【文档说明】福建省龙岩市一级校2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题 扫描版含答案.pdf，共(10)页，1.447 MB，由小赞的店铺上传

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学科网（北京）股份有限公司龙岩市一级校2022-2023学年第一学期期末高三联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABBADDB7．【解析】由图可知，三角形ABC的底边AB是固定的，则点C

的运动直接影响着三角形面积的变化。由图可知，三角形的面积大小变化为：小大小大小，再考虑当点C落在线段AB上以及点C与点A或B重合时，都构成不了三角形，所以()Sx大小变化为：先正负，（,,ACB三点共线

），再正负，故选择D.8．【解析】法一：由题意得，第一个参加面试的一定是男生，最后一次参加面试的一定是女生，男女生面试的排序应为“男男***女”或“男女男**女”，所以1113111123233332226614CCCACCCCAPA

．法二：如图：以下5种情况符合题意，所以所求概率为33122312233323332366()()14AACAAACAAPA．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ACABADBCD12．【解析】由（2）知，S中的元素满足消去率，所以0S.设Sx，由（1）知，5432,,,,xxxxx都是S中的元素，由集

合元素的互异性，必存在整数,,15,mnmn满足使得nmxx.由于Sx，所以,0x故有1mnx。因为nm,是整数，且14nm，所以Sxmn,即1S.若Sx且1xy，由（1）知，存在整数(14),kk使得1

kx，即11kxx.令1kxy，又因为,1Sxk则Sy.由条件（1），不妨令yx，则有2,xSxS，再令2yx，则有3xS，如此循环，则23456,,,,,,xxxxxx都是数集S的元素，又已知数集S只有

4个元素，考虑集合元素的互异性，则元素必需满足一定的周期性，且周期为4，考虑复数i恰满足此性质，故数集234,,,Siiii，即数集,1,,1Sii.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．3210b14．30xy15．18

π16．315．【解析】如图，取AC的中点为1O，连接1PO，则1POAC，因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，学科网（北京）股份有限公司1PO平面PAC，1POAC，所以1PO平面ABC．在ABC△中，由余弦定理

2222cosBCABACABACBAC，得2BC，所以222ABBCAC，所以ABC△为直角三角形．所以球心O在直线1PO上，所以22(22)4RR，解得322R，所以该球的表面积

为18π．16．【解析】如图，四边形12PFMF为平行四边形，因为260MFN，所以1260FPF．因为12||||2PFPFa，且122PFPF，所以1||4PFa，2||2PFa，

在12PFF△中，由余弦定理22212121212||||||2||||cosFFPFPFPFPFFPF，得3ca，所以离心率为3．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分

）解：（1）因为211nnnaSS，①所以当2n时，21nnnaSS，②①-②得2211nnnnaaaa，.............................................................

......................1分即111nnnnnnaaaaaa，因为0na>，所以11nnaa，....................................

.......................................2分所以数列{}na从第二项起，是公差为1的等差数列.由①知2221aSS，因为11a，所以22a，所以当2n时，2(2)1nan=+-´，即nan=.③.....................

........................4分又因为11a也满足③式，所以nan=（*Nn）............................................5分注：没有验证1n的情况扣1分.（2）由（1）得212(21)2na

nnnban，................................................................6分nT2323252(21)2nn，④23122

32(23)2(21)2nnnTnn，⑤.......................................7分④-⑤得，2122222(21)2nnnTn，.................

....................8分所以3112(12)2(21)212nnnTn，....................................................

.....9分故1(23)26nnTn.................................................................................

..........10分18．（12分）解：（1）△ABC中，由正弦定理，得sinsinsinabckABC，则sinakA，sinbkB，sinckC，故3sincosaBbAb可化为3sincos1AA，

..................................2分整理，得π1sin()62A，.........................................................................................4

分学科网（北京）股份有限公司又ππ5π666A，故ππ66A，即π3A................................................6分（2）△ABC中，由余弦定

理，得2222cosabcbcA，即222abcbc，（*）..............................................................................

...........................................................7分又3abc，所以3abc，代入（*），得222(3)bcbcbc

，整理，得6639bcbc，.................................................................................9分又因为2bcbc≥，....................

.........................................................................10分所以430bcbc≥，解得1bc≤或3bc≥（舍去），..

