【文档说明】专题03 一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题分层训练（解析版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用版）.docx，共(23)页，650.902 KB，由管理员店铺上传

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专题03一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题A组基础巩固1．关于x的一元二次方程260xxm−+=有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．8B．9C．10D．11【答案】A【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．【详解

】解：∵关于x的一元二次方程260xxm−+=有两个不相等的实数根，∴()26410m=−−，解得：m＜9，m的值可能是：8．故选：A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则240bac

=−，是解题的关键．2．若1x和2x为一元二次方程2210xx+−=的两个根，则221212xxxx+的值为（）A．2B．3C．4D．42【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出12122,1xxxx+=−

−，化简代入求值即可．【详解】1x和2x为一元二次方程2210xx+−=的两个根12122,1xxxx+=−−2212121212=()1(2)2xxxxxxxx++=-?=Q．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系

，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系求出1212,xxxx+是解题的关键．3．若一元二次方程234xx−=的两个实数根分别为1x和2x，则12xx的值为（）A．3−B．3C．4−D．4【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系，首先将方程化为一般式，直接利用两根之积公

式12cxxa=，代入系数即可求得答案．【详解】将方程化为一般式：2340xx−−=，根据两根之积公式12441cxxa−===−，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系公式，熟记根与系数的关系公式：12=cxxa是解题的关键．4．若方程2x2xm0−+=没有实数根，则m的值可

以是（）A．1−B．0C．1D．3【答案】D【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可．【详解】解：由题可知：“△＜0”，∴()2240m−−,∴1m,故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌

握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．5．已知关于x的一元二次方程：2x2xm0−+=有两个不相等的实数根1x，2x，则（）A．120xx+B．120xxC．121xx

−D．121xx【答案】D【分析】根据题意及一元二次方程根的判别式可得440m−，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程：2x2xm0−+=有两个不相等的实数根1x，2x，∴440m−，解得：1m，∴由韦达定理可得：121220,1b

cxxxxmaa+=−===，∴只有D选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．6．将二次函数2)304(2yxxx=−++位

于x轴下方的图像沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴上方的部分组成一个新图像，这个新图像对应的函数最大值与最小值之差为（）A．1B．3C．4D．5【答案】D【分析】根据题意作出图形，最大值为新函数4x=时的函数值，最小值为0．【详解】如图，根据题意：2)304(2yxx

x=−++位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折后的图像为：223(34)yxxx=−−的图像则新函数的最大值为4x=时的函数值242435y=−−=最小值为0．函数最大值与最小值之差为：505−=故选D【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，对称，注意函数图像的取值范围，

数形结合是解题的关键．7．已知二次函数2yaxbxc=++（0a，0c）的图象经过点3,2m，(3,)n，与x轴交于点()1,0Ax，点()2,0Bx（点A在点B的左侧）．若7320abc++=，则有下列结论：①0m，

0n，②1273xx+，③2332x．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【分析】①将点3(2，)m，(3,)n代入抛物线表达式得：934293abcmabcn++=++=①②，由7320abc++=

得：73022abc++=③，求出m、n的表达式，即可求解；②12bxxa+=−，则1(72)3bac−=+，故12727333bcxxaa+=−=+；③由①知，0m，0n，则右侧交点在32x=和3x=之

间，即可求解．【详解】解：①将点3(2，)m，(3,)n代入抛物线表达式得：934293abcmabcn++=++=①②，由7320abc++=得：73022abc++=③，则③−①得：504am−=，故

0m，①2−②得：92202anmcac=+−=−，故①正确，符合题意；②12bxxa+=−，由③式得：1(72)3bac−=+，故12727333bcxxaa+=−=+，故②正确，符合题意；③由①知，0m，0n，则右侧交点在32x=和3x=之间，即2332x，

故③正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．8．如图，已知抛物线2y

axbxc=++的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点()2,0A−和点B，与y轴的负半轴交于点C，且2OBOC=，则下列结论：①0abc−；②241bac−=；③14a=；④当10b−时，在x轴下

