【文档说明】07（2024新题型）备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用） Word版含解析.docx，共(14)页，975.738 KB，由小赞的店铺上传

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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷07（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合要求的。1．设集合22Mxx=−，21xNyy==+，则MN=（）A．[2,)−+B．(1,2]C．[1,2]D．(1,)+【答案】A【解析】由题设{|1}Nyy=，故MN=221{|2}xxyyxx−=−，故选：A2．“1x”是“2

430xx−+”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解不等式2430xx−+得3x或1x，记()()(),13,,,1AB=−

+=−，因为AB，所以“1x”是“2430xx−+”的充分不必要条件．故选：A3．已知椭圆E：()222210xyabab+=的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为（）A．23B．223C．33D．233【答案】B【解析】

由题意，26ab=，所以13ba=，则离心率2221221133cbeaa==−=−=.故选：B.4．已知向量()()3,1,23,2ABAC==−，则AB在AC上的投影向量是（）A．3,221−B．31,2

2C．3,221−D．31,22−−【答案】A【解析】AB在AC上的投影向量为()()()22423,21cos,23,2232ACABACACABABACA

CACAC−−===+−，故选A5．已知等差数列na的前n项和为nS，41S=，84S=，则17181920aaaa+++=（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】在等差数列na中，41S=，84S=，所以4841,3SSS=

−=，故48412816122016,,,,SSSSSSSSS−−−−构成公差为2的等差数列，所以20161(51)29SS−=+−=，即171819209aaaa+++=，故选C6．在党的二十大报告中

，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率

为（）A．19B．49C．13D．827【答案】B【解析】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：4381=种；每个地区至少安排1名专家的安排方法有：2343CA36=种；由古典概型的计算公式，每个地区至少

安排1名专家的概率为：364819=.故选：B.7．我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为1S，小正方形的面积为2S，若1225SS=，则

3sincos2sincos+−的值为（）A．52B．72C．132D．192【答案】C【解析】设大正方形的边长为a，则直角三角形的直角边分别为sin,cosaa，因为是直角三角形较小的锐角，所以π04，可

得22221211,4sincos2sincos2SaSSaaa==−=−，则2221252sincos12sincos12aaSaS−−===，即22sincos2512sincos

+=−，所以2tan12512tan+=−，解得3tan4=或4tan3=（舍去），所以3313sincos3tan113432sincos2tan12214+++===−−−，故选C.8．已知双曲

线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点为1F，离心率为e，直线(0)ykxk=分别与C的左､右两支交于点M，N.若1MFN的面积为3，160MFN=，则22e3a+的最小值为（）A．2B．3C．6D．7【答案】D【解析】连接22

,NFMF，有对称性可知：四边形12MFNF为平行四边形，故2112,NFMFNFMF==，12120FNF=，1213FNFMFNSS==，由面积公式得：121sin12032NFNF=，解得：124NFNF=，由双曲线定义可知：122FNFNa−=，在三角形12FNF中

，由余弦定理得：()222221212121212244cos12022FNFNFNFNcFNFNcFNFNFNFN−+−+−==2121224122FNFNbFNFN−==−，解得：21243bFNFN=，所以2443b=，解得：23b=，

故22222233e3131237aaaaa+=+++=，当且仅当2233aa=，即21a=时，等号成立.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分。9．设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．2zzz=B．若2(12i)z=−，则复平面内z对应的点位于第二象限C．22zz=D．若1z=，则iz+的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A，设izab=+，故izab=−，则222zab=+，22i)(i)zzabaabb(+−=+=，故2

zzz=成立，故A正确，对于B，2(12i)4i3z=−=−−，4i3z=−，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B正确，对于C，易知222zab=+，2222izabab=++，当0ab时，22zz，故C错误，对于D，若1z=，则

221ab+=，而22i(1)22zabb+=++=+，易得当1b=时，iz+最大，此时i2z+=，故D正确.故选：ABD10．将函数sin2(0)yx=向左平移π6个单位，得到函数()fx，下列关于()f

x的说法正确的是（）A．()fx关于π,06−对称B．当1=时，()fx关于5π12x=−对称C．当01时，()fx在π0,12上单调递增D．若()fx在π5π,66−上有三个零点，则的取值范围为31,2【答案】A

BC【解析】π()sin2(0)6fxx=+，当π6x=−时，得π206x+=，()0fx=，故选项A正确；当1=时，5π5ππ()sin2112126f−=−+=−，1−是函数的最小值，

所以()fx关于5π12x=−对称，故选项B正确；当01时，π012x，得ππππ023622x+，所以()fx在π0,12上单调递增，故选项C正确；由π5π66x−

，得π022π6x+，由于()fx在π5π,66−上有三个零点，所以2π2π3π，所以312，故选项D错误.故选：ABC．11．已知函数()fx满足：①对任意,xyR，()()()()()2fxyfxfyfxfy+++=+；②

若xy，则()()fxfy.则（）A．()0f的值为2B．()()4fxfx+−C．若()13f=，则()39f=D．若()410f=，则()24f−=【答案】ABC【解析】对于A，令0xy==，得()()23002ff=+，解得()01f=