..........................11分故1bc≤，故△ABC的面积133sin244SbcAbc≤...............................12分19．（12分）解法一：（1）由已知条件可得2,2,BDCDCDB

D．.............................................1分∵平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，∴CD平面ABD．过点D在平面ABD作DzDB，则DzDC．...........................

..................2分以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),ABCD(1,1,0)M．

∴(0,2,0),(1,0,1)CDAD．设平面ACD的法向量为),,(zyxn，则nADnCD,∴0,0,yxz令1x，得平面ACD的一个法向量为)1,0,1(n，.................................4

分∴点M到平面ACD的距离22nMCdMC．..........................................6分（2）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60．设,01BNBC

，则(22,2,0)N，..........................................7分∴(12,2,1)AN，...........................

.......................................................8分又∵平面ACD的法向量)1,0,1(n且直线AN与平面ACD所成角为60，∴3sin602ANnANn

，..............................................................................10分可得01282，∴2141或（舍去）．.........................

....................................................11分综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60，此时41BCBN．12分解法二：（1）由已知条件可得ABAD，2ABAD，∴1

21ADABSABD．.................................................................................1分∴2,2,BDCD

又22BC，∴CDBD．∵平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，学科网（北京）股份有限公司∴CD平面ABD．即CD为三棱锥CABD的高，............................

..........................................2分又2CD，∴3231ABDABDCSCDV，...........................................

.......3分又∵点M为线段BC中点，∴点M到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离的21，∴312121ABDCADCBADCMVVV，………………4分∵ADCD,2AD,2CD，∴221DCADSACD，..............5分设点M到平面A

CD的距离为d，则1133ADCdS，即11233d解得d=22，∴设点M到平面ACD的距离等于22...............................6分（2）同解法一．解法三：（1）∵点M为线段BC中点，∴点M到平面ACD的距离等于点B

到平面ACD的距离的21，.............1分由已知条件可得2,2,BDCDCDBD．..............................................2分∵平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，∴CD平面ABD．........

...................................................................................3分又∵ABDAB平面，∴CDAB．.....................................

.......................4分∵90ABC，ADBC，∴ADAB，又ADCDD，∴CDABA平面，∴点B到平面ACD的距离等于线段AB的长．........................................

......5分∵2AB，∴点M到平面ACD的距离等于22.......................................6分（2）同解法一．20．（12分）解：（1）记“甲队获得冠军”为事件A，“决赛进行三场比赛”为事件B，由题可知121

121()(+)=232355PAB，...............................................................2分121121111()(+)+=232352330PA，....................

..............................................4分∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为()6()()11PABPBAPA..............................................

............................................................................................6分（2）设比赛主办方在决赛前两场中共投资x（千万元），其中01x，若需进行第三场比赛，则还可投资1

x（千万元），记随机变量为决赛的总盈利，则可以取2x，12xx，............................7分∴11121()+=223232xP，12111(1)+223232xPx，.............9分∴随

机变量的分布列为学科网（北京）股份有限公司2x12xxP1212∴的数学期望111()+(1)=(1)22222xxExxx，.............................10分令1(01)txt，则22+1115()()2228ttEt

，...........................11分∴当12t，即34x时，()E取得最大值，∴比赛主办方在决赛的前两场的投资额应为0.75千万元，即750万元.……12分21．（12分）解：（1）以EF所在的

直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy如图，在线段FC上取点Q，使得PFFQ，因为MFPQ，所以MPMQ因为M在EC的垂直平分线上，所以MEMC，又因为PEMPCM，所以MPEMQC

，所以PEQC，所以PEPFFQQCFC即P的轨迹是以,EF为焦点的椭圆，设的方程为222210xyabab则24aFC，得2a，2213ba，又因为当C在直线EF上时，点M不存在，所以的方程为221043xyy

.........................................................................................................................................

6分（2）设00,Cxy，则EC的中点为001,22xy，00y.1°当01x时，由220014xy解得023y，则l的方程为3y，此时l与恰有一个公共点（如图

）；........................................................................7分2°当01x时，如图，则EC的斜率为001yx，l的方程为00001122yxxyxy因为

2200116xy，学科网（北京）股份有限公司所以l的方程可化为000017xxyxyy，.................9分代入22143xy得：22002017143xxxxy，整理得：2222200000041381

747120xyxxxxxy…（＊）由2200116xy得2200161yx代入“＊”并整理得：222000078171610xxxxxx.............................