方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得ANBM⊥．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可【详解】

①从图像观察，开口朝上，所以0a，对称轴在y轴右侧，所以0b，图像与y轴交点在x轴下方，所以0c0,0ababc−−，所以①不正确；②点()2,0A−和点B，与y轴的负半轴交于点(0,)Cc，且2OBOC=设(2,0)Bc−代入2yaxbxc=++,得：24

20acbcc−+=0c241bac−=，所以②正确；③()2,0A−，(2,0)Bc−设抛物线解析式为：(2)(2)yaxxc=++过(0,)Cc4cac=14a=，所以③正确；④如图：设,ANBM交点为P，对称轴与x轴交点

为Q，顶点为D，根据抛物线的对称性，APB△是等腰直角三角形，()2,0A−，(2,0)Bc−22ABc=−，112PQABc==−又对称轴2(2)12cxc−+−==+(1,1)Pcc+−由顶点坐标公式可知24(1,)4acbDca−+14a=2

(1,)Dccb+−由题意21cbc−−，解得1b或者1b−由①知0b1b−，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数2yaxbxc=++（a≠0），a的符号由抛物

线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．9．如图，已知二次函数2yaxbxc=++的图象与x轴交于()3,0−，顶点是()

1,m−，则以下结论：①0abc；②420abc++；③若yc，则2x−≤或0x；④12bcm+=．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c

的符号，根据图象与x轴交于()3,0−和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明12bcm+=的正确性．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴0a＞，∵对称轴为直线12bxa=−=−

，∴20ba=＞，∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴0c，∴0abc，故①错误；∵抛物线与x轴交于()3,0−，对称轴为1x=−，∴抛物线与x轴的另一个交点为(10)，，当x=2时，42yabc=++位于x轴上方，∴420abc++，故②正确；若yc，当y=c时，x=-2或0，

根据二次函数对称性，则2x−≤或0x，故③正确；当1x=−时，abcm−+=①，当1x=时，0abc++=②，①+②得：12acm+=，∵对称轴为直线12bxa=−=−，∴2ba=，∴12ab=，∴1122bc

m+=，故④错误；综上：②③正确，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系．10．二次函数()20yaxbx

ca=++的图象如图所示，有下列结论：①0abc，②420abc−+，③()abxaxb−+，④30ac+，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的

符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴

为直线x=-1，即12ba−=−，∴b=2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；∵x=-1时，

y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，∴a-b+c≥ax2+bx+c，∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，∴a+2a+c=3a+c＜0，

故④正确；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定

对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．11．如图，二次函数

21yaxbxc=++的图象与反比例函数2myx=的图象交于()()1,3,1,1,1,13ABC−−三点．若12yy，则x的取值范围是（）A．113x−B．10x−或113xC．1x−或1xD．10x−或13x【答案】B【分析】

若12yy成立，则二次函数的图象要到反比例函数图象的上方，利用数形结合，找到满足条件的部分图象所对应的自变量的范围即可．【详解】解：由题意在图上把三个交点的横坐标标注出来，如下图：根据若12yy成立，则二次函数的图象要到反比例函数图象的上方，通过观察知，在10x−或113x时，二次函数

的图象在反比例函数的上方，即：若12yy成立，则10x−或113x，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的性质，解题的关键是：利用数形结合的思想，把12yy，转化为二次函数的图象到反比例函数图象的上方即可．12．我国南宋时期

数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记2abcp++=，则其面积()()()Sppapbpc=−−−．这个公式也被称为海伦-

秦九韶公式．若5,4pc==，则此三角形面积的最大值为（）A．5B．4C．25D．5【答案】C【分析】由已知可得a+b=6，5(5)(5)55Sabab=−−=−，把b=6-a代入S的表达式中得：2565Saa=−+−，

