【文档说明】新疆乌鲁木齐市第十二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.258 MB，由管理员店铺上传

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乌鲁木齐市第十二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（8小题每题5分共40分）1.复数z满足：234zi=+(i为虚数单位)，且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的模z为（）A.5B

.3C.5D.3【答案】C【解析】【分析】设zabi=+，根据条件求得2,1ab=−=−，从而求得模长.【详解】设zabi=+，则222234zababii=−+=+，即223ab−=，2ab=，结合

z在第三象限，解得2,1ab=−=−，即2zi=−−，故5z=故选：C2.已知集合22,1,AxxxBa=+=∣，若BA，则实数a的取值集合为（）A.2,1,0−−B.21xx−C.{21}xx−D.

2,1,0,1−−【答案】C【解析】【分析】化简集合A，根据BA，求实数a的可能取值，由此可得结果.【详解】集合2221Axxxxx=+=−∣∣，又1,Ba=，BA，所以21a−，故实数a

的取值集合为{21}xx−，故选：C.3.某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人､高二680人､高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是()A.15，16，19B.15，17，18C.14，17，19D.14，16，

20【答案】B【解析】【分析】结合已知条件首先求出三个年级的总人数，然后利用样本容量分别乘以各个年级的抽样比即可求解.【详解】由题意可知，三个年级共有6006807202000++=(人)，则高一抽取的人数为60050=152000，高二抽取的人数为

68050172000=，高三抽取的人数为72050182000=.故选：B.4.已知函数()yfx=与()ygx=的图象如图所示，则函数()()yfxgx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性结合()()yfxgx=在定义域上的

正负即可判断.【详解】解：由图知，()()yfxgx=的定义域为()(),00,−+，令()0fx=时，1xx=或2xx=，由()yfx=为偶函数，()ygx=为奇函数，所以()()yfxgx=为奇函数，关于原点对

称，对A，当()1,0xx时，()0fx，()0gx，所以()()0fxgx，故A错误；对B，由图知，当()1,xx−时，()()0fxgx，当()1,0xx时，()()0fxgx结合奇函数的对称性可得()0,x+时的图象，故B正确；对C，由分析知，()(

)yfxgx=是奇函数，关于原点对称，故C错误；对D，由选项A和B的分析知，当()1,0xx时，()()0fxgx，故D错误.故选：B.5.已知点A，B是曲线2241xy+=上两点，且OAOB⊥（O为坐标原点），则2211OAOB+=A.34B.1C

.54D.5【答案】D【解析】【分析】将曲线2241xy+=化为极坐标方程，设12(,),(,)2AB+，可将2211OAOB+表示为的函数，可得答案.【详解】解：将曲线2241xy+=化为极坐标方程得：2222cos4sin1

+=，可得2221cos4sin=+，由OAOB⊥，可设12(,),(,)2AB+,可得2211OAOB+=221211+=2222cos4sin+cos+4sin+22++（）（）=5，故选D

.【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.6.若函数()2116ln2fxxx=−在区间11,22aa−+上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.50,2B.3,2+

C.37,22D.17,22【答案】D【解析】【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求a的取值范围.【详解】()()()()4416,0xxfxxxxx+−=−=，当()0fx，解得：04

x，由条件可知(11,0,422aa−+，所以102142aa−+，解得：1722a.故选：D7.若4cos5=−，是第三象限的角，则1tan21tan2−=+（）A.12B

.12−C.35D.-2【答案】D【解析】【分析】根据4cos5=−，是第三象限的角，先利用半角公式求得tan2，然后代入1tan21tan2−+求解.【详解】因为为第三象限角，所以2可能为二､四

象限角，所以411cos5tan3421cos15−−−=−=−=−+−，所以1tan1322131tan2−+==−−+.故选：D.8.已知等比数列na，的前n项和为91463,,3,2nSSnaaS−==N，若1,.2mam

=N则m=（）A.6B.5C.8D.7【答案】D【解析】【分析】根据给定条件求出等比数列na的首项1a及公比q，再借助通项公式即可得解.【详解】设等比数列na公比q，依题意，1q，691169

