【文档说明】浙江省杭州市六校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，2.228 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★考试结束前2023学年第二学期期末高一数学试题命题：萧山中学华杰､楼飞华审核､审校：桐庐中学李华考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟：2､答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填

涂相应数字.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第I卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2210,1,2,3,4AxxB==∣，则AB

=（）A.2B.2,3C.3,4D.2,3,4【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得.【详解】由2210x解得()()10,22,10A=−−，所以2,3AB=I.故选：B2.若()2i5

iz+=，则z的虚部为（）A.2i−B.2iC.2−D.2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z,再根据虚部的概念进行选择.详解】由()2i5iz+=()()()5i2i5i2i2i2iz−==++−51

0i12i5+==+.所以复数z的虚部为：2.故选：D【3.已知()eexxxfxa−=+是偶函数，则a=（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】B【解析】【分析】由()()fxfx−=，列出方程，求出a的值，再检验定义域是否关于原点对称即可.【详解】由()()fxfx−

=得：eeeexxxxxxaa−−−=++，解得，1a=−.当1a=−时，()eexxxfx−=−，定义域为()()00−，，+关于原点对称，故1a=−符合题意，故选：B.4.已知a，Rb，p：ab

，q：()22abab−，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据q解出ab，再利用充分性和必要性即可判断.【详解】解：因为a，Rb，

q：()22abab−即2220aabb−+，即2)0ab−（，则ab，而p：ab，所以，p是q的充分不必要条件，故选：A.5.如图是一个古典概型样本空间Ω和随机事件,AB，其中()()()()Ω3

0,15,10,20nnAnBnAB====，则()PAB=（）的A.14B.13C.12D.23【答案】B【解析】【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可.【详解】()()()()Ω30,15,10,20nn

AnBnAB====，则()302010nAB=−=,则()()()101Ω303nABPABn===.故选：B6.如图，计划在两个山顶,MN间架设一条索道.为测量,MN间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高1003m,502mMCNB==，在BC同一水平面上选一点A，在A处

测得山顶,MN的仰角分别为60o和30o，且测得45MAN=，则,MN间的距离为（）A.100mB.506mC.1002mD.1003m【答案】C【解析】【分析】根据题意，在直角ACM△和直角ABN中，分别求得200AM=和1002AN=，再在AMN中，利用余弦定理，即可求解MN.【详解】由题意

，可得60,30,1003,502,45MACNABMCNBMAN=====，且90MCANBA==，在RtACM中，可得200msin60MCAM==，在RtABN△中，可得1002msin30NBAN==，在AM

N中，由余弦定理得2222cosMNAMANAMANMAN=+−()222210022222200002=+−=，所以1002mMN=.故选：C.7.已知函数()()sin,0fxx=，将()fx图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()ygx=

的图象，若函数()gx在区间π0,6上单调递增，则的取值范围为（）A.(0,4B.(0,2C.30,2D.(0,1【答案】C【解析】【分析】由已知()πsin6gxx=+，由()gx在区间π0,6上单调递增，则ππ62πππ662

−+，即可求得的取值范围.【详解】因为函数()()sin,0fxx=，将()fx图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象，则()πsin6gxx=+，因为函数()gx在区间π0,6上单

调递增，结合各选项，只需πππ,622x+−即可，所以ππ62πππ662−+，即332−，又因为0，所以302.故选：C.8.已知正四面体ABCD中，E是棱AC上

一点，过E作平面，满足AB//,CD//，若ABCD､到平面的距离分别是3和9，则正四面体ABCD的外接球被平面截得的截面面积为（）A.99πB.100πC.103πD.108π【答案】A【解析】【分析】补形成正方

体，求出正方体棱长，然后可得外接球半径，然后可解.【详解】将正四面体补形成正方体，如图，因为//AB，//IJAB，所以//IJ，又//,,CDCDIJ是平面CIDJ内的相交直线，所以平面//CIDJ平面，因为

ABCD､到平面的距离分别是3和9，所以正方体棱长为12，结合正方体对称性可知，球心O到平面的距离为3，记正四面体的外接球的半径为R，则224312R=，解得63R=，则外接球被平面截得的截面半径223311rR=−=，所以，截

面面积为2π99πr=.故选：A二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间2,6上存在零点的是（）A.()14fxx=−B.()ln26

fxxx=+−C.()2(3)fxxx=−D.()sincos22xxfx=+【答案】BD【解析】【分析】根据题意，利用函数的零点的定义，以及函数的单调性，结合零点的存在定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数()14fxx=−，可得函数()fx的值域为(,0)(0,)−+，所以函数

()fx在定义域(,4)(4,)−+没有零点，所以函数()14fxx=−不可以用零点存在定理判断函数()fx在区间26,上存在零点，所以A不符合题意；对于B中，函数()ln26fxxx=+−的定义域为(

0,)+，且在定义域上为单调递增函数，因为()()2ln220,6ln660ff=−=+，所以()()260ff，由零点的存在定理，可得函数()fx在区间26,上存在零点，所以B符合题意；对

