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专练24平面向量基本定理及坐标表示授课提示：对应学生用书49页[基础强化]一、选择题1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2

＋2e1答案：D解析：选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则1＝λ，－2＝2λ无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则1＝λ，1＝－

λ无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝()A．(－2，－1)B．(－2，1)C．(－1，

0)D．(－1，2)答案：D解析：12a－32b＝12，12－32，－32＝(－1，2).3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于()A．14B．1C．－13D．－12答案：C

解析：∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)∴2m＋n＝－1，m＋5n＝1，得m＝－23，n＝13，∴m＋n＝

－23＋13＝－13.4．设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a＋2b的最小值是()A．2B．4C．6D．8答案：D解析：∵AB→＝OB→－OA→＝(a－1，1)，CB→＝(a＋b，－1)，∵A，B

，C三点共线，∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴1a＋2b＝1a＋2b(2a＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8(当且仅当ba＝4ab即a＝14，b＝12时等

号成立)5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN→＝－3a，则点N的坐标为()A．(2，0)B．(－3，6)C．(6，2)D．(－2，0)答案：A解析：设点N的坐标为(x，y)，则MN→＝(x－5，y＋6)又MN→＝－3a＝(－3，6)，∴

x－5＝－3，y＋6＝6，得x＝2，y＝0.6．已知向量m＝sinA，12与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为()A．π6B．π4C．π3D．π2答案：C解析：∵m∥n，∴sinA(sinA＋3cosA)－32＝0，∴2s

in2A＋23sinAcosA＝3.可化为1－cos2A＋3sin2A＝3，∴sin2A－π6＝1.∵A∈(0，π)，∴2A－π6∈－π6，11π6.因此2A－π6＝π2，解得A＝π3.故选C.7．已知向量a

＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是()A．26B．2512C．2524D．256答案：C解析：∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥22x·

3y＝26xy，(当且仅当2x＝3y，即：x＝54，y＝56时等号成立)，∴xy≤2524，故选C.8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A．－65，85B．(－6，

8)C．65，－85D．(6，－8)答案：D解析：由题意不妨设b＝(－3m，4m)(m<0)，则|b|＝（－3m）2＋（4m）2＝10，解得m＝－2或m＝2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.9．[2024·全国甲卷(理)]设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则()A．x

＝－3是a⊥b的必要条件B．x＝－3是a∥b的必要条件C．x＝0是a⊥b的充分条件D．x＝－1＋3是a∥b的充分条件答案：C解析：因为a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，所以a⊥b的充要条件为a·b＝0，即(x＋1)·x＋2x＝0，解得x＝0

或x＝－3，故A错误，C正确．a∥b的充要条件为2(x＋1)＝x2，即x2－2x－2＝0，解得x＝1±3，故B，D错误．故选C.二、填空题10．[2022·全国甲卷(文)，13]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．答案：－34解析：由a⊥b，可得a

·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－34.11．已知OA→＝(23，0)，OB→＝(0，2)，AC→＝tAB→，t∈R，当|OC→|最小时，t＝________．答案：34解析：依题意得OC→－OA→＝t(－23，2)，

OC→＝t(－23，2)＋OA→＝(23－23t，2t)，|OC→|2＝12(1－t)2＋4t2＝16t－342＋3≥3，当且仅当t＝34时取等号．因此，当|OC→|最小时，t＝34.12．已知△ABC和点M满足MA→＋MB

→＋MC→＝0，若存在实数m，使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________．答案：3解析：∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴M为△ABC的重心，设D为BC边的中点，则AM→＝12(AB→＋AC→)×23＝13(A

B→＋AC→)，∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.[能力提升]13．已知在Rt△ABC中，A＝π2，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设AQ→＝aAB→＋bAC→，则a＋b的

最大值为()A．1312B．54C．1712D．1912答案：C解析：根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，4)，B(3，0)，易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，

由AQ→＝aAB→＋bAC→＝(3a，4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以AQ→＝(3a，4z－4a).设Q(x，y)，所以x＝3a，y＝4z－4a，消去a，得y＝－43x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－43x

＋4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆的公切线于点R，则|AQ|＝125，|AR|＝175，所以点A到直线y＝－43x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距离

为175，所以|－12z|32＋42＝175，解得z＝1712，即a＋b的最大值为1712，故选C.14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA→＝λCE→

＋μDB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A．65B．85C．2D．83答案：B解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴CA→＝(－2，2)，CE→

＝(－2，1)，DB→＝(1，2)，∵CA→＝λCE→＋μDB→，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.15．(多选)已知向量m＝(1，0)，n＝(12，12)，则()A．|m|＝2|n|B

．(m－n)∥nC．(m－n)⊥nD．m与－n的夹角为3π4答案：ACD解析：因为m＝(1，0)，n＝(12，12)，所以|m|＝1，|n|＝（12）2＋（12）2＝22，所以|m|＝2|n|，故A正确；因为m－n＝(12，－12)，所以m－n与n不平行，

故B错误；又(m－n)·n＝0，故C正确；因为cos〈m，－n〉＝m·（－n）|m||－n|＝－22，所以m与－n的夹角为3π4，故D正确．16．如图，已知平面内有三个向量OA→、OB→、OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|

＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．答案：6解析：方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1＋OA1，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1

OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝23，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以OC→＝4OA→＋2OB→，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(

1，0)，B(－12，32)，C(3，3).由OC→＝λOA→＋μOB→＝λ(1，0)＋μ(－12，32)，得(λ－12μ，32μ)＝(3，3)，得3＝λ－12μ，3＝32μ，解得λ＝4，μ＝2.所

以λ＋μ＝6.