(1)(1),11aqaqSSqq−−==−−，由9632SS=得：93363663331(1)(1)131(1)(1)12qqqqqqqqqq−−++++===−−++，解得312q=−，由143aa−=得：31(1)3aq−=，于是得12a=，则有12nnaq−=，由12ma=得：11

22mq−=，即1223111()()()222m−−==−，从而有123m−=，解得7m=，所以7m=.故选：D二、多选题（共4小题每题五分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开

图是一个半圆，设圆锥的顶点为,,VAB是底面圆周上的两个动点，则（）A.圆锥的侧面积为4B.圆锥的母线长为2C.VAB可能为等腰直角三角形D.VAB面积的最大值为3【答案】BD【解析】【分析】由侧面展开图求得圆锥的母线长，得高，确定圆锥轴截面的

顶角的大小，计算侧面积，截面VAB面积判断各选项．【详解】设圆锥母线长为l，由题意21l=，2l=，B正确；侧面积为122Srl===，A错，显然圆锥的轴截面是正三角形，顶角为3，因此VAB的顶角3AVB，不可能为直角三角形，C错；轴截

面面积为23234S==，因此VAB面积的最大值为3，D正确．故选：BD．10.已知(),Pxy为抛物线24xy=上一动点，则（）A.准线为l：1x=−B.存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定

直线的距离C.点P到直线2yx=−−距离的最小值等于22D.()()()2222115xyxy+−+−+−的最小值为6【答案】BCD【解析】【分析】对于AB，利用抛物线的方程与性质即可判断；对于C，利用点线距离

公式与二次函数的性质即可判断；对于D，将问题转化为动点(),Pxy到两定点的距离，再结合图像即可判断.【详解】因为(,)Pxy为抛物线24xy=上一动点，抛物线24xy=的焦点为(0,1)F，准线为:1ly=−，由抛物线的定义可知，P到焦点

(0,1)F的距离等于P到准线:1ly=−的距离，故A错误，B正确；点P到直线2yx=−−的距离为22112(2)1|2|44222xxxxyd++++++===，当2x=−时，min1222d==，故C正确；设点(1,5)A

到准线:1ly=−的距离为d，P到准线:1ly=−的距离为1d，则22221(1)(1)(5)||516xyxyPFPAdPAd+−+−+−=+=+=+=，故D正确.故选：BCD.11.关于x的方程()()2222220xxxxk−−−+=，下列命题正确的有（）A.存在实数k，使得方程无实

根B.存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根C.存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根D.存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根【答案】AB【解析】【分析】通过换元法，设22txx=−，方程化为关于t的二次方程220ttk++=

的根的情况进行分类讨论.【详解】设22txx=−，方程化为关于t的二次方程()220*ttk++=.当1k时，方程()*无实根，故原方程无实根.当1k=时，可得1t=−，则221xx−=−，原方程有两个相等的实根1x=.当1k时，方程()*有两个实根()1212,

tttt，由122tt+=−可知，11t−，21t−.因为()222111txxx=−=−−−，所以212xxt−=无实根，222xxt−=有两个不同的实根.综上可知：A，B项正确，C，D项错误.故选：AB【点

睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法讨论二次方程的根的分布，涉及分类讨论思想.12.下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口

首次遇到红灯的概率为427B.已知集合2,3,4,5,6,7A=，2,4,6,9B=，集合AB中任取一个元素，则该元素是集合AB中的元素的概率为35C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个

白球，6个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是29【答案】AC【解析】【分析】利用独立

事件的概率乘法公式可判断A选项；利用古典概型的概率公式可判断B选项；利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断C选项；利用独立事件的概率乘法公式可得出()PA、()PB的等式，解出()PA、()PB的值，可判断D选项.【详解】对于

A选项，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则该生在前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，由独立事件的概率乘法可知，所求概率为211413327−=，A对；对于B选项，由题意可得2,3,4,5,6,7,9AB=，2,4,6AB=，因此，集合AB中任取一个元素，则

该元素是集合AB中的元素的概率为37，B错；对于C选项，甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为86461121212122+=，C对；对于D选项，由独立事件的概率公式可得()()()(

)()()()()11191101,01PAPBPAPBPBPAPAPB−−=−=−，解得()()23PAPB==，D错.故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.已知等腰三角形

