【文档说明】甘肃省张掖市校际联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案.docx，共(16)页，784.257 KB，由小赞的店铺上传

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2022年春学期高二年级期中校际联考数学试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题（共60分）1．已知a，b为实数，且2ii1iba+=++（i为虚数单位），则iab+=（）A．34i+B．12i+C．32i−−D．32i+2．曲线1yx=−在点1,22−处的切线方程是（）

A．4yx=−B．44yx=−C．44yx=+D．44yx=−+3．612xx+的展开式中常数项是（）A．60B．160C．120D．2404．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2

)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，……．按以上规律，第70个数对是（）A．(2,11)B．(3,10)C．(4,9)D．(5,8)5．已知函数()lnf

xxx=+，曲线()yfx=在0xx=处的切线l的方程为1ykx=−，则切线l与坐标轴所围成的三角形的面积为（）．A．2B．4C．12D．146．设随机变量的分布列为下表所示，且()1.6E=，则ab−=（）0123P0.1ab0.1A．0.

2B．0.3−C．0.3D．0.2−7．某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有四种颜色可供选择，有（）种不同的涂色方案．自由平等公正法制A．24B．256C．108D．728．《世说新语·道旁苦李》有这样一则故事：王戎七岁的时候

，曾经和小朋友们一道玩耍，看见路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了，那些小朋友都争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动．有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在大路边上，还有这么多李子，这一定是苦李子．”摘来一尝，果然是这样

．这则故事中，王戎判断李子是苦李所用到的数学方法是（）A．反证法B．综合法C．分析法D．分析—综合法9．中国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同的社区的人口普查工作

，要求每个社区至少安排1名志愿者，1名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（）A．240种B．216种C．144种D．72种10．()1212dxx−+=（）A．23B．73C．143D．20311．如图所示，在正方体1111AB

CDABCD−中，若经过1DB的平面分别交1AA和1CC于点E，F，则四边形1DEBF的形状是（）A．直角梯形B．菱形C．正方形D．平行四边形12．函数()()()1e21xfxaxx=−−−有两个零点，则a的取值范围为（）A．()32e,14

,−+UB．321,4eC．()320,14e,+D．324e,+第II卷（非选择题）二、填空题（共20分）13．设复数1z，2z满足122zz==，123izz+=+，则

12zz−=______．14．现某路口对一周内过往人员进行健康码检查，安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有______种．15．对于空间任

意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是______（填序号）．①(),0OPOAtABtt=+Ruuuruuruuur；②5OPOAAB=+uuuruuruuur；③(),0OPOAtABtt=−Ruuuruuruuur；④OPOA

AB=−+uuuruuruuur．16．已知函数()ln3xfxx=，若关于x的不等式()()20fxafx−有且仅有1个整数解，则a的取值范围为______．三、解答题（共70分）17．已知

()2nxx−展开式中所有项的二项式系数和为16．（1）求n的值；（2）求展开式中含2x的项的系数．18．已知a为实数，函数()32xafxxxa=+++，()10f−=．（1）求a的值；（2）求函数()yfx=在3,12−

上的极值．19．已知几何体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为4的正方形，EF∥CD，且EF＝ED＝2．（1）求证：AD⊥CF；（2）求平面ADE与平面BCF所成角的大小．20．已知函数()31fxxax=−−．（1）当0a=时，求()fx在点()1,2−−

处的切线方程．（2）若()fx在区间()1,+上为增函数，求a的取值范围．21．南充市的“名师云课堂”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学

生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量0,1000(1000,3000()3000,+节数61812（1）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；（2）为了更好地搭建云课平台，现

将云课进行剪辑，若点击量在区间0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（1）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．22．已知函数()(

)2ln12xfxaxx=++−（a为非零实数）．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()fx有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：()()121fxfxx−+．参考答案1．【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,ab

，进而得解．【详解】()()2i1i2i22ii22i1i2222bbbbbb+−+−+++−===++由题意知222=12bab+=−，解得34ab==，所以i34iab+=+故选：A2．【答案】B【解析

】【分析】求导21yx=，得到曲线在点1,22−处的斜率，写出切线方程．【详解】因为21yx=，所以曲线在点1,22−处斜率为4，所以曲线1yx=−在点1,22−处的切

线方程是1242yx+=−，即44yx=−，故选：B3．【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项进行求解．【详解】612xx+的展开式的通项为66621661C(2)()2Ckkkk

kkkTxxx−−−+==，令620k−=，得3k=，即33462C820160T===，即展开式常数项为160．故选：B．4．【答案】C【解析】【分析】根据数字的排布规律，观察可以发现，是按照数对的和的大小从小到大排列的，逐次考察和为1，2，3，4