由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．【详解】∵p=5，c=4，2abcp++=∴a+b=2p-c=6∴5(5)(5)(54)55Sabab=−−−=−由a+b=6，得b=6-a，代入上式，

得：25(6)5565Saaaa=−−=−+−设2+65yaa=−−，当2+65yaa=−−取得最大值时，S也取得最大值∵22+65(3)4yaaa=−−=−−+∴当a=3时，y取得最大值4∴S的最大值为5425=故选：C．【点

睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．13．二次函数()20yaxbxca=++的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0−，其对称轴为直线1x=．下列结论：①0abc；②420abc++；③80ac+；

④若抛物线经过点()3,n−，则关于x的一元二次方程()200axbxcna++−=的两根分别为3−，5，上述结论中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求

解．【详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x=2ba−=1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；③根据图象，当x=﹣2时，y=4

a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；④∵抛物线经过点()3,n−，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点()5,n，∴抛物线2yaxbxc=++与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程()200axbxcna++−=的两根分别为3−，5，故

④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C．B组能力提升14．若关于x的一元二次方程21(21)02mxmxm+−+−=有实数根，则m的取值范围是_________．【答案】m≤12且m≠0【分析】根据判别式

即可求出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2+（2m-1）x+m-12=0有实数根，∴m≠0且△=（2m-1）2-4m（m-12）=-2m+1≥0，则m的范围为m≤12且m≠0．故答案为：m≤12且m≠0．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（

1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．15．关于x的方程2220xmxmm−+−=有两个实数根,．且111+=．则m=_______．【答案】3【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22

,mmm+==−，再根据111+=可得一个关于m的方程，解方程即可得m的值．【详解】解：由题意得：22,mmm+==−，111++==，221mmm=−，化成整式方程为230mm−=

，解得0m=或3m=，经检验，0m=是所列分式方程的增根，3m=是所列分式方程的根，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．16．已知,mn是一

元二次方程2320xx−−=的两个根，则11mn+=__________．【答案】32−【分析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵,mn是一元二次方程2320xx−−=的两个根，根据根与系数的关系得：3bmna+=−=，2cmna==−，∴2

11=3mnmnmn+−+=，故答案为：32−．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知1212axcxaxxb+=−=，是解题关键．17．已知1x、2x是一元二次方程2470xx−−=的两个

实数根，则1211xx+的值是_____．【答案】47−【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算．【详解】解：由题意可得：12124,7xxxx+==−，∴1211xx+=121247xxxx+=−，故答案为：47−．【点睛】此题考查一元二次方程

的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．键．18．如图是抛物线2yaxbxc=++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x=，有下列四个结论：①0abc；②0abc−+=；③y的最大值为3；④方程210axbxc+++

=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．【答案】②④【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵

抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣2ba=1，即b=﹣2a＞0∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正确；根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；由210axbxc++

+=得2=1axbxc++﹣，根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，∴210axbxc+++=有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次

函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．19．已知抛物线：234yaxaxa=−−（0a）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线32

yx=−与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D¢在直线7:8ly=上，设直线l与y轴的交点为O，原抛物线上的点P平移后的对应

点为点Q，若OPOQ=，求点P，Q的坐标．【答案】（1）()()1,0,4,0AB−，对称轴为直线32x=；（2）213222yxx=−−；（3）79723,,,2828PQ−或1923,,,28281PQ−−−【分析】（

1）令y=0时，则有2340axaxa−−=，然后进行求解即可，最后利用抛物线对称轴公式进行求解即可；（2）设点M、N的横坐标分别为12,xx，由题意可得23342axaxax−−=−，则有120xx+=，然后利用一元二次方程

根与系数的关系进行求解即可；（3）由（2）及题意易得抛物线向上平移了4个单位长度得到新的抛物线，70,8O，然后设点221313,2,,22222PaaaQaaa−−−+，进而根据两点距离公式可得