于C中，函数()2(3)fxxx=−，令()0fx=，解得0x=或3x=，而()()222,66354ff===，此时()()260ff，所以函数()2(3)fxxx=−不可以用零点存在定理判断函数()fx在区间26,上存在零点，

所以C不符合题意；对于D中，函数()πsincos2sin()2224xxxfx=+=+，当2,6x，可得ππππ3π1,3,244422x+++，所以函数()π2sin()

24xfx=+在区间26,上为单调递减函数，因为()()π2sin1cos10,62sin(3)04ff=+=+，即()()260ff，所以函数()sincos22xxfx=+可以用零点存在定理判断函数()fx在区间26

,上存在零点，所以D符合题意.故选：BD.10.下列命题正确是（）A.若事件,,ABC两两互斥，则()()()()PABCPAPBPC=++∪∪成立.B.若事件,,ABC两两独立，则()()()()PABCPAPBPC=成立.C.若事件,AB相互独立，则A与B也相互独立.的D.若()()0,0P

APB，则事件,AB相互独立与,AB互斥不能同时成立.【答案】ACD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D.【详解】对于A选项，若事件,,ABC两两互斥，则A

B与C互斥，所以，()()()()()()PABCPABPCPAPBPC=+=++，因此A正确；对于B，考虑投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，事件B：第二个骰子点数为奇数，事件C：两个骰子的点数

之和为奇数，于是有()()()12PAPBPC===，()()()14PABPBCPAC===，()0PABC=，可以看出事件,,ABC两两独立，但,,ABC不互相独立，所以()()()()PABCPAPBP

C，因此B错误；对于C，若事件,AB相互独立，则()()()PABPAPB=，又()()1PAPA=−，()()1PBPB=−，则()()()()()11PABPABPAPBPAB=−+=−−+()()()()11PAPBPAPB=−−=，因此C正确

；对于D，若()()0,0PAPB，事件,AB相互独立，则()()()0PABPAPB=，若,AB互斥，则()0PAB=，因此D正确.故选：ACD.11.“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑

上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为0123,,,VVVV.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为0123

,,,SSSS，则以下关系正确的是（）A.001123VSVS==B.0022VSVSC.0033VSVSD.03VV的最大值为12【答案】AB【解析】【分析】对于A，由已知结合球和圆柱的体积公式、表面积公式即可

依次求出0V、1V、0S、1S，从而得解；对于B，设圆台上下底面的半径和母线长分别为12,,rrl，由三角形全等得12lBPDPrr=+=+，求证CDOAOB=得21122rRRrrRr==，进而由台体体积公式计算得()2221π3VRlR=−，由台体表面积公

式得()2222πSlR=−，从而得02VV和02SS即可得解；对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为r、h和1l，由LHMLOMLOHHOMSSSS=++得1lRrhrR=−①，由1LQlr=−和1

tanRrOLMlrh==−，得21lrRhr=+②，进而得2222RrhrR=−和32122rRrlrR+=−，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出3V和3S，从而得0033VSVS=；对于D，由C结合基本不等式即为

03VV的最大值.【详解】对于A，由题得304π3VR=，231π22πVRRR==，204πSR=，2212π2π2=6πSRRRR=+，所以320032114π24π23,2π36π3RVSRVRSR====，所以001123VSVS==，故A正确；对于B，设圆台上下底面的半径和母

线长分别为12,,rrl，圆台容球的轴截面如图所示，因为π,,,2OAOPOCROBOBODODOABOPBOPDOCD=========，所以,OABOPBOPDOCD≌≌，所以,AOBPOBCODPOD===

，且12lBPDPrr=+=+，所以π+=2POBPODAOBCOD+=，又π+=2CDOCOD，所以CDO=，所以21122tanrRRrrRr===，所以()()22222221212121211ππππ2π33VrrrrRRrrrr=++

=++()()222121211ππ33RrrrrRlR=+−=−，()()()22222222121212121212ππππ2πSrrrrlrrrrrrrr=+++=+++=++()()22212122π2πrrrrlR=+−=

−，所以()()32220022222222224π44π23,12ππ3RVSRRRVlRSlRlRRlR====−−−−，所以0022VSVS，故B正确；对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为r、h和1l，圆锥容球的轴截面如图所

示，则由LHMLOMLOHHOMSSSS=++得111111222222rhlRlRrR=++，整理得1rhlRrR=+即1lRrhrR=−①，因为π,,2OGOQOMOMOGMOQM====,所以QMGMr==，故1LQlr=−，所以1tanR

rOLMlrh==−，所以()211Rhrlrlrr=−=−即21lrRhr=+②，由①②得2RrhrRrRhr−=+即2222RhRrrhrR+=−，整理得2222RrhrR=−，所以由①得2332221222

222RrrrRrrRrrRlrRrRrR−+−==−=−−，所以()24232222122ππ33RrRrVrrRrR==−−，324223122222πππππrRrrSrrlrrrRrR+=+=+=−−，所以()()()22222222223200344