，…的数对的个数，得到第70对数是两个数的和为13的数对中，即可得到答案．【详解】解：()1,1，两数的和为2，共1个，()()1,2,2,1，两数的和为3，共2个，()()()1,3,2,2,3,1，两数的和为4，共3个，()()()()1,4,2,3,3,2,4,1，两数的

和为5，共4个，…()()()()1,,2,1,3,2,,1nnnn−−，两数的和为n＋1，共n个，∵123456789101166++++++++++=，∴第70对数是两个数的和为13的数对中，对应的数对为()()()()()1,12,2,11,3,10,4,9,,12,1，则第70对数为(

)4,9，故选：C．5．【答案】D【解析】【分析】首先根据导数的几何意义可知0()fxk=，由此可得011xk=−，再根据切点即在曲线上，又在切线上，可得1111kfkk=−−−，可得2k=，求出切线方程，再分别令0x=，0y=，求出切线在y轴

和x轴上的截距，再根据面积公式即可求出结果．【详解】由()lnfxxx=+得1()1fxx=+，则001()1fxkx=+=，得011xk=−，由111ln11111kfkkkk=+=−−−−−

得加1ln01k=−，即2k=，∴切线l的方程为21yx=−，令0x=，得到1y=−，令0y=，得到12x=，所求三角形面积为1111224−=．故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．6．【答案】D【

解析】【分析】根据已知条件可得出关于a、b的方程组，即可求得ab−的值．【详解】由题意可得()0.21230.11.6abEab++==++=，解得0.30.5ab==，因此，0.2ab−=−．故

选：D．7．【答案】C【解析】【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先涂“自由”有4种涂法，再涂“平等”有3种涂法，以此类推“公正”有3种涂法，“法制”有3种涂法，按照分步乘法原理可得有4333108=种涂法；故选：C8．【答案】A【解析】【分析】根

据题干信息中的“路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了”，采用反证法推理即可．【详解】王戎所用的方法是反证法．首先假设道路旁结的李子是甜李子，那么这条大路边每天人来人往这么多人，李子一定所剩无几了，而李子树现在仍有很多李子，两者相互矛盾，所以假设错误，道旁结的

李子是苦李子．故选：A．9．【答案】B【解析】【分析】先将5人按题中要求分成四个组，再将四个组分到四个社区，可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名志愿者分为4组，要求甲乙不在同一组，分为2、1、1、1的四组，有21

11532133CCCC9A1−=种分组方法，②将分好的四组全排列，安排到四个社区，有44A24=种安排方法，则有924216=种安排方法，故选：B．10．【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的原函数，再求出函数的定积分；【详解】解：()()()13133

21111142d221213333xxxx−−−+=+=+−+−=．故选：C11．【答案】D【解析】【分析】作图，建立空间坐标系，应用向量的方法即可求解．【详解】设正方体的棱长为a，AE＝x，CF＝y，

建立如上图所示的空间直角坐标系，则()()()()10,0,,,,0,,0,,0,,DaBaaEaxFay，()()()111,0,,,,,0,,DEaxaDBaaaDFaya=−=−=−uuuruuuruuur，∵1,,,DEFB在同一个平面内，∴111DBDEDF

=+uuuruuuruuur，即()()()(),,,,aaaaaxaya−=−+−，解得1,1,xya==+=，由上图可知，111,AECFABEDCF=VV，221BEDFxa==+，同理221DEBFya==+，BFBE，所以四边形1B

EDF是平行四边形；故选：D12．【答案】C【解析】【分析】判断(2e1)xyx=−的单调性，作出(2e1)xyx=−与(1)yax=−的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出a的范围．【详解】解：令()0fx=得(21

)(1)exxax−=−，令()e(21)xgxx=−，则()e(21)xgxx=+，当12x−时，()0gx，当12x−时，()0gx，()gx在1,2−−上单调递减

，在1,2−+，上单调递增，作出()gx与(1)yax=−的函数图象如图所示：设直线(1)yax=−与()gx的图象相切，切点为00(,)xy，则()()()00000001e1e21xxyaxyxax=−=

−=+，解得00x=，01y=−，1a=，或032x=，3202ey=，324ea=，()fxQ有两个不同的零点，()gx与(1)yax=−的函数图象有两个交点，01a或324ea，即()

