【文档说明】四川省成都市第七中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.906 MB，由管理员店铺上传

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成都七中高2025届高二12月阶段性测试数学试题一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.已知直线l的一个方向向量为()3,3−，则直线l的倾斜角=（）A.30B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量得到直线l的斜率，进而求出倾斜角.【

详解】因为直线l的一个方向向量为()3,3−，所以直线l的斜率3tan33k−===−，又因为0180，所以120=，故选：C.2.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样

本中A型号的产品有20件，则样本容量n为（）A.50B.80C.100D.200【答案】C【解析】【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.【详解】由题意样本容量220100235n==++.故选：C.3.直线:330lxy−+=被圆22

:(1)4Cxy+−=截得的弦长为（）A.5B.25C.3D.23【答案】D【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.【详解】由圆22:(1)4Cxy+−=，为得圆心()0,1C，半径

2r=，所以圆心()0,1C到直线l的距离为13131d−+==+，所以直线l被圆C截得的弦长为22224123rd−=−=.故选：D.4.设1F，2F分别是双曲线221412yx−=的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且

1235PFPF=，则12PFF△的面积等于（）A.12B.24C.123D.243【答案】B【解析】【分析】利用条件及双曲线的定义求出12,PFPF，进而可得12PFF△为直角三角形，然后直接求面积即可.【详解】由双曲线221412yx−=得2,23,4abc=

==，又1235PFPF=，且1224PFPFa−==，得到1210,6PFPF==，所以()22221212642PFPFcFF−===，即12PFF△为直角三角形，所以1221211682422PFFSPFFF===△.故选：B.5.如图，二面角l−−等于1

20，AB、是棱l上两点，BDAC、分别在半平面、内，ACl⊥，BDl⊥，且2ABACBD===，则CD的长等于（）A.23B.22C.4D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得DCDBBAAC=++uuuruuur

uuruuur，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知,120BDAC=，∴cos,22cos1202BDACBDACBDAC===−，由,AClBDl⊥⊥，得0,0ACBABDBA==，又DCDBBAAC=++uuuruu

uruuruuur，∴22222()222DCDBBAACDBBAACDBBADBACBAAC=++=+++++()2222222122216BDAC=++−=−−=，所以4DC=，即4CD=.故选：C

.6.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是12，则从A到B这部分电路畅通的概率为（）A.1116B.1132C.916D.932【答案】A【解析】【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，

再由对立事件的概率求解.【详解】上半部分电路畅通的概率为：111312228−=，下半部分电路畅通的概率为12，上下两部分并联，畅通的概率为：3111118216−−=.故选:A．7.正四面体ABCD−的棱长为4，空间中的动点P满足2

2PBPC+=，则APPD的取值范围为（）A.423,423−+B.2,32C.432,42−−D.14,2−【答案】D【解析】【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点P的轨迹是以E为球心，以2为半径的球面，又APPD=24PF

−，再求出PF的最值即可求解【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则222PBPCPE+==，所以2PE=，故点P的轨迹是以E为球心，以2为半径的球面，()()()()APPDPFFAPFFDPFFAPFFA=−++=−+−2224FAPFPF=−

=−，又221641223,EDDCCE=−=−==22124822EFDEDF=−=−==，所以min22PFEF=−=，max232PFEF=+=，所以APPD的取值范围为14,2−．故选：D．8.已知椭圆()222210xyabab+=

的左、右焦点分别为1F、2F，经过1F的直线交椭圆于A，B，2ABF△的内切圆的圆心为I，若23450++=IBIAIF，则该椭圆的离心率是（）A55B.23C.34D.12【答案】A【解析】【分析】对23450++=

IBIAIF变形得到2351882IBIFIA+=−，进而得到以22::3:4:5AFBFAB=，结合椭圆定义可求出2AFa=，245,33BFaABa==，1AFa=，由余弦定理求解,ac关系式，求出离心率.【详解】因为23450++=IBIAIF，所以2351882I