或()02f=，若()01f=，令0y=，得()()212fxfx+=+，即()1fx，但这与②若xy，则()()fxfy矛盾，所以只能()02f=，故A正确；对于B，令yx=−，结合()02f=得，()()()()()()22fxfx

fxfxfxfx+−+−=−，解得()()4fxfx+−或()()0fxfx+−，又()02f=，所以()2040f=，所以只能()()4fxfx+−，故B正确；对于C，若()13f=，令1y=得，()()()1332fxfxfx+++=+，所以()()121f

xfx+=−，所以()()2161521ff=−=−=，所以()()21101932ff=−=−=，故C正确；对于D，取()()31xfx=+，则()()()()()()()3131233332xyxyxyfxfy++++=+++=+(

)()()fxyfxfy+++=且()()31xfx=+单调递增，满足()410f=，但()423f−=，故D错误.故选：ABC.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．5232xx−+的展开式

中的常数项为.【答案】40【解析】依题意，5232xx−+的展开式的通项为()5555315523C2C2rrrrrrrTxxx−−−−+==，令5503r−=可得3r=.故常数项为325C240=.13．已

知正四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面边长分别为4、6，高为2，则正四棱台1111ABCDABCD−的体积为，外接球的半径为.【答案】762326【解析】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：2212416,636SS====，所以正四棱台1111ABCDABCD−的体积

为()11221762233VSSSS=++=；连接AC，BD交于点2O，连接11AC，11BD交于点1O，如图所示：当外接球的球心O在线段12OO延长线上，设1OOh=，外接球半径为R，则()2222OOh=−，因为122=O

O，上、下底面边长分别为4、6，则11111222==DOBD，21322DOBD==，所以()22222112232,26RDOhDOhhR=+=+−==当外接球的球心O在线段21OO延长线上，显然不合题意；当球心O在线段12OO之间时，则()2222OOh=−，同上可得

，32h=，不符舍去．14．定义：max,xy为实数,xy中较大的数．若,,0abc，则11max,,+++abbccacab的最小值为．【答案】2【解析】设11max,,=+++aMbbccacab，则由题意可得110,

0,0+++aMbMbcMcacab，因为11+=+bcbcaca，所以①当1c时，110++bcbaac，只需考虑1,++aMbcMcab，所以112++bMbcbaaa，12++aa

aMcbbb，所以2224=baMab，可得2M，当且仅当1abc===时取等号；②当01c时，110++bcbaac，只需考虑1,++aMbMcacb，所以211111224++=++++=aMbcabcabcacbabcabc，可

得2M，当且仅当1,1==abc时取等号.综上所述，M的最小值为2.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（本小题满分13分）已知函数()lnfxaxx=−．(1)当1a=时

，求函数()fx的单调区间；(2)当0a时，求函数()fx的最大值．【解】（1）()fx的定义域为(0,)+，当1a=时，()lnfxxx=−，()111xfxxx−=−=，当()10xfxx−=，解得：01x，当()10xfxx−=，解得：1x．()fx在(0,1)上为增函

数；()fx在(1,)+上为减函数；（2）()fx的定义域为(0,)+，()1aaxfxxx−=−=，当0a时，令()0fx，得0xa，令()0fx时，得xa，()fx的递增区间为()0,a，递减区间为(),a+．max()ln(ln1)fxaaaaa

=−=−.16．（本小题满分15分）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形，//EF平面ABCD−，EAB为等边三角形，22,60BCCEABEFABC====．(1)求证：平面EAB⊥平面ABCD；(2)求平面ECD与平面FCD夹角的余弦值．【解】（1）不妨设1

AB=，则2BCCE==，在平行四边形ABCD中，2BC=，1AB=，60ABC=，连接AC，由余弦定理得22212211cos603AC=+−=，即3AC=，222ACABBC+=，ACAB

⊥.又222ACAECE+=，ACAE⊥，ABAEA=，AC⊥平面EAB，又AC平面ABCD.平面EAB⊥平面ABCD.（2）取AB中点G，连接EG，EAEB=，EGAB⊥，由（1）易知EG⊥平面ABCD，且32EG=.如图，以A为原点，

分别以射线,ABAC所在直线为,xy轴，竖直向上为z轴，建立空间直角坐标系Axyz−，则13,0,22E，330,,22F，()0,3,0C，()1,3,0D−，()12,23,0B−，()11,23,3C−，()1,0,0CD=−，330,,22FC

=−，13,3,22EC=−−，设平面FCD的法向量为(),,nxyz=，则00nCDnFC==，得033022xyz−=−=，令1y=，得()0,1,1n=，设平面ECD的法向量为()111,,mxyz=，则00mCDmEC=

=，得11110133022xxyz−=−+−=，令11y=，得()0,1,2m=，3310cos,1025mnmnmn===，所以平面ECD与平面FCD夹角的余弦值31010.17．（本小题满分15分）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个

软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组：)360,380，)380,400，)400,420，)420,440，440,460得到如下频率分布直方图.(1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)

按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间)380,400，)400,420，)420,440内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.（ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；（ⅱ）记这

3个石榴中质量在区间)420,440内的个数为X，求X的分布列与数学期望.【解】（1）该品种石榴的平均质量为()203700.0053904104500.0104300.015x=++++416=，所以该品种石榴的平均质量为416g.（2）由题可知，这7个石榴中，质量在

)380,400，)400,420，)420,440上的频率比为0.010:0.010:0.0152:2:3=，所以抽取质量在)380,400，)400,420，)420,440上的石榴个数分别为2，2，3.

