���1=10−423,���1=42−53,同理,�

��2=10+423,���2=−42−53,故���1+���2=203,���1���2=689..........10分而|������|=3|���1−2|,|������|=3|���2−2|,由tan∠���������=22,得sin∠��������

�=223,故���△���������=12|������||������|sin∠���������=2|���1���2−2(���1+���2)+4|=1629...........12分数学答案第

4页共4页{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}

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