【文档说明】吉林省长春市绿园区长春市新解放学校2022-2023学年高一下学期6月期中数学试题含解析.docx，共(22)页，1016.349 KB，由小赞的店铺上传

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吉林省长春市新解放学校2022-2023学年下学期期中考试高一数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．若复数z满足(1+2𝑖)⋅𝑧=5−5𝑖，则𝑧=A．13i+B．13i−C．13i−+D．13i−−2．如图，△𝐴′𝐵′𝐶′是水平放置△𝐴𝐵𝐶的直观

图，其中1BCCA==，𝐴′𝐵′//x轴，AC//y轴，则BC=A．2B．2C．6D．43．△𝐴𝐵𝐶的内角,,ABC，所对的边分别为,,abc，且π2,3,3abB===，则A的值为A．π6B．π4C．π3D．3π

44．已知m，n是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是A．若//m，//mn，则//nB．若m⊥，//，则m⊥C．若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥D．若⊥，⊥，l=，则l⊥5．已知向量,ab满足5,6,6,abab===−则

ab+=A．3B．49C．6D．76．在△𝐴𝐵𝐶中，若sin3sinCA=，22bac=，则cosB=A．13B．14C．23D．347．如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，BC＝2AD，DE＝EC，设

𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=A．12𝑎+14𝑏⃗B．−13𝑎+56𝑏⃗C．23𝑎−23𝑏⃗D．12𝑎+34𝑏⃗8．已知长方体1111ABCDABCD−中，3AB=，𝐵𝐶=√6，若1AC与平

面11BCCB所成的角的余弦值为63，则该长方体外接球的表面积为A．27π2B．27πC．45π2D．45π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分

）9．已知平面向量𝑎→，𝑏→，𝑐→，下列四个命题不正确的是A．若|𝑎|=0，则𝑎=0⃗B．单位向量都相等C．方向相反的两个非零向量一定共线D．若𝑎，𝑏⃗满足|𝑎|>|𝑏⃗|，且𝑎与𝑏⃗同向，则𝑎>𝑏⃗10．已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底

面和侧面都相切，则A．圆台的母线长为4B．圆台的高为4C．圆台的表面积为26πD．球O的体积为12π11．已知△𝐴𝐵𝐶的内角ABC､､的对边分别为abc､､，则下列说法正确的是A．若AB,则sinsinA

BB．若222cab+，则△𝐴𝐵𝐶为直角三角形C．若222sinsinsinABC+=,则△𝐴𝐵𝐶为直角三角形D．若60,3,3Ccb===，则满足条件的△𝐴𝐵𝐶有两个12．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长

为6，点,EF分别是棱1,ADDD的中点，M是棱AB上的动点，则A．直线1CC与BF所成角的正切值为2B．直线EF//平面11ABCDC．平面EFM⊥平面11ABCDD．1B到直线EF的距离为3342

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量𝑎=(1,2𝑘),𝑏⃗=(−2,3)，若𝑎⊥𝑏⃗，则k=___________.14．在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,C所对边分别是a,b,c，若222ababc+−=，则C=___________.15．已知复数z满

足|z22i|1+−=，则|z22i|−−的最大值为__________．16．某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为()1553m−，在它们之间的地面上

的点M（𝐵，M，D三点共线）处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为______m.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余

各题12分，共70分）17．已知复数()()2232232izmmmm=−++−−，其中i为虚数单位，𝑚∈𝑅．(1)若z是纯虚数，求m的值；(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．18．已知𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗

⃗⃗是两个不共线的向量.(1)若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑒1⃗⃗⃗−2𝑒2⃗⃗⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑒1⃗⃗⃗+𝑒2⃗⃗⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=8𝑒1⃗⃗⃗−9𝑒2⃗⃗⃗，求证：A，B，D三点共线；(2)若2𝜆𝑒1⃗⃗⃗+𝑒2⃗⃗⃗和12ee+共线，求实数的值．19

．在△𝐴𝐵𝐶中角𝐴，𝐵，C所对的边分别为a，b，c，32sinabA=.(1)求B；(2)若7,3bc==，求△𝐴𝐵𝐶的面积.20．如图，在四棱锥CABED−中，正方形ABED的边长为2，平面ABED

⊥平面ABC，且BCAC⊥，3AC=，点,GF分别是线段,ECBD的中点.(1)求证：直线//GF平面ABC；(2)求直线GF与平面BDE所成角的大小.21．已知△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，C所对的边分别为a，b，c，向