BIFIA+=−，如图，在2BF上取一点M，使得2:5:3BMMF=，连接IM，则12IMIA=−，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以22::3:4:5IAFIBFIBASSS=，所以22::3:4:5AFBFAB

=，设23AFx=，则24,5BFxABx==，由椭圆定义可知：224AFBFABa++=，即124xa=，所以3ax=，所以2AFa=，245,33BFaABa==，1AFa=故点A与上顶点重合，在2ABF△中，由余弦定理得：2222

22222222516399cos52523aaaABFAFBBAFABFAa+−+−===，在12AFF△中，2222243cos25aacBAFa+−==，解得：55ca=，所以椭圆离心率为55..故选

：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,abc的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IBIAIF进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三

角形2ABF三边关系，求出离心率.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.有一组样本数据1x，2x，…，6x，其中1x是最小值，6x是最大值，则（）A.2x，3x，4x，5x的平均数等于1x，2x，…，6x的平均

数B.2x，3x，4x，5x的中位数不等于1x，2x，…，6x的中位数C.2x，3x，4x，5x的标准差不小于1x，2x，…，6x的标准差D.2x，3x，4x，5x的极差不大于1x，2x，…，6x的极差【答案】BD【解析】【分析】根据平均数

，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可.【详解】对于A，令样本数据126,,,xxx为1,2,2,2,2,9，则2345,,,xxxx的平均数为2，而1x26,,,xx的平均数为3，两者不相等，A错误；对于B，不妨令1x，2x，…，6x从小到大排列，所以2345,,,

xxxx的中位数等于34126,,,,2xxxxx+的中位数等于342xx+，B正确；对于C，令样本数据126,,,xxx为0,1,2,8,9,10，可知126,,,xxx的平均数是5，2345,,,xxxx的平均数是5，所以126,,,xxx的方差22211(05)(15)6s=

−+−222(25)(85)(95)+−+−+−250(105)3+−=，2345,,,xxxx的方差22221(15)(25)4s=−+−2225(85)(95)2+−+−=，所以2

21212,ssss，C错误；对于D，不妨令1x，2x，…，6x从小到大排列，则6521,xxxx，6152xxxx−−，D正确.故选：BD.10.如图所示，正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别在1,ADAC上，

且1121,33AEADAFAC==，则下列结论正确的是（）A.1EFAD⊥B.1EFAD⊥C.EF与1BD异面D.1EFBD∥【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.【详解】以D为原点

，以1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为3，则()()()()()()()113,0,0,3,3,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3,1,0,1,2,1,0,ABDDAEF()()()111(1,1,1),3,3,3,3,0,3,3,0,3.

EFBDADAD=−=−−=−−=−13030,EFADEF=−+−与1AD不垂直，故A错误；113030,EFADEFAD=−++=⊥，故B正确；113,BDEFEFBD=−∥，故C错误，D正确.故选：BD.

11.已知抛物线()2:20Cypxp=上存在一点()2,Et到其焦点的距离为3，点P为直线2x=−上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为,,ABO为坐标原点．则（）A.抛物线的方程为24yx=B.直

线AB一定过抛物线的焦点C.线段AB长最小值为42D.OPAB⊥【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A正确；设(2,)Pm−，得出PA和PB的方程，联立方程组，结合Δ0=，得到12,kk是方程2210kkm+−=的

两个不等式的实数根，再由韦达定理和1ABOPkk=−，可判定D正确；由2ABkm=，得出直线AB，结合直线的点斜式的形式，可判定B不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C正确.【详解】由抛物线2:2Cypx=，可得焦点坐标(,0)2pF，

准线方程为2px=−，因为抛物线C上存在一点()2,Et到其焦点的距离为3，由抛物线的定义可得232p+=，可得2p=，所以抛物线的方程为24yx=，所以A正确；设(2,)Pm−，显然直线PA的斜率存在且不为0，设斜率为1k，可得

