【文档说明】吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校2020-2021学年高二下学期期末考试联考数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(15)页，468.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数zi＝1+i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．1B．2C．D．2．函数f（x）＝x3+x在点x＝1处的切线方程为（）A．4x﹣y+

2＝0B．4x﹣y﹣2＝0C．4x+y+2＝0D．4x+y﹣2＝03．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（）A．B．C．D．4．用反证法证明命题：

“设a，b，c为实数，满足a+b+c是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是（）A．假设a，b，c都是有理数B．假设a，b，c至少有一个是有理数C．假设a，b，c不都是无理数D．假设a，b，c至少有一个不是无理数5．下列四个命题正

确的是（）①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；④线性回归方程恒过样本点中心（，）．A．①②③B．②③④C

．①③④D．①②④6．（ex+2x）dx＝（）A．1B．e﹣1C．eD．e+17．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3xf'（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．2eB．﹣C．D．﹣2e8．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2

），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.16，则P（2≤ξ＜4）＝（）A．0.34B．0.68C．0.5D．0.79．“中国诗词大会”亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．因为前四场播出后反响很好，所以节

目组决定将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．

36种D．72种10．已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．[﹣，]11．用数学归纳法证明“，n∈N•”，则当n＝k+1时，应当在

n＝k时对应的等式的左边加上（）A．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3B．k3+1C．（k+1）3D．12．对任意x∈R，函数y＝f（x）的导函数都存在，若f（x）﹣f′（x）＜0恒成立，且a＞0，则下列说法正确的是（）A．f（a）＜f（0）B．f（a）

＞f（0）C．f（a）＞eaf（0）D．f（a）＜eaf（0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：23，33，43，......以此类推，若m3的“分裂数”中有一个是67，则m的值为．14．在（2x﹣）6的展

开式中的系数为．15．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的图象，现给出如下结论：①f（x）在（﹣3，﹣1）是增函数；②x＝4是f（x）的极小值点；③f（x）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数；④x＝﹣1一定是f（x）的零点．其中

正确的结论是．16．辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人

民拜年，则不同的发言情况有种．三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝x2+ax与g（x）＝ln（x+1）在（0，0）处有公共的切线．（1）求a的值；（2）求函数h（x）

＝f（x）﹣g（x）（x＞﹣1）的极值．18．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用

，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理

暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别是0.1，0.2，0.4，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件2，3中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，

求X的分布列及数学期望．20．第五代移动通信技术是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸．“5G”的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连

接，某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性人数2

35131575女性人数15969542（1）将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）以这10

0名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率．现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生人数为X，求X的数学期望和方差．附：K2＝（n＝a+b+c+d）临

界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．已知函数f（x）＝ex+tx（e为自然对数的底数）

．（Ⅰ）当t＝﹣e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．22．已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣2x，且当x＝1时，函数f（x）取得极值为．（1）求f（

x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝﹣6x﹣m在[﹣2，0]上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数zi＝1+i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．1B．2C．D．解：∵zi＝1+i，∴|zi

|＝|1+i|，即|z|•|i|＝|1+i|，即|z|•1＝＝，即|z|＝，故选：C．2．函数f（x）＝x3+x在点x＝1处的切线方程为（）A．4x﹣y+2＝0B．4x﹣y﹣2＝0C．4x+y+2＝0D．4x+y﹣2＝0解：∵f（x）＝x3+x∴f′（x）＝3x2+1∴容易求出切线的斜率为4

当x＝1时，f（x）＝2利用点斜式，求出切线方程为4x﹣y﹣2＝0故选：B．3．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（）A．B．C．

D．解：设事件A表示“第一次抽到语文题”，事件B表示“第二次抽取数学题”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为：P（B|A）＝＝＝．故选：B．4．用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足a+b+

c是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是（）A．假设a，b，c都是有理数B．假设a，b，c至少有一个是有理数C．假设a，b，c不都是无理数D．假设a，b，c至少有一个不是无理数解：∵“a，b，c至少有一个是无理数