320,14e,a+．故选：C．13．【答案】23解析：方法一：设1,(,)zabiaRbR=+，2,(,)zcdicRdR=+，12()3zzacbdii+=+++=+，31acbd+=+

=，又12||=||=2zz，所以224ab+=，224cd+=，222222()()2()4acbdacbdacbd+++=+++++=2acbd+=−12()()zzacbdi−=−+−()22()()82acbdacbd=−+−=−+8

423=+=．故答案为：23．方法二：如图所示，设复数12z,z所对应的点为12Z,Z，12OPOZOZ=+uuuruuuruuur，由已知12312OZOZOP=+===uuur，∴平行四边形12OZPZ为菱形，且12,OPZOPZVV都是正三

角形，∴12Z120OZ=，222221212121||||||2||||cos12022222()122ZZOZOZOZOZ=+−=+−−=∴1212z23zZZ−==．14．【答案】1200【解析】【分

析】先利用相邻捆绑法求得甲乙相邻的安排方法种数，再减去甲乙相邻且甲在周三的安排方法种数即可．【详解】先考虑甲乙相邻的安排方式，将甲乙看做一个整体，连同其余的5人做全排列，然后甲乙两人之间作全排列，有6262AA种方法，其中，甲排在周三的安排方式有552

A，∴符合条件的安排方法种数有62562521200AAA−=，故答案为：1200．【点睛】本题考查排列的应用，关键是相邻问题捆绑法和反面问题相减法的应用．15．【答案】①③【解析】【分析】由空间共线向量定

理即可求解．【详解】对于①，因为(),0OPOAtABtt=+Ruuuruuruuur，所以(),0OPOAtABtt−=Ruuuruuruuur，所以(),0APtABtt=Ruuuruuu

r，所以,APABuuuruuur共线，所以点P、A、B共线．对于②，因为5OPOAAB=+uuuruuruuur，所以5OPOB=uuuruuur，所以,OPOBuuuruuur共线，所以P、O、B共线，点P、A、B不一定共线．对于③，因为(),0OP

OAtABtt=−Ruuuruuruuur，所以(),0OPOAtABtt−=−Ruuuruuruuur，所以(),0APtABtt=−Ruuuruuur，所以,APABuuuruuur共线，所以点P、A、B共线．对于④，因为OPOAAB=−+uuuru

uruuur，所以OPOAOBOA=−+−uuuruuruuuruur得2OPOAOB=−+uuuruuruuur，所以2OPOBOA−=−uuuruuuruur，则2BPOA=−uuruur，所以,BP

OA平行或重合，当,BPOA平行时，点P、A、B不共线．故答案为：①③．16．【答案】ln6,ln32【解析】【分析】利用导数，求出()fx的单调性，通过讨论a的符号；结合图象解关于()fx的不等式，结合不等式解的个数求出a的范围．【详解】由ln3()(0)xfx

xx=，21ln3()xfxx−=，令()0fx，解得：10e3x，令()0fx，解得：1e3x，()fx的递增区间为1(0,e)3，递减区间为1(e,)3+，故()fx的最大值是13(e)3ef=；x→+时，()0fx→，0x→时，x→−，1(

)03f=，故在1(0,)3时，()0fx，在1(,)3+时，()0fx，函数()fx的图象如下：①0a时，由不等式2()()0fxafx−得()fxa或()0fx，而()0fxa时103x无整数解，()0fx的解集为(1,)+，整数解有无数多个，不合题意；②0a=时

，由不等式2()()0fxafx−，得()0fx，解集为11,330,+，整数解有无数多个，不合题意；③0a时，由不等式2()()0fxafx−，得()0fx或()fxa

，()0fxQ的解集为1(0,)3无整数解，因为()fx在1(0,e)3递增，在1(e,)3+递减，且1e13，而()fxa的解集整数解只有一个，故这一个正整数解只能为1，(2)(1)faf，ln6ln32a；综上，a的取值

范围是ln6(,ln3]2，故答案为：ln6(,ln3]217．【答案】（1）4（2）1【解析】【分析】（1）利用二项式系数和公式进行求解；（2）先写出展开式通项，再令422k−=即可求解．（1）解：因为()2nxx−展开式中所有项的二项式系数和为

16，所以216n=，解得4n=，即n的值为4．（2）解：因为展开式的通项为()()()4442144C21C2kkkkkkkkTxxx−−−+=−=−，令422k−=，解得4k=，所以展开式中含2x的项为()4422541CTxx=−=，即展开式中含2x的

