【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，1.012 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2024年下学期高二期中考试数学命题人：彭泽华审题人：饶金伟审核人：陈家烦得分：__________本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分.第I卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共4

0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线120xy+−=的倾斜角是（）A.π4B.π2C.3π4D.π32.已知点B是点()3,4,5A在坐标平面Oxy内的射影，则OB等于（）A.5B.34C.41D.523.长轴长是短轴

长的3倍，且经过点()3,0P的椭圆的标准方程为（）A.2219xy+=B.221819xy+=C.2219xy+=或221819yx+=D.2219yx+=或221819xy+=4.已知方程22121xymm−=++表示双曲线，则m的取值范围为（）A.()2,1−−B

.()(),21,−−−+C.()1,2D.()(),12,−+5.在正四棱锥PABCD−中，4,2,PAABE==是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是（）A.612B.68C.3

8D.56246.已知椭圆22:195xyC+=的右焦点为,FP是椭圆上任意一点，点()0,23A，则APF的周长的最大值为（）A.921+B.14C.7235++D.153+7.已知()()3,0,0,3AB−，从点

()0,2P射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为（）A.210B.6C.26D.268.已知,AB两点的坐标分别是()()1,0,1,0−，直线,AMBM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则

点M的轨迹方程为（）A.()211yxx=−+B.()211yxx=+C.()211xyy=−+D.()211xyy=+二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中

，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知()()3,4,6,3AB−−两点到直线:10laxy++=的距离相等，则a的值可取（）A.13−B.13C.79−D.7910.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左､右焦点分别为12

,FF，过点1F的直线与C的左支相交于,PQ两点，若2PQPF⊥，且243PQPF=，则（）A.4PQa=B.13PFPQ=C.双曲线C的渐近线方程为223yx=D.直线PQ的斜率为411.已知椭圆221:195xyC+=，将1C绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C，将1C上所有

点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C，动点,PQ在1C上，且直线PQ的斜率为12−，则（）A.顺次连接12,CC的四个焦点构成一个正方形B.3C的面积为1C的4倍C.3C的方程为2244195xy+=D.线段PQ的中点

R始终在直线109yx=上第II卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点()0,1P作直线l，使它被直线1:280lxy+−=和2:3100lxy−+=截得的线段被点P平分，则直线l的方程为__________.13.直线2y

x=−与抛物线22yx=相交于,AB两点，则OAOB=__________.14.设F是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FOH的内切圆与x轴切于点B，且

BFOB=，则C的离心率为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点()()1,0,1,0AB−，动点P满足PAPB⊥.（1）求动点P的轨迹方程；（

2）将点A和点B并入点P的轨迹得曲线C，若过点()1,2Q的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的方程.16.（本小题满分15分）如图，在棱长为a的正方体OABCOABC−中，,EF分别是,ABBC上的动点，且AEBF=.（1）求证：AFCE⊥；（2

）当三棱锥BBEF−的体积取得最大值时，求平面BEF与平面BEF所成夹角的正切值.17.（本小题满分15分）已知顶点为O的抛物线212yx=的焦点为F，直线l与抛物线交于,AB两点.（1）若直线l过点()5,0M，且其倾斜角ππ,63，求OABS的取值范围；（2

）是否存在斜率为1的直线l，使得FAFB⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，ABD为底面圆O的内接正三角形，且

ABD的边长为3，点E在母线PC上，且3,1AECE==.（1）求证：直线PO∥平面BDE；（2）若点M为线段PO上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离.19.（本小题满分17分）已知椭圆()2222

10xyabab+=的左､右焦点分别为12,FF，离心率22e=，点O为坐标原点，点,PQ分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ的边PQ上的中线长为32.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点()2,0H−的直

线交椭圆于,AB两点，若11AFBF⊥，求直线AB的方程；（3）直线12,ll过右焦点2F，且它们的斜率乘积为12−，设1l和2l分别与椭圆交于点,CD和,EF.若,MN分别是线段CD和EF的中点，求OMN面积的最大值.长郡中学2024年下学期高二期中考试数学参考答案一､二､选择题题号1