”的对立面是“a，b，c都是有理数”．∴用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足a+b+c是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是：假设a，b，c都是有理数．故选：A．5．下列四个命题正确的是（）①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残

差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；④线性回归方程恒过样本点中心（，）．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④解：相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的线性相关性越强，相关系数r的绝对值越

接近0，表示两个变量的线性相关性越弱，故命题①错误，显然，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，命题②正确，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故命题③正确，显然线性回归方程恒过样本点中心（，），命题④正确．故选：B．6．（ex+2x）dx＝（）A．

1B．e﹣1C．eD．e+1解：（ex+2x）dx＝（ex+x2）＝e；故选：C．7．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3xf'（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．2eB．﹣C．D．﹣2e解：∵f′（x）＝3f'（e）+，∴f′（e）＝3f′（e）+，解得：

f′（e）＝﹣．故选：B．8．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.16，则P（2≤ξ＜4）＝（）A．0.34B．0.68C．0.5D．0.7解：∵随机变量ξ服从正

态分布N（μ，σ2），P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.16，∴μ＝＝4，∴P（2≤ξ＜4）＝0.5﹣P（ξ＜2）＝0.34．故选：A．9．“中国诗词大会”亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．

因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．

48种C．36种D．72种解：根据题意，分2步分析：①，将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有A33＝6种排法，②，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里，有A42＝12种排法，则后

六场的排法有6×12＝72（种），故选：D．10．已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．[﹣，]解：根据题意，函数f（

x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1，其导数f′（x）＝﹣3x2+2ax﹣1，若函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调递减函数，则f′（x）＝﹣3x2+2ax﹣1≤0在R上恒成立，则必有△＝（2a）2﹣12≤0，即a2≤3解可得：﹣≤a≤，

即a的取值范围为[﹣，]；故选：D．11．用数学归纳法证明“，n∈N•”，则当n＝k+1时，应当在n＝k时对应的等式的左边加上（）A．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3B．k3+1C．（k+1）3D．解：当n＝k时，等式左端＝1+2+…+k3，当

n＝k+1时，等式左端＝1+2+…+k3+（k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+…+（k+1）3，增加了2k+1项．即为（k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+…+（k+1）3故选：A．12．对任意x∈R，函数y＝

f（x）的导函数都存在，若f（x）﹣f′（x）＜0恒成立，且a＞0，则下列说法正确的是（）A．f（a）＜f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＞eaf（0）D．f（a）＜eaf（0）解：设g（x）＝，则g′（x）＝＞0，故g（x）在R上递增，所以g（a）＞g（0），所以＞，所

以f（a）＞eaf（0），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：23，33，43，......以此类推，若m3的“分裂数”中有一个是67，则m的值为8．解：由题意可得m3的“分

裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3﹣a2＝7﹣3＝4＝2×2，a4﹣a3＝13﹣7＝6＝2×3，…am﹣am﹣1＝2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得am﹣a2

＝＝（m+1）（m﹣2），∴am＝a2+（m+1）（m﹣2）＝m2﹣m+1，∴当m＝8时，am＝57，即是83的“分裂”数中的第一个，当m＝9时，am＝73，即73是93的“分裂”数中的第一个，故67应该是83的“分裂”数中的一个，故答案为：8．14．在（2x﹣）6的展开式中

的系数为60．解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（2x）6﹣k（﹣）k＝C26﹣k（﹣1）kx6﹣2k，由6﹣2k＝﹣2得2k＝8，得k＝4，则的系数为22（﹣1）4＝60，故答案为：60．15．如图是函数f（x）的导函数

f′（x）的图象，现给出如下结论：①f（x）在（﹣3，﹣1）是增函数；②x＝4是f（x）的极小值点；③f（x）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数；④x＝﹣1一定是f（x）的零点．其中正确的结论是②③．解：由图象，得x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，2＜x＜

4时，f′（x）＜0，x＞4时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，4）递减，在（﹣1，2），（4，+∞）递增，∴在x＝﹣1，4处，函数取得极小值，在x＝2处，函数取得极大值，x＝﹣1不一定是f（x）的零点，故②③正确，故答案为：②③．16．辛丑牛年春晚现场