..................11分此时22200008(1)(7)416(7)(1)0xxxx，l与恰有一个公共点.综上，l与恰有一个公共点．..................................

................................................12分22．（12分）解：（1）若32a，则32()cosxfxex，32()sinxfxex，....

............................1分32()cos0xfxex在3[,]22成立，∴()fx在3[,]22递增，...........2分又()102fe，3()1102

f，故存在3(,)22k，使得()0fk，且()fx在[,]2k递减，在3[,]2k递增，故max3()max{(),()}22fxff，又3(),()122fefe，故()fx在3[,]2

2的最大值为3()12f．.................................................................................................................................

........4分（2）解法一：要证()fx在(0,)单调递增，即证()0fx在(0,)成立，∵1a，∴1()sinsinxaxfxexex，记1()sinxgxex，故只需证明记()0gx在

(0,)成立，........................5分①当[1,)x时，11xe，而sin1x，∴1()sin0xgxex成立；....6分②当(0,1)x时，1()cosxgxex，1()sin0xgxex在(0,1)成

立，∴()gx在(0,1)单调递增，..................7分又1(0)10ge，(1)1cos10g，∴必存在(0,1)t，使得()0gt，且(0,)xt时()0gx，(,1)xt

时()0gx，即()gx在(0,)t单调递减，在(,1)t单调递增，.......................................................9分∴1min()()sintgxgtet，此时1()cos0tgtet，即1costet

，∴1min()()sincossin2cos()4tgxgtetttt成立，∵142()42ge，而44ee，∴114442e，∴1422e，∴()04g，即(0,)4t，(,)442t

，..........................11分∴min()()2cos()04gxgtt，即()0gx在(0,1)成立，综上，()0gx在(0,)成立，故()()0fxgx在(0,)成立，故(

)fx在(0,)单调递增．................................................................................12分学科网（北京）股份有限公司解

法二：要证()fx在(0,)单调递增，即证()sin0xafxex在(0,)成立，①当[1,)x时，∵1a，101xaaeee，而sin1x，∴()0fx成立；..........................

......................................................6分②当(0,1)x时，∵sin0x，要证sinxaex，即证ln(sin)xax，.....7分记()ln(sin)hxxax，则

1()1cos1cotsinhxxxx，由()1cot0hxx得：04x，∴()hx在(0,]4递减，在[,1)4递增，.............................................

........................9分∴(0,1)x时，min23131()()lnln2ln4044244444hxhaaaa，故(0,1)x时()ln(sin)0hxxax成立，即sinxaex成立，综

上，()0fx在(0,)成立，故()fx在(0,)单调递增．.......................12分解法三：要证()fx在(0,)单调递增，即证()sin0xafxex在(0,)成立，①当[1,)x时，∵1a，101xaaeee，而sin

1x，∴()0fx成立；…6分②当(0,1)x时，∵0xae，要证sinxaex，即证sin1xaxe，.................7分记sin()xaxTxe，则2co

ssincossin()()xaxaxaxaxexexxTxee，由()0Tx得：04x，∴()Tx在(0,]4递增，在[,1)4递减，...........9分∴(0,1)x时，max422()()4aTxTe，...........

.................................................10分故只需证：4221ae，即证：422ae，即证：42ae，即证：44(2)4ae，∵444aeee，显然成立，∴(0,1)x时，sin1xaxe，即

sinxaex成立，即()0fx成立，综上，()0fx在(0,)成立，故()fx在(0,)单调递增．.......................12分解法四：先证明ex≥1x成立，再证明sinxx≥，0x≥成立．令()e(1)xgxx，则()e1xgx，且当0x

时，()0gx，当0x时，()0gx，所以()gx在(0,)上单调递增，在(,0)上单调递减，所以min()(0)0gxg，所以()0gx≥，即ex≥1x成立．.............................

...............................................6分令()sinhxxx，0x≥，则()1cos0hxx≥，所以()hx在[0,)上单调递增，所以()(0)0hxh

≥，即sinxx≥，0x≥成立．......................................................8分所以()esin(1)sin(sin)(1)xafxxxaxxxa

≥，.........................10分学科网（北京）股份有限公司因为1a≤，所以()fx≥0，所以()fx在(0,)上单调递增．............................12分