（ⅰ）记A=“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，B=“这3个石榴恰好来自不同区间”，则()337337CC34C35PA−==，()11122337CCC12C35PAB==，所以()()()12635341735PABPBAPA===，即这3个石榴恰好来自不同区间的概率

为617.（ⅱ）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，则()3437C40C35PX===，()214337CC181C35PX===，()124337CC122C35PX===，()3337C13C35PX===，所以X的分布列为X

0123P43518351235135所以()41812190123353535357EX=+++=.18．（本小题满分17分）已知抛物线：22yx=，直线:4lyx=−，且点,BD在抛物线上．(1)若点,AC在直线l上

，且,,,ABCD四点构成菱形ABCD，求直线BD的方程；(2)若点A为抛物线和直线l的交点（位于x轴下方），点C在直线l上，且,,,ABCD四点构成矩形ABCD，求直线BD的斜率．【解】（1）由题意知ACBD⊥，设直线:BDxym=−+．联立22xymy

x=−+=得2220yym+−=，则2,2BDBDyyyym+=−=−，()222BDBDxxyymm+=−++=+，则BD的中点()1,1m+−在直线4yx=−上，代入可解得2m=，2240,200yy+−==

，满足直线与抛物线有两个交点，所以直线BD的方程为2xy=−+，即20xy+−=．（2）当直线,ABAD的斜率为0或不存在时，均不满足题意．由242yxyx=−=得22xy==−或84xy=

=（舍去），故()2,2A−．方法一：当直线,ABAD的斜率存在且不为0时，设直线():22ABxty−=+．联立()2222xtyyx−=+=得22440ytyt−−−=，所以2AByyt+=．所以()

2242,22Bttt+++．同理得22422,2Dttt−+−+．由BD的中点在直线4yx=−上，得22124122422422222tttttt+++−+−=+−+，即221140tttt++

−−=．令1tpt−=，则220pp+−=，解得2p=−或1p=．当1p=时，直线BD的斜率22222211124322422BDttktttttt+−−+===−+++−−+；当2p=−时，直线BD的斜率不存在

．所以直线BD的斜率为13．方法二：设()()1122,,,BxyDxy，线段BD的中点(),4Maa−，则()12122,24xxayya+=+=−．由ABAD⊥，得121222122yyxx++=−

−−，即1222122212222yyyy++=−−−．所以()1212280yyyy−++=．又()()()()2222121212121144222yyyyyyaxx=+−+=−−+()221444218322aaaa=−−=−+，故()1212280yyyy−

++=可转化为()2218324480aaa−+−−+=，即211280aa−+=．解得7a=或4a=．所以直线BD的斜率21212221212121422BDyyyykyyxxyya−−====−+−−．当4a=时，斜率

不存在；当7a=时，斜率13BDk=．所以直线BD的斜率为13．19．（本小题满分17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBDBCAD（分式中各项均为有向线段长度，例如ABBA=−）为A，B，C，D四点的交比，记为

(,;,)ABCD．(1)证明：11(,;,)(,;,)DBCABACD−=；(2)若1l，2l，3l，4l为平面上过定点P且互异的四条直线，1L，2L为不过点P且互异的两条直线，1L与1l，2l，3l，4l的交点分别为1A，1B，1C，1D，2L与1l，2l，3l，4l的交点分别

为2A，2B，2C，2D，证明：11112222(,;,)(,;,)ABCDABCD=；(3)已知第（2）问的逆命题成立，证明：若EFG与EFG的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则EFG与EFG

对应边的交点在一条直线上．【解】（1）()1(,;,)1DCBABCADDCBABCACCDCDABDBCABCDABCADBCAD+++−=−==1(,;,)BCACBCCDCDABBCACACCDACBDBCADBCADBCADBACD+++

====；（2）()11111111111111111111,;,PACPBDPBCPADSSACBDABCDBCADSS==11111111111111111111111111sinsinsinsin2211sinsinsin

sin22PAPCAPCPBPDBPDAPCBPDBPCAPDPBPCBPCPAPDAPD==()2222222222222222222222222222sinsin,;,sinsi

nPACPBDPBCPADSSAPCBPDACBDABCDBPCAPDSSBCAD=====；（3）设EF与EF交于X，FG与FG交于Y，EG与EG交于Z，连接XY，FF与XY交于L，EE与XY交于M，GG与XY交于N，欲证X，Y

，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE，由第（2）问知(,;,)(,;,)PFLFPEME=，再考虑线束YP，YF，YL，YF，由第（2）问知(,;,)(,;,)PFLFPGNG=，从而得到(,;,)(,;,)PEMEPGNG=，于是由第（2）问的逆命

题知，EG，MN，EG交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．.