PA的方程为1(2)ymkx−=+，联立方程组12(2)4ymkxyx−=+=，整理得2114840kyykm−++=，因为PA是抛物线的切线，所以()211(4)4840kkm=−−+=，即211210kkm+−=，且点A的纵坐标为11422kk−−=，代入抛物线方程，可得A横坐

标为211k，即21112(,)Akk，的设直线PB的斜率存在且不为0，设斜率为2k，同理可得：222210kkm+−=，且22212(,)Bkk，所以12,kk是方程2210kkm+−=的两个不等式的实数根，所以12121,22mkkkk+=−=−，因为21121222

21221222()()()1112222ABOPkkkkmmmkkmkkkk−−=−=−=−=−+−−，所以OPAB⊥，所以D正确；由OPAB⊥，且2OPmk=−，可得2ABkm=，则直线AB的

方程为211221()yxkmk−=−，即22111222mkymkkx−=−，又由211210kkm+−=，可得21112kmk=−，所以3221111(2)2(12)22kkykkx−−−=−，即211(12)2(2)kykx−=−，所以直线AB一定过定点(2,

0)，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确.由直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为2xmy=+，且1122(,),(,)AxyBxy，联立方程组224xmyyx=+=，整理得2480ymy−−=，所以12124,8yymyy+=

=−，则222212121211()4(1)(1632)ABmyymyyyymm=+−=++−=++4222314324()4224mmm=++=+−，当且仅当0m=时，等号成立，即AB的最小值为42，所以C正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛

：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛

物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进

行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.12.已知椭圆：：()222133xyaa+=的左、右焦点分别为1F、2F，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是12MFF△的内心，延长MI交线段12FF于N，抛物线()2158yac

x=+（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形1ABFC是菱形，则下列结论正确的是（）A.352BC=B.椭圆的离心率是32C.1214MFMF+的最小值为94D.INMI的值为22【答案】AC【

解析】【分析】对于A：利用椭圆与抛物线的对称性可得点B坐标，代入抛物线方程，进而可判断；对于B：将点B坐标代入椭圆方程即可判断；对于C：利用椭圆定义以及基本不等式计算可判断；对于D：利用角平分线的性质结合比

例的性质即可计算.【详解】对于A：椭圆：()222133xyaa+=的左、右焦点分别为1F、2F，右顶点为A，则()()()212,0,,0,,0,3AaFcFcb−−=，，因为抛物线()2158yacx=+（其中c为椭圆下的半

焦距）与椭圆交于B，C两点，由椭圆与抛物线的对称性可得B，C两点关于x轴对称，设(,),(,),0BmnCmnn−，因为四边形1ABFC是菱形，所以BC中点是1AF的中点，所以2mac=−，即2acm−=

，所以()()()()22221515151545816161616nacmacacacb=+=+−=−==，则354n=，所以3522BCn==，A正确；对于B：由选项A得()135,24Bac−，代入椭圆方程可得()2214514163aca−+=，化简得12aca

−=，进而可得12e=，B错误；对于C：由选项B可得22222,33acbacc==−==，则1,2ca==，所以12||||24MFMFa+==，则12||,||MFsMFt==，则4,0,0stst+=，所以()1214141141414955

2||||4444tstsstMFMFtssststt+=+=++=+++=，当且仅当4tsts=，即48,33st==时等号成立，所以1214MFMF+的最小值为94，C正确；对

于D：连接1IF和2IF，如图：因为I是12MFF△的内心，则1IF为12MFF的平分线，由角平分线定理可得11MFMIFNNI=，同理22MFMIFNNI=，所以2211MFMFMIFNFNNI==，

所以1212||||||22||||||2MFMFMIaNIFNFNc+===+，即12INMI=，D错误.故选：AC.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.已知两条平行直线1l：210xy++=，2l：20axyc+

+=间的距离为5，则ac+=______．【答案】4−或16【解析】【分析】可先通过两直线平行求出参数a，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可.【详解】因为12//ll，所以2210a−=