ABC底边长BC=23,点D为边BC的中点,则ABBD=_____【答案】-3【解析】【详解】由题意可知ADBD⊥，3BD=,∴()ABBDADDBBDADBDDBBD=+=+20-3BDBDBD=−=−=.14.一个正四棱台上

、下底面的边长分别为a、b，高为h，且侧面积等于两底面面积之和，则a、b、h的关系为_________.【答案】111hab=+【解析】【分析】根据正棱台的性质，求得正四棱台的斜高22()2bahh−=+，结合题意列出关系式，即可求解.【详解】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为,a

b，高为h，可得上、下底面面积为2212,SaSb==，如图所示，取上、下底面正方形中心分别为1,OO，再取,EF分别为11,BCBC的中点，分别连接11,,,OOOEOFEF，过点E作EMOF⊥，在直角EMFV中，可得2222()2baEFMFMEh−=+=

+，即斜高22()2bahh−=+，因为侧面积等于两底面面积之和，可得22221(44)()22baabhab−++=+，整理得2222()()4abbahab+−+=+，即222222()[()4]()abbahab+−+=+，可

得2222()44abhab+=，即22221()abhab+=，可得111abhabab+==+，即,,abh的关系为111hab=+.的故答案为：111hab=+15.若圆221:()(1)10(0)Cx

mym−+−=平分圆222:(1)(1)2Cxy+++=的周长,则直线3420xy+−=被圆1C所截得的弦长为____________．【答案】6【解析】【分析】根据两圆的公共弦过圆2C的圆心即可获解【详解】两圆相减得公共弦所在的直线方程为(1)(21)48mxmy+−++=−由

题知两圆的公共弦过圆2C的圆心,所以(1)(1)48mm+−−−=−即2(1)4m+=,又0m,所以1m=1(1,1)C到直线3420xy+−=的距离22|342|134d+−==+所以直线3420xy+−=被圆1C所截得

的弦长为221016−=故答案为:616.在区间3[0,]4上随机取一个数，则1cos22的概率为_____．【答案】29【解析】【分析】由1cos22，求得[0,)6，结合长度比的几何概型的计算公式，即可求解.

【详解】因为3[0,]4，由1cos22，解得2[0,)3，则[0,)6，可得1cos22的概率为0263904P−==−.故答案为：29.【点睛】本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算，其中解答中正确求得不等式的解集是解答的关键，着重考查运算与求解能力.四、解答题

（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）17.设ABC面积大小为S，且32ABACS=.（1）求sinA的值；（2）若π4C=，16ABAC=，求

AC．【答案】（1）31010（2）8【解析】【分析】(1)利用题意结合数量积的定义和三角形面积公式，可得310sin10A=；(2)利用(1)的结论有：10cos10A=，结合题意条件可以求解出sin

B，然后借助正弦定理可得AC.【小问1详解】设ABC的三边长分别为,,abc，由32ABACS=，得13cos2sin2bcAbcA=，得sin3cosAA=.即()222sin9cos91sinAAA==−，所以29sin10A=.又(0,π)A，所以sin0A，故310sin10A=.

【小问2详解】由sin3cosAA=和310sin10A=，得10cos10A=，又16ABAC=，所以cos16bcA=，得1610bc=①.又π4C=，所以sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+=3102102251021025=+=的.在△

ABC中，由正弦定理，得sinsinbcBC=，即25252bc=，得104cb=②.联立①②，解得8b=，即8AC=.18.已知数列()*Nnan，29a=−.（1）若数列na是等比数列，且

513a=−，求数列na的通项公式；（2）若数列na是等差数列，且61a=−，数列nb满足2nanb=，当()*121Nmbbbm=时，求m的值.【答案】（1）413nna−=−；（2）12.【解析】【分析】（1）数列{}n

a是公比为q的等比数列，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，即可得到所求通项；（2）数列{}na是公差为d的等差数列，由等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，可得数列{}na的通项，进而得到21322nannb−==，再由指数的运算性质和等差数列的求和

公式，计算即可得到所求值．【详解】解：（1）数列{}na是公比为q的等比数列，29a=−，513a=−，可得19aq=−，4113aq=−，解得13q=，127a=−，可得41113nnnaaq−−==−，*()nN；（