项的系数为1．18．【答案】（1）2a=（2）()fx的极大值为()12f−=，极小值为150327f−=【解析】【分析】（1）求出导函数()fx，结合已知条件即可求解；（2）根据函数的单调性与导数的关系，求出函数()fx在3,12−的

单调区间，从而即可求解函数的极值．（1）解：因为2()321fxxax=++，所以(1)420fa−=−=，解得2a=；（2）解：由（1）知32()22fxxxx=+++，2()341fxxx=++，3,12x

−，令()0fx，得113x−或312x−−，令()0fx，得113x−−，所以()fx在3,12−−和1,13−上单调递增，在11,3−−上单调递减，所以()fx的极大值为()12f−=，极小值为150327f−

=．19．【答案】（1）证明见解析（2）45°【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，得到AD⊥CD，再由ED⊥平面ABCD，得到ED⊥AD，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐

标系，先求得平面BCF的一个法向量(),,nxyz=r，再由平面ADE的一个法向量为()0,1,0m=ur，然后由cos,mnmnmn=urrurrurr求解．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∵ED⊥平面ABCD，AD⊂

平面ABCD，∴ED⊥AD，又CD∩ED＝D，CD、ED⊂平面CDEF，∴AD⊥平面CDEF，∵CF⊂平面CDEF，∴AD⊥CF．（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0

D，()4,4,0B，()0,4,0C，()0,2,2F，∴()4,0,0BC=−uuur，()0,2,2CF=−uuur，设平面BCF的一个法向量为(),,nxyz=r，则00BCnCFn==uuuvvuuuvv，即40220xyz−=−+=，令y＝1，则

x＝0，z＝1，∴()0,1,1n=r，平面ADE的一个法向量为()0,1,0m=ur，∴12cos,22mnmnmn===urrurrurr，由图知，平面ADE与平面BCF所成角为锐角，故平面ADE与平面BCF所成角的45°．20．【答案】（

1）310xy−+=；（2）(,3−．【解析】【分析】（1）当0a=时，求出函数f(x)和导函数()fx，进而利用点斜式方程写出切线方程；（2）()fx在区间(1,)+上为增函数，即()0fx…在(1,)+上恒成

立，分离参数求出最值，可得a的取值范围．【详解】（1）当0a=时，3()1fxx=−，2()3fxx=，所以曲线在(1,2)−−处切线斜率为(1)3kf=−=，所以切线方程为：(21)3yx+=+，即310xy−+=．（2）因为3()3fxxa=−，且()fx在区间(1,)+上为增函

数，所以()0fx…在(1,)+上恒成立，即230xa−…在(1,)+上恒成立，所以23ax„在(1,)+上恒成立，所以3a„，即a的取值范围为(,3−．21．【答案】（1）2；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据分层抽样的

比例关系求点击量超过3000的节数即可；（2）由题意，知X的可能取值为0，20，40，60，应用古典概型求各取值对应的概率即可得分布列．【详解】（1）根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3000的节数为1236×6＝2．（2）由

分层抽样可知，（1）中选出的6节课中点击量在区间[0，1000]内的有1节，点击量在区间(1000,3000]内的有3节，故X的可能取值为0，20，40，60．P(X＝0)＝2226CC＝115，P(X＝20)＝113226C

CC＝25，P(X＝40)＝21131226CCCC+＝13，P(X＝60)＝11132615CCC=，则X的分布列为X0204060P115251315【点睛】本题考查了分层抽样以及应用古典概型求概

率，并依此得到分布列，属于简单题．22．（1）()fx定义域为(1,)−+，()21111axafxxxx+−=+−=++，①当10a−即1a时，()0fx，()fx在(1,)−+上单调递增，②当110a−−即01a时，令()0fx=，得1xa=−，当

11xa−−−或1xa−时()0fx，当11axa−−−时()0fx，故()fx在(1,1)a−−−和(1,)a−+上单调递增，在(1,1)aa−−−上单调递减，③当11a−−即0a时，11a−−−，同理得()fx在(1,1)a−−上单调递减，在(1,)

a−+上单调递增．（2）若()fx有两个极值点1x，2x，由（1）得01a，121,1,xaxa=−−=−故()()121fxfxx−+可化为222()0fxx+，而221ax=−，代入得222

2222(1)ln(1)0xxxx−++−，而210x−，只需证2222(1)ln(1)0xxx++−，令()2ln1gxxxx=−+，()2ln1gxx=+，当1x时，()0gx，故()gx在(1,)+上单调递

增，当1x时，()(1)0gxg=，而211x+，故2222(1)ln(1)(1)10xxx++−++，即证()()121fxfxx−+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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