234567891011答案CACBDBCAACBCABD1.C【解析】因为120xy+−=，所以12yx=−+，所以直线120xy+−=的斜率为1−，所以直线120xy+−=的倾斜角为3π4.故选C.2.A【解析】由条件知点B的坐标为()3,4,0，所以2223405OB=++=

.故选A.3.C【解析】当椭圆焦点在x轴上时，长半轴长3a=，短半轴长1b=，方程为2219xy+=，当椭圆焦点在y轴上时，短半轴长3b=，长半轴长9a=，方程为221819yx+=，所以椭圆方程为2219xy+=或221819yx

+=.故选C.4.B【解析】由条件()()210mm++可得2m−或1m−，故m的取值范围为()(),21,−−−+.故选B.5.D【解析】设点P在底面ABCD内的投影为点O，由题意知，224,2,4(2)14PAABPO=

==−=，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，所以()()()()2140,0,14,0,2,0,0,2,0,2,0,0,,0,22PACDE−−−，()214,2,,0,2,1422AEPC=−=−，所以()214,2,0,2,

142256cos,2464AEPC−−==.故选D.6.B【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为22,2(23)4FAFAF=+==，则26PFPFa+==，,PAPFAFAPF−„的周长64610104

14AFPAPFAFPAPFPAPFAF=++=++−=++−+=+=„，当且仅当P在AF的延长线上时取等号.APF的周长的最大值等于14.故选B.7.C【解析】直线AB的方程为3yx=+，设点()0,2P关于直线3yx=+的对称点为()1,Pab，则21,23,22baba

−=−+=+得1,3ab=−=，即()11,3P−，点()0,2P关于x轴的对称点为()20,2P−，由题意可知，如图所示，点12,PP都在直线CD上，由对称性可知，12,DPDPCPCP==，所以光线经过的路程21

1226PCCDDPPCCDDPPP++=++==.故选C.8.A【解析】设(),Mxy，则211AMBMyykkxx−=−=+−，整理得()211yxx=−+，所以动点M的轨迹方程是()211yxx=−+.故选A.9.AC【解析】当直线l过线段

AB中点31,22P−时，有311022a−+=，得13a=−，当直线l∥AB时，有79a−=，得79a=−.故选AC.10.BC【解析】由243PQPF=，设23,4PQmPFm==，由2PQPF⊥，得25QFm=，则1142,52

PFmaQFma=−=−，而11PFQFPQ+=，解得23am=，因此1124,33aaPFQF==，对于A，2PQa=，A错误；对于B，显然112FQPF=，则13PFPQ=，B正确；对于C，易知122FFc=，在12RtPFF中，由2221212

PFPFFF+=，得222464499aac+=，则222222178,99cabcaa==−=，即223ba=，因此双曲线C的渐近线方程为223yx=，C正确；对于D，由2121tan4PFPFFPF==，结合对称

性，图中,PQ位置可互换，则直线PQ的斜率为4，D错误.故选BC.11.ABD【解析】椭圆221:195xyC+=的焦点为()()2,0,2,0−，将1C绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C，则椭圆2C的焦点为()()0,2,0,2

−，所以顺次连接12,CC的四个焦点构成一个正方形，故A正确；将1C上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C，所以3C与1C为相似曲线，相似比为2，所以3C的面积为1C的面积的224=倍，故B正确；且3C的方程为2222195xy+=，即2

213620xy+=，故C错误；设()()1122,,,PxyQxy，则1212,22xxyyR++，又222211221,19595xyxy+=+=，所以2222121209955xxyy−+−=，即()()()()12121212095xxxxy

yyy+−+−+=，所以()121212121259yyyyxxxxxx−+=−−+，即59PQORkk=−，所以109ORk=，所以线段PQ的中点R始终在直线109yx=上，故D正确.故选ABD.三､填空题（本题共3小题，

每小题5分，共15分）12.440xy+−=【解析】设直线1l与直线l的交点为(),82Aaa−，则由题意知，点A关于点P的对称点(),26Baa−−在直线2l上，代入直线2l的方程得()326100aa−−−+=，解得4a=，即点()4,0A在直线l上，所以直线l的方程为440xy+−=.13.