2）数列{}na是公差为d的等差数列，29a=−，61a=−，可得19ad+=−，151ad+=−，解得111a=−，2d=，则1(1)213naandn=+−=−，21322nannb−==，121mbbb=，1192132212m−−−=即()()11921312m−+−++−

=可得1(224)221mm−=，可得(12)0mm−=，解得12m=或0m=（舍去）．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.近年来城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的

管理带来了一些困难，现某城市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，对[15,45]年龄段的人群随机抽取n人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组号分组赞成投放的人数赞成投放的人数占本组的频率第一组)15,2012

00.6第二组)20,25195p第三组)25,301000.5第四组)30,35a0.4第五组)35,40300.3第六组)40,45150.3（1）求n，a，p的值．（2）在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“共享单车”骑车体验活动，求

第四、五、六组应分别抽取的人数．（3）在（2）中抽取的7人中随机选派2人作为领队，求所选派的2人中第五组至少有一人的概率．【答案】(1)1000,60,0.65nap===；(2)第四、五、六组分别取的人数为

4人，2人，1人；(3)1121.【解析】【分析】(1)补全频率分布直方图，由频率表中第五组数据同第五组总人数为100，再结合频率分布直方图，能求出,,nap的值；(2)因为第四，五，六组喜欢骑车的人数共有105人，利用分层抽样原理能求出第四，五，六组分别取的人数；

(3)设第四组4人为：1A，2A，3A，4A，第五组2人为：1B，2B，第六组1人为：1C，利用列举法能求出抽取的7人中随机选派2人作为领队，即可求出所选派的2人中第五组至少有一人的概率.【详解】（1）补全频率分布直方图（见图），由频率表中第五组数据可知，第五组总人数为301000.3=，再结合

频率分布直方图：可知10010000.025n==，所以0.03510000.460a==，第二组的频率为0.3，所以1950.65300p==．（2）因为第四、五、六组“喜欢骑车”的人数共有105人，由分层

抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为4人，2人，1人．（3）设第四组4人为：1A，2A，3A，4A，第五组2人为：1B，2B，第六组1人为：1C．则从7人中随机抽取2名领队所有可能的结果为：12AA，13AA，41AA，11AB，12AB

，11AC，23AA，24AA，21AB，22AB，21AC，34AA，31AB，32AB，31AC，41AB，42AB，41AC，12BB，11BC，21BC共21种，其中所选派的2人中第五组至少有一人的所有可能结果为：11AB，12AB，21AB，22AB，31AB，32A

B，41AB，42AB，12BB，11BC，21BC，共11种所以所选派的2人中第五组至少有一人的概率为1121p=．20.如图，三棱柱111ABCABC-中，平面11AACC⊥平面11AABB,平面11

AACC⊥平面ABC，12ABACAA===,点P、M分别为棱BC、1CC的中点，过点B、M的平面交棱1AA于点N,使得AP∥平面BMN.（1）求证：AB⊥平面11AACC;（2）若四棱锥BACMN−的体积为32，求1AAC的正弦值.【答案】（1

）见解析；（2）32.【解析】【详解】（1）在平面ABC中，过点B作棱AC的垂线，垂足为D，平面11AACC⊥平面ABC，BD⊥平面11AACC.在平面11AABB中，过点B作棱1AA的垂线，垂足为E，平面11AACC⊥平面11

AABB，∴BE⊥平面11AACC.过点B与平面11AACC垂直的直线有且只有一条，∴BE与BD重合，又∵平面ABC平面11AABBAB=,∴BE与BD重合于AB，所以AB⊥平面11AACC.（2）设BM的中点为Q，

连接PQ，NQ，点P为棱BC的中点，∴PQ∥CM且PQ=12CM，1AA∥1CC，∴PQ∥AN，∴P、Q、N、A四点共面，∵AP∥平面BMN，∴AP∥NQ，∴四边形PQNA是平行四边形，∴PQ=AN，∵M为1CC的中点且12ABACAA===，∴

1CM=，∴PQ=AN=12，设梯形ACMN的高为h，2AB=，∴111132×23222BACMNhVh−+===，∴3h=，∴13sin2hAACAC==,∴1AAC的正弦值为32.21.

