【文档说明】辽宁省大连市金州高级中学2023-2024学年高三上学期期中考试+数学+含答案.docx，共(10)页，521.150 KB，由小赞的店铺上传

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大连金州高中期中考试试卷高三数学考试时间：120分钟，满分：150分第I卷（60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知复数13iz=−，则iz=（）A．5B．5C．10D．102．已知集合240

Axx=−，220xBx=−，则AB=（）A．(2,1−B．)1,2C．)2,1−D．1,23．已知()πsinπ2sin2−=−，则πtan4+=（）A．3−B．3C．4−D．44．函数()2sinfxxxx=−的图像大致为

（）A．B．C．D．5．若等差数列{}na的公差为d，前n项和为nS，则“0d”是“{}nS为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．若函数()(1)fxxlnxax=+−在()0,+具

有单调性，则a的取值范围是（）A．()2,+B．)2,+C．(,2−D．(),2−7．已知圆M：()2221xy+−=和直线l：yx=，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线,PAPB，切点为,AB，当AB最小时，直线AB的方程为（

）A．10xy−+=B．2210xy−−=C．210xy−+=D．2210xy−+=8．已知函数()211+2xxfxxxeek+−−=+++有且只有一个零点，则k的值为（）A．1−B．0C．1D．2二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的

选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．若ab，则下列关系一定成立的是（）A．11abB．33abC．1122abD．()()22ln1ln1ab++10．如图，在44方格中，向量a，b，c的始点和终点均

为小正方形的顶点，则（）A．=abB．||||−=abcC．⊥abD．=acbc11．若函数()cossinfxxx=+，则下列结论正确的是（）A．()fx是偶函数B．()fx的最小值为2−C．曲线()yfx=关于直线πx=对称D．函数()1y

fx=−在π,π−上有3个零点12．已知1A和2A为椭圆：2212xy+=的左顶点和右顶点，点B是椭圆上不与1A和2A重合的动点，若点C与点B位于直线12AA异侧，且满足1212ABAACA+=，12BACBAC=，则（）A．点C在椭圆的外部B．点C的轨迹为

椭圆C．12122CACAABBA=D．12ACA面积的最大值为2（第9题图）第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．点(4,0)到双曲线2213xy−=的一条渐近线的距离为__________.14．在等比数列na中，34a=

，716a=，则5a=__________.15．设复数1z，2z满足12||=2||=2zz，1223izz+=+，则12|2|=zz−__________.16．已知函数()222cos2sincossin(0)2fxxxxx=−−−在区间0,2恰有一个极

小值点，三个零点，则的取值范围是__________.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知nS是等差数列na的前n项和，且23a=，525S=，（1

）求数列na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT.18．（本题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c=，()(sinsin)1)sinabABaC+−=−(．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，求△

ABC面积的取值范围．19．（本题满分12分）已知函数()xfxe=，()egxx=.（1）直接写出曲线()yfx=与曲线()ygx=的公共点坐标，并求曲线()yfx=在公共点处的切线方程；（2）已知直线ya=分别交曲线()yfx=和()ygx=于点A，B，当(

0,)ae时，设OAB的面积为()Sa，其中O是坐标原点，求()Sa的最大值.20．（本题满分12分）设nS是数列na的前n项和，已知11a=，11,,22,.nnnannaann++=−

为奇数为偶数（1）证明：22na−是等比数列，并求2na的通项公式；（2）证明：当2n时，22nnaS.21．（本题满分12分）已知抛物线1C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过()1,1−，()1,2，()2,2−，()1,2−−四点中的两点.（1）求抛

物线1C的方程；（2）若直线l与抛物线1C交于,MN两点，与抛物线2C：24yx=交于,PQ两点，,MP在第一象限，,NQ在第四象限，且2NQMP=，求PQMN的值.22．（本题满分12分）已知函数()(1)ln(1)fxxxt

=−−+.（1）若()(1)0fxfx+−对任意的()0,1x恒成立，求t的取值范围；（2）设*Nn且2n，证明：2231212312nnnnnnn−−−.（高三数学）参

考答案一、单项选择题1-4DBAC5-8DCAA二、多项选择题9．BC10．BCD11．ACD12．AC三、填空题13．214．815．2316．2511,124四、解答题17．解：（1）设等差数列na的公差为d，因为23a=，525S=，所以11351

025adad+=+=，解得112ad==，……………………3分所以12(1)21nann=+−=−，即数列na的通项公式为21nan=−；……………………5分（2）因为111111(21)(21)22121

nnnbaannnn+===−−+−+，……………………8分所以11111111112335212122121nnTnnnn=−+−++−=−=−+++.所以数列nb的前n项和21nnTn

=+.……………………10分18．解：（1）由题设及正弦定理得()())ababacc+−=−(，……………………2分所以222acbac+−=，故2221cos22acbBac+−==，……………………4分因为0180B，所以60B=．……………………6分（2）由题设及（1）知△