，解得4a=，则2l：420xyc++=，可化直线1l为4220xy++=，所以1l与2l的距离为222542c−=+，解得8c=−或12c=则4ac+=−或16ac+=．14.已知()P,ab为圆C：222440xyxy+−−+=上任意一点，则-12ba+的取值范

围为________【答案】304，【解析】【分析】求12ba−+的取值范围表示圆上的点()Pab，与点()21Q−，连线的斜率的取值范围，画出图形，可知当直线与圆相切时斜率取到最值，利用点到直

线的距离公式计算即可.【详解】由题意，12ba−+表示圆C上的点()Pab，与圆外的点()21Q−，连线的斜率.把圆22:2440Cxyxy+−−+=化为标准式()()22121xy−+−=，圆心()12C，，半径1r=.设过点()21Q−，的直线方程为()12yk

x−=+，即210kxyk−++=.当直线210kxyk−++=与圆C相切时，斜率k取得最值.由222111kkk−++=+，解得0k=或34k=.所以12ba−+取值范围为3[0]4，.的故答案为：3[0]4，.15.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学

、政治科目考试中达A+的概率分别为23、34、45，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率是____________．【答案】56【解析】【分析】分成两种情况，恰好两门科目A+，三门科目A+，根据

独立事件的乘法公式计算.【详解】考生至少拿到两个A+的事件为A，三门科目A+为事件B，恰好两门科目A+为事件C，由题意，ABC=+，且,BC互斥.三门科目A+，23424()34560PB==恰好两门科目A+，23423423426()111345345

34560PC=−+−+−=.根据互斥事件的加法公式，24265()()()60606PAPBPC=+=+=.故答案为：5616.已知12FF，是椭圆与双曲

线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12PFPF，线段1PF的垂直平分线过2F，若椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，则2122ee+的最小值为____________．【答案】6【解析】【分析】由于线段1PF的垂直平分线

过2F，所以有122FFPF=，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.【详解】设椭圆对应的参数为11,,abc，双曲线对应的参数为22,,abc，由于线段1PF的垂直平分线过2F，所以有1222FFPFc=

=.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PFcaPFca+=−=，，两式相减得到()1242caa=−，，即122aac−=.所以2121222224222eaaccecaca+=+=++2224262acca+=，，即最小值为6.【点睛】本小题考查双曲

线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.四、解答题（共7个题，

17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.已知圆C经过(0A，3)，()12B，两点，且圆心在直线1x=上．（1）求圆C的方程；（2）求过点()02P，且与圆C相切的直线方程．【答案】（1）x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）y＝2或4x﹣3y+6＝0．

【解析】【分析】（1）由圆心在直线1x=上，设圆心为（1，t），再由C经过(0A，3)，()12B，两点可得1+（t﹣3）2＝0+（t﹣2）2，求得圆心和半径即可得解；（2）根据题意切线的斜率存在可设直线方程为y＝kx+2

，再利用直线和圆相切可得d＝221kk++＝2，求得k即可得解.【小问1详解】根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），则有1+（t﹣3）2＝0+（t﹣2）2，解可得t＝0，即圆心的坐标为（1，0），圆的半径r＝13+＝2，

则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；【小问2详解】根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；则有d＝221kk++＝2，解

可得k＝0或43；故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0．18.在平面直角坐标系中，有两个圆1C：()2221xy++=，和圆2C：()2221xy−+=，一动圆P与圆1C内切，与圆2C外切．动圆圆心P的轨迹是曲线E，直

线1ykx=−与曲线E交于,AB两个不同的点．（1）求曲线E的方程；（2）求实数k的取值范围；【答案】（1）221(0)xyx−=（2）21k−−【解析】【分析】（1）先根据两圆位置关系列式可得动圆圆心P的轨迹为双曲线的一只，根据双