0【解析】由22,2,yxyx=−=可得2640xx−+=，设()()1122,,,AxyBxy，则有12126,4xxxx+==，所以124yy=−，所以1212440OAOBxxyy=+=−=.13.2【解析】由双曲线2222:1xyCab−=的渐近

线方程为byxa=，即0bxay=，又由双曲线C的右焦点(),0Fc到渐近线的距离为22bcFHbba==+，所以22OHcba=−=，则直角FOH的内切圆的半径为2abcr+−=，如图所示，设FOH的

内切圆与FH切于点M，则2abcMHr+−==，因为BFOB=，可得12MFBFc==，所以122abcMFMHcFHb+−+=+==，可得ab=，所以双曲线C的离心率为2212cbeaa==+=.四

､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）法一：设(),Pxy，因为PAPB⊥，所以由0PAPB=，得()()221,1,10xyxyxy+−=−+=，所以动点P轨迹方程为()2210xyy+=.法二：由题2,ABPAP

B=⊥，所以P点的轨迹是以AB中点O为圆心，半径为1的圆去掉,AB两点得到的，所以P点的轨迹方程为()2210xyy+=.（2）由题设知曲线C的方程为221xy+=，因为直线l与曲线C有只有一个公共点（如图），①若直线l斜率不存在，此时直线l方程为：1x=，与曲线22:1Cxy+=切于点

B，②当直线l斜率存在且与曲线C相切时，设():12lykx=−+，即20kxyk−+−=，根据圆心到切线距离等于半径可得2211kk−=+，得34k=，所以此时直线l方程为3450xy−+=.综上，直线l方程为1x=或3450xy−+=.16.【解析】（1）如图，构建空间直

角坐标系Oxyz−，令AEBFm==，且0ma剟，所以()()()()0,,,,0,,,,0,,,0CaaAaaEamFama−，则()(),,,,,CEamaaAFmaa=−−=−−，故()20CEAFam

amaa=−+−+=，所以CEAF⊥，即AFCE⊥.（2）由（1）可得三棱锥BBEF−体积取最大，即BEF面积()22112228BEFaaSmamm=−=−−+最大，所以当2am=时，()2max8BEFaS=，故,EF分别为,ABBC

的中点，所以(),,0,,,0,,,22aaEaFaBaaa，故0,,,,0,22aaEBaFBa==，若(),,mxyz=为平面BEF的法向量，则0,20,2amEByazamFBxaz=+=

=+=令1z=−，得()2,2,1m=−，又平面BEF的法向量为()0,0,1n=，所以11cos,313mnmnmn−===，设平面BEF与平面BEF所成夹角为，则1cos3=，所以222sin1cos3=−=，所以si

ntan22cos==，所以平面BEF与平面BEF所成夹角的正切值为22.17.【解析】（1）由题可知()3,0F，且直线l的斜率不为0，设()()1122,,,AxyBxy.设直线l的方程为50kxyk−−=，因此点O到直线l的距离为251k

dk−=+，联立212,15,yxxyk==+则212600yyk−−=，显然Δ0，所以121212,60yyyyk+==−，则2211441240ABkk=++，所以21910152OABSdABk==+，因为ππ,63，则

3,33k，当213k=时，OABS取得最大值为1042，当23k=时，OABS取得最小值为302，所以OABS的取值范围为302,1042.（2）设直线方程为yxb=+，即()()1122,,,,xybAxyBxy=−，联立21