量𝑚⃗⃗=(𝑎,−𝑐𝑜𝑠𝐴)，且𝑛⃗=(𝑠𝑖𝑛𝐵，√3𝑏)，且𝑚⃗⃗⊥𝑛⃗．(1)求A；(2)若13a=，且△𝐴𝐵𝐶的面积为33，求△𝐴𝐵𝐶周长．22．在直三棱柱

111ABCABC-中，E为棱1CC上一点，𝐴𝐵=𝐶𝐸=2，13AA=，D为棱1BB上一点.(1)若CACB=，且D为1BB靠近B的三等分点，求证：平面1ADE⊥平面11ABBA；(2)若△ABC为等边三角形，

且三棱锥111DABC−的体积为233，求二面角11EADC−−的正弦值的大小.参考答案：1．D【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果.【详解】因为(12i)55iz+=−，所以55i12iz−=+(55i)

(12i)(12i)(12i)−−=+−515i13i5−−==−−，故选：D2．C【分析】在直观图中，利用余弦定理求出AB，再由斜二测画图法求出AB及AC，借助勾股定理求解作答.【详解】在ABC

中，1BCCA==，45BAC=，由余弦定理得：2222cos45BCACABACAB=+−，即220ABAB−=，而0AB，解得2AB=，由斜二测画图法知：2ABAB==，22ACAC==，在ABC中，ABAC⊥，所以

226BCACAB=+=.故选：C3．B【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求A的值.【详解】由正弦定理知：sinsinabAB=，则6sin22sin23aBAb===，(0,π)A，所以π4A=或3π4A=，又πAB+，故π4A

=.故选：B4．A【分析】设出、、的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D；根据线面关系判断A.【详解】设平面、、的法向量分别为a、b、c，直线m，n的方向向量为m，n，对于A：若//m，//mn，则//n或n，故A错误；对于B：若m⊥，则//

ma，又//，则b//a，所以//mb，则m⊥，故B正确；对于C：若m⊥，n⊥，则//ma，//nb，又mn⊥，则mn⊥，所以ab⊥，则⊥，故C正确；对于D：因⊥，⊥，则ac⊥，bc⊥，因此向量a、b共面于平面，令直线l的方向向量为p，显然ap⊥，bp⊥，而平面l

=，即a、b不共线，于是得//cp，所以l⊥，故D正确.故选：A5．D【分析】根据公式2aa=直接计算可得.【详解】222()22512367ababaabb+=+=++=−+=.故选：D6．C【分析】根据题意，结合正弦定理求得3ca=，再由余弦定理，即可求

解.【详解】因为sin3sinCA=，由正弦定理可得3ca=，且22bac=，由余弦定理可得：2222222962cos263acbaaaBaca+−+−===.故选：C．7．D【分析】取BC中点F，先征得四边形AFCD为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解即可.【详

解】取BC中点F，连接AF，如图所示，又因为2BCAD=，//BCAD，所以CFAD=且//CFAD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以11111()()22222BEBCCEBCCDBCFABCBAB

FBCBABC=+=+=+=+−=+−31134224BCBAab=+=+.故选：D.8．B【分析】根据直线与平面所成角的定义得1116cos3BCACBAC==Ð，即1136BCAC=，设1CCx=，求出212x=，根据该长方体外接球的直径是1AC，可求出2127AC==，再根据球的表面积公

式可求出结果.【详解】连1BC，因为AB⊥平面11BCCB，所以1ACB是1AC与平面11BCCB所成的角，所以1116cos3BCACBAC==Ð，所以1136BCAC=，设1CCx=，则22211

BCBCCC=+，即2216BCx=+，又222211ACABBCCC=++，所以2219966BCx=++，所以229(6)156xx+=+，即212x=，所以2118BC=，21918276AC==，因为

该长方体外接球的直径是1AC，所以半径22112744RAC==，所以该外接球的表面积为2274π4π27π4R==.故选：B9．BD【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】对于A，若0a=，则0a=，故A正确；对于B，单位向量的模为1，但是方

向不一定相同，故B错误；对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确；对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误；故选：BD10．ACD【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为12,OO，半径分别为12,rr，连接,,ODOEOA，利用平面几何知识得到2

123Rrr==，即可逐项计算求解．【详解】设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,OO，半径分别为12,rr，则12,,OOO共线，且1212,OOABOOCD⊥⊥，连接,,ODOEOA，则,ODOA分别

平分,DABADC，故12,rrEAED==，,,22ππODADOAOEDOAAD+==⊥，故2EOAEDE=，即2123Rrr==，解得3R=，母线长为124rr+=，故A正确；圆台的高为223R=，故B错误；圆台的表面积为22π1π3π(13)426π

+++=，故C正确；故选：AC.11．AC【分析】根据正弦定理、余弦定理知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A选项，若AB，则ab，由正弦定理可得2sin2sinRARB，所以，sinsinAB，故A选项正确；对于B选项

