【文档说明】安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.401 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年度第一学期高二10月月考试卷数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1.如图，如空间四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，1122ABBCBD++=（）A.ADB.AFC.FAD.EF【答案】B【解析】【分析】利用空间向量运

算法则进行计算.【详解】1122ABBCBDABBFAF++=+=.故选：B2.已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得DExAByAC=+是“//DE平面ABC”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.

充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用存在实数x，y，使得DExAByAC=+uuuruuuruuur//DE平面ABC或DE平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE平面ABC，

则,,DEABACuuuruuuruuur共面，故存在实数x，y，使得DExAByAC=+，所以必要性成立；若存在实数x，y，使得DExAByAC=+，则,,DEABACuuuruuuruuur共面，则//DE平面ABC或

DE平面ABC，所以充分性不成立；所以“存在实数x，y，使得DExAByAC=+是“//DE平面ABC”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得DExAByAC=+uuuruuuruuur//DE

平面ABC或DE平面ABC是解题的关键，属于基础题.3.已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则AFCE=（）A.1B.2C.-1D.-2【答案】D【解析】【分析】在四面体ABCD中，取定一组基底向量，

表示出AF，CE，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体ABCD的所有棱长均为2，则向量,,ABACAD不共面，两两夹角都为60，则22cos602ABACACADADAB====，因点E，F分别

为棱AB，CD的中点，则1()2AFACAD=+，12CEAEACABAC=−=−，211()(2)(22)44AFCEACADABACACABADABACACAD=+−=+−−21(222222)24=+−−=−，所以2A

FCE=−.故选：D4.已知空间向量a，b，1a=，2b=，且ab−与a垂直，则a与b的夹角为（）A.60B.30C.135D.45【答案】D【解析】【分析】根据已知可得()0aab−=，根据数量积的运算律即可求出2cos,2ab=，进而求出结果.【详解】因为ab−与a垂直，所以(

)0aab−=，即22cos,12cos,0aabaababab−=−=−=rrrrrrrrrr，所以2cos,2ab=.又0,180ab，所以,45ab=orr.故选：D5.在长方体1111ABCDA

BCD−中，若13,2,5ABiADjAAk===，则向量1ACuuur在基底,,ijk下的坐标是（）A.()1,1,1B.111,,325C.()3,2,5D.()3,2,5−【答案】C【解析】【分析】结合图形，利用空间向量加法运算的几何表示与基本定理即可得解.【详

解】如图，长方体1111ABCDABCD−中，若13,2,5ABiADjAAk===，则11ACABBCCC=++1ABADAA=++325ijk=++，所以向量1ACuuur在基底,,ijk下的坐标是()3,2,5．故选：C．

6.如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，以BCD△的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴.建立坐标系，M为AB中点，则M的坐标为（）A.136263−，，B.36166−，，C.136266

−，，D.36136−，，【答案】A【解析】【分析】由题意，得BCD△的中线长为3，233OC=，263OA=，可得点,AB的坐标，再由中点坐标公式解决即可.【详解】由题意

，得BCD△的中线长为3．所以233OC=．所以22263OAACOC=−=．所以点A的坐标为26003，，．又点B的坐标为3103−，，．因为M为AB中点，所以点M坐标为136263−，，．故选：A

．7.已知(2,0,3).(4,2,1),(2,,2)abcx==−=−，若()abc−⊥，则x=（）A.4B.4−C.2D.2−的【答案】B【解析】【分析】先求出ab−的坐标，然后由()abc−⊥可得()0abc−=，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】因为(2,0,3)

a=，(4,2,1)b=−，所以(2,2,2)ab−=−，因为()abc−⊥，所以()0abc−=，即4240x++=，解得4x=−.故选：B8.已知空间向量()1,2,3a=，(),1,bmn=−，若ab∥，则mn

+=（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】A【解析】【分析】由空间向量平行的坐标公式求出,mn即可.【详解】由1123mn−==，解得13,22mn=−=−，则mn+=2−.故选：A.9.在三棱柱111ABCABC-中，如图所示，侧棱1AA⊥

底面ABC，点1D是11AB的中点，1E是11AC的中点，190,2,3BCABCCACC====，则1BD与1AE所成角的余弦值是（）A.3010B.411055C.3015D.611055【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立空

间直角坐标系，从而求得11,BDAE的坐标表示，进而利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得所求.【详解】因为在直三棱柱111ABCABC−中，90BCA=，所以易得1,,CACBCC两两垂直，则以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标

系Cxyz−，因为12,3BCCACC===，所以()()()()()1112,0,0,0,2,0,0,0,3,2,0,3,0,2,3ABCAB，又点11,DE分别是1111,ABAC的中点，所以()11,0,3E，