曲线的定义可得轨迹方程；（2）将双曲线方程和直线方程联立，根据方程有两不等负根列不等式组求解即可.【小问1详解】圆1C：()2221xy++=和圆2C：()2221xy−+=的圆心分别为()()122,0,2,0CC−，半径均为1，令动圆P的半径为

r，显然1r，当动圆Р与圆1C内切，与圆2C外切时，1211PCrPCr=−=+，即21122PCPCCC−=，因此动圆圆心P的轨迹是以1C，2C为焦点，且实轴长为2的双曲线的左支，故曲线E的方程为

221(0)xyx−=；【小问2详解】直线1ykx=−与曲线E交于,AB两个不同的点，联立2211ykxxy=−−=，消去y得()221220kxkx−+−=，该方程有两不等负根，所以()()2222210Δ2810201201kk

kkkk−=+−−−−−，解得21k−−.19.2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学

在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图（1）求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）为了更好的了解学生对

太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第5,6组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．【答案】（1）71.67，70.5（2）35【解析】【分析】（1）根据频率直方图

按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；（2）确定第5,6组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【小问1详解】设中位数为x,平均数为x,因为前三个矩形面积

为()0.0100.0150.020100.45++=，故()()0.0100.0150.02010700.0300.5x+++−=，解得71.67x；()10450.010550.015650.020750.030850.0159705510.0.0

x=+++++=.【小问2详解】2000.0151030=人，2000.011020=人,即第五组有30人，第六组有20人,30533020=+人，20523020=+人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人,设

从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为,,abc，第六组的两人为,DE,则共有抽法为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)abacaDaEbcbDbEcDcEDE，共10种，其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，故90分（包括90分

）以上的同学恰有1人被抽到的概率63105=．20.如图所示，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC、90ADC=、112BCCDAD===、PAPD=，E、F分别为AD、PC的中点，PECD⊥．（1）证明：平面PAD

⊥平面ABCD；（2）若PC与AB所成角为45，求二面角FBEA−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33−【解析】【分析】（1）根据PAPD=，E为AD的中点，得到PEAD⊥，再由PECD⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，以EP为

z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EBF的一个法向量为()mxyz=，，，再由平面ABE的一个法向量为(001)，，=n，由cos,||||mnmnmn=求解.【小问1详解】证明：∵PAPD=，E是AD的中点，∴P

EAD⊥，又PECD⊥，ADCDD=，AD、CD平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，∵PE平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；【小问2详解】解：∵//ADBC、90ADC=、112BCCDAD==

=，∴AEBE⊥，以E为坐标原点，EA、EB、EP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示，连接EC，∵//AEBC、AEBC=，∴四边形AECB为平行四边形，∴//ABCE，∴PCE是异面直线PC与AB所成的角，则

45PCE=o，∴2PECE==，则()000E，，、()002P，，、(0)10B，，、()110C−，，，∴112222F−，，，设平面BEF的法向量为()mxyz=，，，又(0,1,0)EB=、112(,,)222EF=−，∴01120222mEBymEFxyz==

=−++=，令1z=，则2x=、0y=，∴(2,0,1)m=r，又平面ABE的法向量(001)，，=n，设二面角FBEA−−的平面角为，经观察为钝角，∴3co13|cos,s|||||||31mnmnmn=−=−=−=−．21.已知抛物线C：28yx=，点

()(),00Maa，直线l过点M且与抛物线C交于A，B两点．（1）若P为抛物线C上的一个动点，当线段MP的长度取最小值时，P点恰好在抛物线C的顶点处，求a的取值范围；（2）当a为定值时，在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称

？若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由．【答案】（1）(0,4（2）存在，(),0Na−【解析】【分析】（1）设()00,Pxy，表示出MP，然后利用二次函数的性质求解；（2）设直线AB的方程为xmya=+，()(

)1122,,,AxyBxy，假设存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称，联立28xmyayx=+=，利用韦达定理代入计算0ANBNkk+=即可得答案.【小问1详解】设()00,Pxy，则2008yx=，于是()()2222