，由222cab+可得：2220abc+−，则222cos02abcCab+−=，得到C为钝角，故B选项不正确；对于C选项，若222sinsinsinABC+=，由正弦定理可得222+=abc，所以ABC为直角三角形，故C选项正确；.对于D选项，由正弦定理可得sinsin

cbCB=，则33sin32B=，故1sin2B=，由()0,πB可得π6B=或5π6B=，因为cb，则CB，故π6B=，故D选项不正确.故选：AC.12．BCD【分析】把直线1CC与BF所成的角，转化为直线1BB与B

F所成的角，在直角BFN中，求得所成的角的正切值为22，可判定A不正确；由1//EFAD，利用线面平行的判定定理，证得//EF平面11ABCD，可判定B正确；由1AD⊥平面11ABCD，得到EF⊥平面11ABCD，结合面面垂直的判定

定理，可判定C正确；设1ADEFO=，证得1EFBO⊥，得到1BO即为点1B到直线EF的距离，在直角11ABO中求得1BO，可判定D正确.【详解】对于A中，在正方体1111ABCDABCD−中，可得11//CCBB，所以异面直线

1CC与BF所成的角，即为直线1BB与BF所成的角，设1FBB=，取1BB的中点N，连接1BF和FN，在直角BFN中，tan22FNBN==，即异面直线1CC与BF所成的角的正切值为22，所以A不正确；对于B中，因为点,EF分

别是棱1,ADDD的中点，可得1//EFAD，又因为EF平面11ABCD，1AD平面11ABCD，所以直线//EF平面11ABCD，所以B正确；对于C中，在正方体1111ABCDABCD−中，可得1AD⊥平

面11ABCD，因为1//EFAD，所以EF⊥平面11ABCD，又因为EF平面EFM，所以平面EFM⊥平面11ABCD，所以C正确；对于D中，设1ADEFO=，因为EF⊥平面11ABCD，且1BO平

面11ABCD，可得1EFBO⊥，所以1BO即为点1B到直线EF的距离，在直角11ABO中，111926,2ABAO==，所以22111813343622BOABAO=+=+=，即1B到直线EF的距离

为3342，所以D正确.故选：BCD.13．13【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.14．3/60【分析】根据余弦定理直接求解即可.【详解】222ababc+−=，2221cos22

abcCab+−==，0πC，π3C=.故答案为：π3.15．5【分析】确定22i1z+−=表示复数z几何意义，再结合22iz−−的几何意义求解作答.【详解】由()1i222i2zz+−=−−+=，得复数z对应的点在以()2,2−为圆心，1为半径的圆上，()i2222izz−−=

−+表示复数z对应的点到()2,2的距离，点()2,2−到点()2,2的距离为()()2222224−−+−=，所以22iz−−的最大值为415+=.故答案为：516．30【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得C

M，再解直角三角形CDM，计算可得天文台的高度.【详解】在RtABM中，有sin15ABAM=，在ACM△中，301545CAM=+=，1801560105AMC=−−=，1801054530ACM=−−=，由正弦定理得sinsi

nAMMCACMCAM=，，故sinsin452sinsin30sin15sin15CAMABABMCAMACM===，在RtCDM△中，sin602sin60sin15ABCDMC==，又()232162sin15sin4530sin45

cos30cos45sin3022224−=−=−=−=，则155332sin60230sin152624ABCD−===−.故答案为：30.17．(1)1m=(2)112m−【分析】（1）由纯虚数定义列方程求参数；（

2）由复数对应点所在象限列不等式组求参数范围.【详解】（1）由z是纯虚数，则2232(1)(2)0232(21)(2)0mmmmmmmm−+=−−=−−=+−，故1m=.（2）由z在复平面内对应的点在第四象限，2232(1)(2)0232(21)(2)0m

mmmmmmm−+=−−−−=+−，所以112m−.18．(1)证明见解析；(2)22=【分析】（1）求出BD，找到使ABBD=成立的即可证明；（2）通过平行，必存在实数k使()12122keeee=++，列方程组求出实

数的值.【详解】（1）()121212489128BDBCCDeeeeee=+=++−=−，又1232ABee=−，4ABBD=，AB//BD，又ABBDB=，A，B，D三点共线；（2）向量122ee+和12ee+共线，存

在实数k使()1212122eekekekee++==+，又1e，2e是不共线，21kk==，解得22=.19．(1)π3或2π3(2)332或334【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到

结果；（2）根据题意，由余弦定理可得a，再由三角形的面积公式即可得到结果.【详解】（1）因为32sinabA=，由正弦定理可得，3sin2sinsinABA=，因为sin0A，所以3sin2B=，且()0,πB，所以π3B=或2π3.（2）由（1）可知π3B