()11,1,3D，故()()111,1,3,1,0,3BDAE=−=−，设1BD与1AE所成的角为，则111110984110cos55119191110BDAEBDAE−++====+++．所以1BD与1AE所成角的余弦值为411055．故选：B．.10.若直线l的方向向

量为()1,0,2a=，平面的法向量为()2,1,1n=−，则（）A.l∥B.la⊥C.l或l∥D.l与斜交【答案】C【解析】【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.【详解】∵(

)1,0,2a=，()2,1,1n=−，∴0an=即an⊥，∴l∥或l.故选：C.11.若直线l经过点(2,3)P，且在x轴上的截距的取值范围是(1,3)−，则其斜率k的取值范围是（）A.(,3)(1,)−−+B.11,3−C.

(3,1)−D.1(,1),3−−+【答案】A【解析】【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出．【详解】取直线l与x轴的交点(1,0)M−，(3,0)N．3012(1)PMk−==−−，30323PNk−==−−

．直线l与线段MN相交，1k或3k−．故选：A．【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题．12如果直线210xay+−=与直线()3110axay−−−=平行，则a等于（）A.0B.16C.0或1D.0或16【答案】D【

解析】.【分析】根据直线平行的条件，列出关于a的方程并解之，即可得到实数a的值．【详解】∵直线210xay+−=与直线()3110axay−−−=平行，∴()()231131aaaa−=−−−−，解之

得0a=或16，故选D.【点睛】本题给出两条直线互相平行，求参数的值，着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点()()1,1,3,3MN−−，且过点()30P，的直线l分别

到点MN，的距离相等，则直线l的斜率为__________【答案】12或1−【解析】【分析】直线l与点MN，的距离相等，则直线l与直线MN平行或直线l经过MN，的中点，可求直线斜率.【详解】当过点P的直线l与直线MN平行时，直线l与点MN

，的距离相等，所以31131lMNkk−−===−+；当过点P的直线l经过MN，的中点时，直线l与点MN，的距离相等，由MN，的中点坐标为()11Q−，，()30P，，所以101132lPQkk−−===−.故答案为：12或1−．14.若过点()30−

，的直线1l的倾斜角是直线2:330lxya−+=倾斜角的两倍，则直线1l的方程为__________．【答案】3330xy−+=【解析】【分析】求出直线2l的倾斜角，从而得到直线1l的倾斜角及斜率，写出直线1l的方程.【详解】设直线

2:330lxya−+=的倾斜角为),0,π，则3tan3=，故π6=，设直线1l的倾斜角为，则π23==，故直线1l的斜率为πtantan33==，故直线1l的方程为()33yx=+，即3330xy−+=．故答案为：3330xy−+=．15.若向量(,4,5)ax

=，(1,2,2)b=−，且a与b的夹角的余弦值为26，则实数x的值为__________.【答案】3【解析】【分析】由向量的夹角公式列方程求解.【详解】向量(,4,5)ax=，(1,2,2)b=−，∴ab8102xx=−+=+，ar22224541xx=++=+，b()2221223=+−+

=．又ab，夹角的余弦值为26，∴2226413abxabx+==+，解得3x=．故答案为:3．16.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且12MNON=，34APAN=，用向量OA，OB，OC表示OP，则OP=_______．【答案】111444O

AOBOC++【解析】【分析】利用空间向量的线性运算直接求解【详解】由题意OP()33132132=444434432OBOCOAANOAONOAOAOMOA++=+−=+=+=111444OAOBOC++故答案为：1

11444OAOBOC++三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知(1,2,0),(0,4,0),(2,3,3)ABC．（1）求cos,ABAC；（2）已知点(3,,)Pmn−在直线AC

上，求mn+的值；（3）当为何值时，AB与ABAC+垂直？【答案】（1）5555（2）14−（3）5=−【解析】【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利用空间向量垂直的坐标表示求解.【小

问1详解】(1,2,0),(1,1,3)ABAC=−=，||5,||11,121ABACABAC===−+=，155cos,55511ABAC==．【小问2详解】因为点(3,,)Pmn−在直线AC上，A

Puuur与AC共线，则存在R使得APAC=，即(31,2,0)(1,1,3)mn−−−−=，423mn−=−==，解得2,12,14mnmn=−=−+=−；【小问3详解】(1,2,0)(1,1,3)(1,2,3)ABAC+=−+=−+，A

B与ABAC+垂直,1(1)2(2)030−−+++=，5=−，5=−时，AB与ABAC+垂直．18.已知直线AB与x轴正半轴交于点(),0Aa，与y轴正半轴交于点()0,Bb，点M在线段AB上，满

足2BMMA=，直线(OMO为原点)的斜率为510．（1）求ba的值；（2）设点C与点B关于x轴对称，N为线段AC的中点，求证：MNAB⊥．【答案】（1）55（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据2BMMA=及(),0Aa，()0,Bb坐标即可得点M的坐标为2