2,,yxxyb==−得212120yyb−+=，故Δ144480b=−，即3b，又121212,12yyyyb+==，易知()()11223,,3,FAxyFBxy=−=−，因为FAFB⊥，则0FAFB=，因为1122,xybx

yb=−=−，所以()()()()2121212123323(3)0ybybyyyybyyb−−−−+=−++++=，即218270bb+−=，解得963b=−+或963b=−−，故存在斜率为1的直线l

，使得FAFB⊥，此时直线l的方程为963yx=−+或963yx=−−.18.【解析】（1）设ACBDF=，连接EF，ABD为底面圆O的内接正三角形，32,πsin3ACF==为BD中点，2223,1,,AECEAECEAC

AEEC==+=⊥，又333123,2,142223AFCFAOAF=−==−===.AFAEAEAC=，且,,,EAFCAEAEFACEAFEAECEFAC==⊥∽.PO⊥平面,

ABDAC平面,,ABDPOACEF⊥∥PO，PO平面,BDEEF平面,BDEPO∥平面BDE.（2）1,2OFCFF==为OC中点，又PO∥,EFE为PC中点，2POEF=，3,2POPC==

，以F为坐标原点，,,FBFCFE方向为,,xyz轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则3333110,,0,,0,0,0,0,,,0,0,0,,0,0,,3222222ABEDOP−−−−

，()33333133,,0,0,,,0,0,3,,,0,,,022222222ABAEOPDODA====−=−

，设()()310,0,301,,,322OMOPDMDOOM===+=−剟.设平面ABE的法向量(),,nxyz=，则330,22330,22ABnxyAEnyz=+==+=令1y=

−，解得()3,3,3,1,3xzn===−，设直线DM与平面ABE所成夹角为，222231sin731317(32)DMnDMn+===+++，令32t=+，则22,5,3tt−=，22222

22(2)1314717431(32)33ttttttt−++−+===−++，111,,52t当127t=，即12=时，22min31311449(32)74++

==+，max1(sin)1177==，此时3133,,,0,1,2222DMMADADM=−=−=−−，点M到平面ABE的距离172147MAndn===.19.【解析】（1）由题意，

因为()(),0,0,,PaQbPOQ为直角三角形，所以223PQab=+=.又2222e,2cabca===+，所以2,1,1abc===，所以椭圆的标准方程为2212xy+=.（2）由（1）知，()11,0F−，显然直线AB的

斜率存在，设直线AB的方程为()()()()112220,,,,ykxkAxyBxy=+，联立()221,22,xyykx+==+消去y得，()2222128820kxkxk+++−=，所以()()()()22222Δ8412828120kkkk=−+−=−，即21

02k，且22121222882,1212kkxxxxkk−+=−=++，因为11AFBF⊥，所以110AFBF=，所以()()11221,1,0xyxy−−−−−−=，即12121210xxx

xyy++++=，所以()()1212121220xxxxkxkx++++++=，整理得()()()2221212121140kxxkxxk++++++=，即()()()22222221828121401212kkkkkkk+−+−+++=++，化简得2410k−=，即12k=满足

条件，所以直线AB的方程为()122yx=+或()122yx=−+，即直线AB的方程为220xy−+=或220xy++=.（3）由题意，()21,0F，设直线1l的方程为()()()33441,,,,ymxCxyDxy=−，则直线2l的方程为()()()556611,,,,2yxExyFxym

=−−，联立()221,21,xyymx+==−消去y得()2222124220mxmxm+−+−=，所以22343422422,1212mmxxxxmm−+==++，所以()234222,121212MMMxxmmxymxmm+===−=−++，所以2222

,1212mmMmm−++，同理联立()221,211,2xyyxm+==−−消去y得()222122140mxxm+−+−=，所以2565622214,1212mxxxxmm−

+==++，所以()562211,1212212NNNxxmxyxmmm+===−−=++，所以221,1212mNmm++，所以MN的中点1,02T.所以22112111212412212282OMN

MNmmSOTyymmmm=−===+++„，当且仅当12mm=，即22m=时取等号，所以OMN的面积最大值为28.