已知点()2,2P，圆22:80Cxyy+−=，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）若2π3ACB=，求弦AB的长度；（2）求M的轨迹方程；（3）当OPOM=，求l的方程及POM△的面积.【答案】（1）43AB=（2）()()22132x

y−+−=（3）直线l的方程为1833yx=−+，POM△的面积为165【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求得AB；（2）设点(),Mxy，对点M与点P是否重合进行分类讨论，在点M与点P不重合时，由垂径定理结合向量垂直的坐

标表示可求出点M的轨迹方程；在点M与点P重合时，直接验证即可，综合可得出点M的轨迹方程；（3）设点(),Mmn，根据题意可得出关于m、n的方程组，解出这两个未知数的值，可得出点M的坐标，即可求得直线l的方程，再求出OP以及点M到直线OP的距离，利用三角形的面积公式

可求得POM△的面积.小问1详解】解：圆C的标准方程为()22416xy+−=，圆心为()0,4C，半径为4，所以，4ACBC==，由余弦定理可得222π2cos433ABACBCACBC=+−=.【小问2详解】解：设点(),M

xy，当点M不与点P重合时，即当2x且2y时，由垂径定理可知CMAB⊥，即CMPM⊥，设点(),Mxy，则(),4CMxy=−，()2,2PMxy=−−，所以，()()()2240CMPMxxyy=−+−−=，即()()22132xy−+−=；当点M与点P重合时，点P的坐标也满足

方程()()22132xy−+−=.故点M的轨迹方程为()()22132xy−+−=.小问3详解】解：设点(),Mmn，则22OMOP==，由题意可得()()2222+=81+3=22mnmnm−−，解得2=514=5mn−，即点214,55M

−，【【142152325PMk−==−−−，所以，直线l的方程为()1223yx−=−−，即1833yx=−+，1OPk=，则直线OP的方程为0xy−=，且22OP=，点M到直线OP的距离为1682552d==，故118216222255POMSOPd

===△.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关

点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00,xy所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即

为两动曲线交点的轨迹方程.22.已知函数()lnexxfxax=−，其中aR.（1）若()fx在()()1,1f处的切线与x轴的交点为()2,0，求a的值；（2）设函数()()1gxfxx=−，当2e4a=−时，试讨论()gx的单调性.【答案】（1

）ae=；（2）函数()gx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减【解析】【分析】（1）本题首先可通过函数解析式得出()1afe=，然后通过求导得出()11f=−，并写出()fx在1,ae处的切线方程，最后通过切线与x轴的交点为()2,0即可得

出结果.（2）本题可根据题意得出()()22214xxexxegxex−−=，然后构造函数()()20xehxxx=，通过导函数求函数()2xehxx=的最值从而得出2204xexe-?，最后分为()0,1x、()1,x+两种情

况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为()()ln0exxfxaxx=−，所以()11ln11eafae=−=，因为()11exxfxax−=−，所以()111111e1fa−=−=−，则()fx在1,ae处的切线方程为()1ay

xe-=--，即10axye+--=，因为切线与x轴的交点为()2,0，所以210ae--=，解得ae=.（2）因为()()1gxfxx=−，所以()()le10nxgxaxxxx=−−，则()()()22211n1e11lxxxxxeaxxgxax

exxexxax−+−=−−−=+=，当2e4a=−时，()()22214xxexxegxex−−=，构造函数()()20xehxxx=，则()()32xexhxx−=，即当02x时，函数()hx单调递减；当2x时，函数()hx单调递增，当2x=时，函

数()hx取最小值，()224eh=，即当0x时，224xeex，224xexe³，2204xexe-?，因为()()22214xxexxegxex−−=，所以当()0,1x，()0gx，函数()gx在()0,1上单调递增；当(

)1,x+，()0gx，函数()gx在()1,+上单调递减，综上所述，当2e4a=−时，函数()gx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的切线方程求参数以及通过导数求函数的单调性，能否通过构造函数()2xehxx=

得出2204xexe-?是解决本题的关键，函数在某一点处的导函数值即函数在这一点处的切线斜率，考查计算能力，是难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com