1,33ab，从而可得5210OMbka==，即可得ba的值；（2）根据对称可得点C的坐标为()0,b−，从而可得N的坐标11,22ab−，计算,MNABkk，验证1MNABkk=−，即可证明结论.【小问1详解】解：点M在线段AB上且满足2

BMMA=，所以()()22,,33MMBMBAxybab=−=−，则21,33MMxayb==，即点M的坐标为21,33ab．又因为直线OM的斜率为510，于是15322103MOMMbybkxaa====，

所以55ba=；【小问2详解】证明：点C与点B关于x轴对称，点C的坐标为()0,b−，线段AC的中点N的坐标为11,22ab−，则556,16MNABbbbkkaaa===−，于是22225515MNABbbkkab=−=−=−，所以MNAB⊥．

19.已知(3,4,),(2,,2)axby==−．（1）若(2)//()abab+−rrrr，求xy，的值．（2）若()()abab+⊥−，且5b=，求x的值．【答案】（1）83,3xy=−=；（2）0x=.【解析】【分析】

（1）利用向量的线性运算和向量平行的坐标运算，列方程求解.（2）利用向量垂直的充要条件和向量模的坐标运算，列方程求解.【小问1详解】(3,4,),(2,,2)axby==−2(7,42,4)abyx

+=+−，(1,4,2)abyx−=−+．(2)//()abab+−rrrr，7424142yxyx+−==−+，解得83,3xy=−=【小问2详解】由()()abab+⊥−，得()()0abab+−=，∴220,ab−=ab=，由5b=，有5a=，即

225a=，2223425x++=，解得0.x=20.如图，三棱柱111ABCABC-中，M，N分别是111,ABBC上的点，且1112,2BMAMCNBN==．设ABa=，ACb=，1AAc=．（1）试用a，b，

c表示向量MN；（2）若11190,60,1BACBAACAAABACAA======，求MN的长．【答案】（1）111333MNabc=++（2）53【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【小问1详解】解：1

111MNMAACCN=++11233BAACCB=++1112()333ABAAACABAC=−+++−1111333ABAAAC=++，∴111333MNabc=++；【小问2详解】解：11,||||||1ABACAAabc======，1190,0,60BACabBAAC

AA====，12acbc==，()221||9MNabc=++()2221522299abcabacbc=+++++=，5||3MN=，即MN长为53.21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90BAD=，PA⊥底

面ABCD，且2PAADABBC===，M为PC的中点．的（1）求证：PBDM⊥；（2）求AC与PD所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）1010．【解析】【分析】以AB，AD，AP为基底，利用向量法求解.(1)两条直线垂直可转化为两个向量垂直，利用两个非零向量

数量积为零可得两向量垂直；(2)两条直线的夹角可转化为两个向量的夹角，利用向量数量积求夹角.【详解】(1)证明：结合图形，知PBABAP=−，，()111113222224DMDPDCAPADABADAPABAD=+=−+−=+−因为PA⊥底面ABCD，

所以PAAB⊥，PAAD⊥，有0PAAB=，0PAAD=.又90BAD=，所以0ABAD=uuuruuur.所以()113224PBDMAPABAABADP=+−−221122ABAP=−.又ABAP=，所以22ABAP

=，0PBDM=.所以PBDM⊥.(2)设22PAADABBCa====，因为PDADAP=−，12ACABAD=+所以222228PDADAPADADAPAPa=−=−+=，22PDa=.22211524ACABADABABADADa=+=++=，5ACa=(

)2211222PDACADAPABADADa=−+==记直线AC和PD所成角为，则2210cos10522ACPDaaaACPD===所以直线AC和PD所成角的余弦值为1010.22.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABCD

是正方形，16AA=，4AB=，设CDa=，CBb=，1CCc=.（1）若1CC⊥底面ABCD，试用a，b，c表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）（2）若O是1BD的中点，且11π3CCBC

CD==，求线段DO的长.【答案】（1）111,,446abc(答案不唯一)；（2）17.【解析】【分析】（1）根据单位正交基底的概念即得；（2）由题可得1BDabc=−−，然后利用向量的数量积的定义及运算律可得模长，进而即得.

【小问1详解】因为1CC⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，16AA=，4AB=，所以空间的一个单位正交基底为111,,446abc；【小问2详解】因为111BDBCCDCCCBCDabc=+=−−+=−−，由题意知4a=，4b=，6c=，0ab=，ππ4

6cos1246cos1233acbc=====，所以222221()22268BDabcabcabacbc=−−=++−−+=，即1217BD=，所以11172DOBD==.获得更多资源请扫码加入享学资

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