=或2π3，且7,3bc==，bc，所以BC即π3B=，由余弦定理可得，2222cosbacacB=+−，即2179232aa=+−，解得1a=或2a=，当1a=时，11333sin132224ABCSacB===，当2a=时，11333sin232222ABCSac

B===，所以ABC的面积为332或334.20．(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）连接AE可得GF为AC的中位线，再利用线面平行的判定定理即可得出证明；（2）利用四棱锥CABED−的结构特征以及

线面垂直的判定定理，建立以B为坐标原点的空间直角坐标系，利用空间向量和线面角的位置关系，即可求得直线GF与平面BDE所成角的大小为π6.【详解】（1）根据题意可知，连接AE，则AE交BD与F；如下图所示：在ACE△中，F为AE的中点，又点G是线段EC的中点，所以//GFAC，又GF

平面ABC，AC平面ABC，所以直线//GF平面ABC；（2）由平面ABED⊥平面ABC，且平面ABED平面ABCAB=，又四边形ABED是正方形，所以BEAB⊥，又BE平面ABED，所以BE⊥平面ABC；过点B作直线y平行于AC，又BCAC

⊥，所以以B为坐标原点，分别以直线BC，直线y，直线BE为,,xyz轴建立空间直角坐标系；如下图所示：由正方形ABED的边长为2，BCAC⊥，3AC=可得，1BC=；所以()()()()0,0,0,1,0,0,0,0,2,1,3,2BCED；()(

)0,0,2,1,3,0BEED==；又点,GF分别是线段,ECBD的中点，所以113,0,1,,,1222GF；即30,,02GF=；设平面CDE的一个法向量为(),

,nxyz=；所以2030nBEznEDxy===+=，可得0z=，令3x=，解得1y=−；即()3,1,0n=−设直线GF与平面CDE所成的角为π,0,2，则2312sincos,23312nGFnGFnGF====+，解得π6=；所以

直线GF与平面BDE所成角的大小为π6.21．(1)π3(2)713+【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；（2）由面积公式和余弦定理可得答案.【详解】（1）（1）∵mn⊥，∴𝑚⃗⃗⋅𝑛⃗=𝑎

sin𝐵−√3𝑏cos𝐴=0，由正弦定理得sin𝐴sin𝐵−√3sin𝐵cos𝐴=0，B是三角形内角，sin0B，∴sin𝐴−√3cos𝐴=0，tan𝐴=√3，A是三角形内角，∴𝐴=𝜋3；（2）13sin3324ABCSbcAbc===，12

bc=，又()22222cos213abcbcAbcbcbc=+−=+−−=，7bc+=，713abc++=+，△𝐴𝐵𝐶的周长为713+.22．(1)见解析(2)77【分析】（1）由面面垂直的判定定理即可证明

；（2）由三棱锥111DABC−的体积公式可求出12BD=，以O为坐标原点，直线,,OBOCOF分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，分别求出平面1ADE和平面11ADC的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【详解】（1）分别取1,ABAD的中点,OF，连接,,COFOEF，则

1,COABCOAA⊥⊥，1////OFAABD，且12AABDOF+=，由题意可知，1113BDBB==，所以2OF=，又1////OFAACE，2CE=，所以//OFCE，OFCE=，所以四边形CEFO为平行四边形，所以//EFCO，所以1,EFABEFAA⊥⊥，

又1ABAAA=，1,ABAA平面11ABBA，所以EF⊥平面11ABBA，又因为EF平面1ADE，所以平面1ADE⊥平面11ABBA；（2）由（1）可得,,COOFFOABABCO⊥⊥⊥，以O为坐标原点，直线,,OBOCOF分

别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，因为三棱锥111DABC−的体积为233，所以111111112333DABCABCVSBD−==，即111π2322sin3233BD=，解得：12BD=，所以1BD=，则()()()()111,0,1,

1,0,3,0,3,2,0,3,3DAEC−，所以()12,0,2AD=−，()111,3,0AC=，()11,3,1AE=−，设平面1ADE的一个法向量(),,mxyz=，则112200300xzmADxyzmAE−==+

−==，令1z=，解得：1,0xy==.故()1,0,1m=设平面11ADC的一个法向量(),,nabc=，则1112200300acnADabnAC−==+==，令1b=，解得：3,3ay=−=−.故

()3,1,3n=−−，所以2342cos,727mnmnmn−===−，设二面角11EADC−−的大小为，2427sin1cos,1497mn=−=−=，即二面角11EADC−−的正弦值为77.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信

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