ABC的面积34ABCSa=．由正弦定理得sinsin(120)31sinsin2tan2cAcCaCCC−===+．……………………8分由于△ABC为锐角三角形，故090A，090C．由（1）知120AC+=，所以3090C

，……………………10分故122a，从而3382ABCS．因此，△ABC面积的取值范围是．……………………………12分19．解：（1）曲线()yfx=与曲线()ygx=的公共点坐标为(1,e).………………2分因为'(

)exfx=，所以'(1)ef=，……………………4分所以曲线()yfx=在公共点处的切线方程为ee(1)yx−=−，即eyx=.……………………6分（2）因为直线ya=分别交曲线()yfx=和()ygx

=于点A，B.所以A(ln,)aa，Be(,)aa.11e()|||ln|22SaaABaaa==−，(0,e)a.……………………8分因为(0,e)a时，e1,ln1aa，所以elnaa，所以e1()ln22Saaa=−，(0,e)a，1'()(1ln)2Sa

a=−+，……………………10分令'()0Sa=，得1ea=，所以'(),()SaSa的情况如下：a1(0,)e1e1(,e)e'()Sa+0−()Sa极大值因此，()Sa的极大值，也是最大值为1e1()e22eS=+.……………………………12分20．解

：（1）由已知得()222122111214211222nnnnaananna++=++=−++=+，所以()2221222nnaa+−=−，……………………2分因为232a=，21202a−=−，所以2222122nnaa+−=−，……………………3分所以22na−是

以12−为首项，12为公比的等比数列，……………………4分所以1211222nna−−=−，2122nna=−+，33(,)82所以2na的通项公式2122nna=−+；……………………6分（2）由2122nna=−+知12

11642nnan−−=−−，所以21218432nnnaan−+=−−，……………………7分所以()()()21234212nnnSaaaaaa−=++++++()2211118412326332222nnnnnn=−+++−++

+=−+−+233123222nn=−−++，……………………9分当2n时，22122nnnaS=−++−23312322

2nn−−−=231124222nn−+−令2311()24222xfxx=−+−，可知(2)0f=且当2x时，()fx单调递

增，所以当2n时，220nnSa−，即当2n时，22nnaS.…………………………12分21．解：（1）由抛物线1C的顶点在原点，对称轴为坐标轴可知，点()1,1−和点()1,2−−不可能同时在抛物线1C上，点()2,2−和点()1,2−−不可能同时在抛物线1C

上，点()1,2和点()1,2−−也不可能同时在抛物线1C上，所以抛物线1C过()1,2，()2,2−两点.……………………3分设1C()2:20ypxp=，代入点()1,2，则22p=，得1p=，所以22yx=，抛物线过点()2,2−，满足题意．综

上，抛物线1C的方程为22yx=．……………………5分（2）设直线:lxmyt=+，()()()()11223344,,,,,,,MxyNxyPxyQxy，根据题意可知：0m，且31240yyyy，联立22xmytyx=+=，得2220ym

yt−−=，则122yym+=，同理联立24xmytyx=+=，得2440ymyt−−=，则344yym+=，……………………7分由2NQMP=得2QNMP=，即()()24243131,2,xxyyxxyy−−

=−−，所以()24312yyyy−=−，即()()()2332422ymyymy−−=−−，整理得23yy=−……………………8分又因为2222332,4yxyx==，所以223223222yyxx===，……………………9分由23323321yyymxxx−−==−

，得332xmy=−联立333323842ymyxxmy=−−==，所以2148,6,12ymymym==−=，……………………11分故PQMN34122010147yymyym−−===−−.……………………………1

2分22．解：（1）由题可知对任意的()0,1x，()()1ln1ln20xxxxt−−++恒成立，令()()()1ln1ln2,01gxxxxxtx=−−++，则()()lnln1gxxx−=−，……………………2分令(

)0gx=得12x=，且()()110,,0;,1,022xgxxgx，所以()gx在10,2上递减，在1,12上递增，所以()gx在()0,1上的最小值为1ln222gt=−+，……………………4分由题可知ln

220t−+，所以ln22t，所以t的取值范围为ln2,2+.……………………5分（2）要证不等式2231212312nnnnnnn−−−

两边取对数，得211lnln22nkknkn−=−，故只需证明11lnln22nkkknnn−=−，…………………6分由(1)可知：对任意的()0,1x，()()1ln1lnln2xxxx−

−+−，……………………7分取,1,2,,1kxknn==−，代入上式得ln1ln1ln2,1,2,,1kkkkknnnnn+−−−=−，……………………8分所以1111112lnln1lnnn

nkkkkkkkknknnnnnn−−−===−=+−11ln1ln1nkkkkknnnn−==+−−……………………10分而11ln1ln1(1)ln2ln2nkkkkknnnnnn

−=+−−−−−，……………………11分所以11lnln22nkkknnn−=−，即2231212312nnnnnnn−−−，其中*Nn且2n.……

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