000082MPxayxaxa=−+=+−+，设()2282yxaxa=+−+，对称轴4xa=−，又0x=时MP取最小值，所以40a−，得04a，即a的取值范围是(0,4；【小问2详解】设直线AB的方程为xmya=+，()()1122,

,,AxyBxy，假设存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称，则0ANBNkk+=，且设(),0Nt，联立28xmyayx=+=，消去x得2880ymya−−=，则2121264320,8,8mayym

yya=++==−，所以()()21222121212282,64yyxxmyyamaxxa+=++=+==，于是()()()()()()()()122112211212212121212ANBNyxtyxtymyaym

yatyyyykkxtxtxtxtxxtxxt−+−+++−++=+==−−−−−++()()()()()1212222212122168082myyatyymamatxxtxxtatmat+−+−+−===−++−++，整理得880mamt+=，所以0m=或ta=−，当0m=时

，直线AB方程为xa=，此时点N在x轴上任意一点均满足假设，当ta=−时，(),0Na−.综上：存在异于点M的点(),0Na−，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称22.椭圆22:184xyE+=的上顶点为P，圆()()222:10Cxyrr−+=在椭圆E内．（1）求r

的取值范围；（2）过点P作圆C的两条切线，切点为AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M．直线AB与y轴交于点S，直线MN与y轴交于点T．求ST的最大值，并计算出此时圆C的半径r．【答案】（1）()0,3的（2）ST最大值为943−，23r=−【解

析】【分析】（1）设椭圆上任意一点()000,,2Qxyx，可得minrCQ，求出2CQ，进而可得r的取值范围；（2）设()()()()12112234,,,0,0,,,,,PAPBkkkkNxyMxySyTy=

=，过点P的直线l的方程为2ykx=+，根据点到直线的距离公式得到()2221440rkkr−−+−=，则可得212241rkkr−=−，再联立222184ykxxy=++=，求出,MN坐标，设出直线MN的方程，代入,MN坐标计算，再求

解即可》【小问1详解】不妨设椭圆上任意一点()000,,22Qxyx，且2200184xy+=此时半径minrCQ，又()()()22222200000111423322xCQxyxx=−+=−+−=−+，当x0=2时取等号.所以min3rCQ=，

所以r的取值范围为()0,3；【小问2详解】过点()0,2P作圆C的两条切线，当两条切线均存在斜率时，设()()()()12112234,,,0,0,,,,,PAPBkkkkNxyMxySyTy==经过点P的直线l的方程为2ykx=+，则2|2|1krk+=+，整理得()2221440r

kkr−−+−=，所以有212122244,11rkkkkrr−+==−−又以PC为直径的圆的方程为()22211451224xy+−+−==则直线AB的方程为()()2222

2521114xxyyr−+−−=−−+，整理得2210xyr−−+=，令0x=得2312ry−=，即220,1Sr−，联立222184ykxxy=++=，消去y得()221280kxkx++=，所以1212221288,1212kkxxkk−−=

=++，即22221122221212824824,,,12121212kkkkNMkkkk−−−−++++，不妨设直线MN的方程为ytxm=+，则2112211222222224812122481212kktmkkkktmkk−−

=+++−−=+++，整理得()()2112222482024820mktkmmktkm+−+−=+−+−=，所以12,kk为方程()224820mktkm+−+−=的两个根，则12224mkkm−=+，又212241rkkr−=−，

所以2224241rmmr−−=+−，解得226187rmr−=−，此时222234221161814818722727rrrSTyymrrr−−−=−=−=−=−−+−−1|18248|9432−=−，当且仅当22

4877rr−=−，即23r=−时取等号，当两条切线中一条斜率不存在时，1r=，此时,PA即y轴，此时()()0,20,0,ST−，2943ST=−，综上ST的最大值为943−，此时23r=−.【点睛】关键点点睛：本

题的关键点是通过计算求出相关点的坐标，进而才能求出长度表达式，对于计算的准确性以及计算速度要求高.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com