请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同

的发言情况有38种．解：从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则发言情况有3类，一类：“人民英雄”“时代楷模”，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，三类：“时代楷模”“全国道德模范”，所以一类：“人民英雄”“时代楷模”，发言方案

：＝6，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，＝8，三类：“时代楷模”“全国道德模范”，＝24，共有38种发言方案．故答案为：38．三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝x2+ax与g（x）＝ln（x+1

）在（0，0）处有公共的切线．（1）求a的值；（2）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）（x＞﹣1）的极值．解：（1），因为f（x），g（x）在（0，0）处有公共的切线，所以f′（0）＝g′（0），即a＝1．（2）根据（1）可知h（x）＝f（x）

﹣g（x）＝x2+x﹣ln（x+1），所以，令h′（x）＝0，得x＝0或（舍去），当x变化时，h（x），h′（x）变化情况如下表x（﹣1，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）单调递减0单调递增由表可知，当x＝0时，h（x）有极小值0，无极大值．18．在心理

学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3

，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包

含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）＝＝．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝．∴X的分布列为X01234PX的数学期望EX＝0×+1×

+2×+3×+4×＝2．19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别是0.1，0.2，0.4，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件2，3中至少有1个需要调整的概率；（2）记

设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．解：（1）设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C，由题可得，P（A）＝0.1，P（B）＝0.2，P（C）＝0.4，则部件2，3中至少有一个需要调整的概率为P＝1﹣

0.8×0.6＝0.52．（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝0.9×0.8×0.6＝0.432，P（X＝1）＝0.1×0.8×0.6+0.9×0.2×0.6+0.9×0.8×0.4＝0.444，P（

X＝2）＝0.1×0.2×0.6+0.1×0.8×0.4+0.9×0.2×0.4＝0.116，P（X＝3）＝0.2×0.1×0.4＝0.008，故X的分布列为：X0123P0.4320.4440.1160.008∴E（X）＝0×0.432+1

×0.444+2×0.116+3×0.008＝0.7．20．第五代移动通信技术是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸．“5G”的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接，某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度

，随机抽取100名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性人数235131575女性人数15969542（1）将

学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）以这100名学生中“比较了解”的频率作为该

校学生“比较了解”的概率．现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生人数为X，求X的数学期望和方差．附：K2＝（n＝a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.

001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）不太了解比较了解合计男性104050女性302050合计4060100∴，有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关．（2）抽取的100名学生中对5G“比较了

解”的频率为，故抽取该校1名学生对5G“比较了解”的概率为，由题意可知，X～B（3，），∴E（X）＝3×＝，D（X）＝．21．已知函数f（x）＝ex+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t＝﹣e时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．解：（Ⅰ）当t＝﹣e时，f（x）＝ex﹣ex，f'（x）＝ex﹣e．由f'（x）＝ex﹣e＞0，解得x＞1；f'（x）＝ex﹣e＜0，解得x

＜1．∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即ex+tx＞0恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立．令，∴．当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时

，g'（x）＜0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．所以函数g（x）在x＝1处取得极大值g（1）＝﹣e，即为在x∈（0，2]上的最大值．∴实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．所以对于任意x∈（

0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．22．已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣2x，且当x＝1时，函数f（x）取得极值为．（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝﹣6x﹣m在[﹣2，0]上有两个不同的实数解，求实数m的取

值范围．解：（1）f'（x）＝3ax2+2bx﹣2，由题意得，，即，解得，∴．（2）由f（x）＝﹣6x﹣m（﹣2≤x≤0）有两个不同的实数解，得在[﹣2，0]上有两个不同的实数解，设，由g'（x）＝x2﹣3x﹣4，由g'（x）＝0，得x＝4或x＝﹣1，当x∈（﹣2，﹣1

）时，g'（x）＞0，则g（x）在[﹣2，﹣1]上递增，当x∈（﹣1，0）时，g'（x）＜0，则g（x）在[﹣1，0]上递减，由题意得，即，解得，即实数m的取值范围是．