2734aa−=，最后求解即可．【详解】解：（1）令y=0时，则有2340axaxa−−=，解得：121,4xx=−=，∵点A在点B的左侧，∴()()1,0,4,0AB−，∴抛物线的对称轴为直线322bxa=−=；（2）联立直线与抛物线的解析式可得：23342axa

xax−−=−，化简得：233402axaxa−−−=，设点M、N的横坐标分别为12,xx，∵点M，N关于原点对称，∴120xx+=，∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：3320aa−=，解得：12a=，∴抛物线的解析式为2

13222yxx=−−；（3）由（2）可得：213222yxx=−−，化为顶点式为21325228yx=−−，∴顶点325,28D−，∵将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D¢在直线7:8ly=上，∴37,28D

，∴新抛物线是由抛物线213222yxx=−−向上平移了4个单位长度得到，∵直线l与y轴的交点为O，∴70,8O，设点221313,2,,22222PaaaQaaa−−−+，∵OPOQ=，∴由两点距离公式可得：()()22222

21371370202228228aaaaaa−+−−−=−+−+−，化简得：2734aa−=，解得：1271,22aa==−，∴79723,,,2828PQ−或1923,,,28281PQ

−−−．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．20．如图，已知抛物线y＝a2x＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与

y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为；（3）点N为第二象限抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标；（4）点P是y轴上的一点，在坐标平面内存在点Q，使以A，

C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣2x﹣2x＋3；（2）32+10；（3）面积最大值278，315()24N−,；（4）（﹣1，0），（1，10），（1，﹣10），（1，53）【分析】(1)解方

程组309330abab++=−+=，求得a,b的值即可；（2）A，B是对称点，抛物线的对称轴与BC的交点为周长最小位置，最小值为BC+AC，勾股定理计算即可；（3）设点N的坐标为（x，﹣2x﹣2

x＋3），过点N作直线NE⊥x轴，交直线BC于点E，确定点E（x，x+3）,用含有x的代数式表示NE的长，则BCNS=12NEOB•，构造出面积是x的二次函数，利用二次函数的最值思想解决即可；（4）分以AC为菱形的边，AC为菱形的对角线，CP为菱形的对角线

三种情况求解即可.【详解】（1）根据题意，得309330abab++=−+=，解方程组，得12ab=−=−，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x﹣2x＋3；（2）∵A，B是对称点，∴抛物线的对称轴与BC的

交点为△ACM周长最小位置，且最小值为BC+AC，∵A（1，0），B（-3，0），C（0，3），∴AC=2213+=10，BC=2233+=32，∴△ACM周长最小值为10+32,故答案为:10+32；（3）如图，过点N作直线NE⊥x轴，垂足为M，交直线BC于点E，设直

线BC的解析式为y=kx+n，∵B（-3，0），C（0，3），∴-3k+03nn==，解方程组，得13kn==，∴直线BC解析式为y=x＋3，设N（n，﹣2n－2n＋3），E（n，n＋3），∴NE=﹣2n－2n＋3-n-3=﹣2n－3n，∴BCNS=ECNS+BENS=12

NEOM•+12NEBM•=12NEOB•=﹣23n2－9n2=23327n228﹣（＋）＋，∴△BCN面积最大值278，此时，x=32−，y=154，故点315(24N﹣，）；（4）如图，当AC为菱形的边时，∵CP∥A1Q，

AC=2213+=10，∴A1Q=10，∵A（1，0），∴1Q（1，10）或2Q（1，-10）；当AC为菱形的对角线时，设3P（0，m）,∴A3P=21+m，C3P=3-m，∴222(1+m)(3)m=−，解得m=43，∴C3P=3

-m=53，∴A3Q=53，∴3Q（1，53）；当CP为菱形的对角线时，作出点A关于CP的对称点即可，∵A（1，0），∴4Q（-1，0），综上所述，点Q的坐标为（-1，0）或（1，53）或（1，10）或（1，-10）.【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，二次函数的最

值，图形面积的分割，线段和的最小值，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用分割法表示三角形的面积，正确进行分类是解题的关键．