4333224π,4π32π2πrRRrRRrRVSrRRRVRrrSrr−−−−====，所以0033VSVS=，故C错误；对于D，由题意可知rR，所以由C得()222222204432222RrRRrRVVrr+−−==，当且仅当222RrR=−即2

rR=时等号成立，故03VV的最大值为2，故D错误.故选：AB.【点睛】思路点睛：对于圆台的体积2V和表面积2S，先由三角形全等得12lrr=+，接着由CDOAOB=得212Rrr=，进而由台体体积公式和表面积公式计算求出2V和2S即可得02VV

和02SS；对于圆锥的体积3V和表面积3S，先由LHMLOMLOHHOMSSSS=++得1lRrhrR=−①，接着由1LQlr=−和1tanRrOLMlrh==−得21lrRhr=+②，从而由①②得2222Rr

hrR=−和32122rRrlrR+=−，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出3V和3S，进而得0033VSVS=.第II卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.3216lg83lg5++=______.【答案】9【解析】【分析】根据根式的化简

与对数的运算法则计算即可.【详解】原式可化为()3336lg23lg563lg2lg59++=++=.故答案为：913.已知()()3sincoscossin,5−−−=是第三象限角，则5πsin4+=______.【答案】7210##7210【解析】【分析】利用正弦的

差角公式先计算()sin−，结合诱导公式及同角三角函数的平方关系再利用正弦的和角公式计算即可.【详解】因为()()()()3sincoscossinsinsin5−−−=−−=−=，且为第三象限角，所以34sin,cos55

=−=−，所以5π5π5πsinsincoscossin444+=+324272525210=−−+−−=.故答案：721014.在对树

人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______.【答案】37为【解析】【分析】按男女生

比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可．【详解】由题意知，总样本的平均数为203017016016420302030+=++，总样本的方差为()()2220301017016415160164375050+−++−=.故答案为：37四

､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知,ab是非零向量，()aab⊥−，且32,6ab==.（1）求a在b方向上的投影向量；（2）求23ab−.【答案】（1）12

br（2）65【解析】【分析】（1）根据条件得到18ab=，再利用投影向量的定义，即可求出结果；（2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果.【小问1详解】因为()aab⊥−，所以()20aaba

ab−=−=，又32a=，得到18ab=，又6b=，所以a在b方向上的投影向量为181362abbbbbb==.【小问2详解】由（1）18ab=，所以2222341294181218936180abaabb−=−+=−+=，得到2365ab−=.16.为

了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,AB两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠

体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到(C)P的估计值为0.30．（1）求乙离子残留百分比直方图中,ab的值；（2）求甲离子残留百分比的第75百分位数；（3）估计乙离子残留百分比的均值

.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）【答案】（1）0.35a=，0.10b=，（2）5.0（3）6.00【解析】【分析】（1）根据直方图()PC的估计值，可列出式子求出a,因为()1PU=(U为全集)，即可列出式子求出b;（2）设甲离子残留百分比的第75百分

位数为x，根据条件，建立方程0.150.200.30(4.5)0.200.75x+++−=，即可求解；（3）将各个区间的中间值乘该组数据的频率，相加，再乘组距，即可求出乙离子残留百分比的平均值.【小问1详解】由已知得0.30=0

.050.15b++，解得0.10b=，所以10.200.150.300.35a=−−−=．【小问2详解】根据直方图，易知甲离子残留百分比的第75百分位数在区间)4.5,5.5，设为x，则0.150.200.30(4.5)0.200.75x++

+−=，解得5.0x=，所以甲离子残留百分比的第75百分位数为5.0.【小问3详解】乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00+．17.在ABCV中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，已知ABCV的外

接圆半径14R=，22sinsinsinsin2sinABABcC++=.（1）求角C；（2）求2ab+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）33,42【解析】【分析】（1）由外接圆半径可得2sincC=，结合正弦定理可得222ababc++=，由余弦定理可求出角

C;（2）将结合外接圆半径将边,ab用角A,B表示，再由（1）可知π3AB+=，进而2ab+用角B来表示，结合三角函数的图象与性质即可求出范围.【小问1详解】由ABC的外接圆半径14R=,则12sin2cRC==,可得2sincC=,222sinsinsinsinsinABABC++=.由正

弦定理得222ababc++=.由余弦定理得2221cos222abcabCabab+−−===−,()0,πC，2π3C=.【小问2详解】由(1)可得π3AB+=,1π1222sin2sinsinsinsinsin232abRARBABBB+=+

=+=−+,3cos2B=，π0,,3B1cos,12B,即332,42ab+.18.三棱台111ABCABC−中，ABAC⊥，面11ABBA

⊥面11ACCA，11112,4AAACCCAC====，且1BB与底面ABC所成角的正弦值为155.（1）求证：AB⊥面11ACCA；（2）求三棱台111ABCABC−的体积；（3）问侧棱1BB上是否

存在点M，使二面角MACB−−成π6？若存在，求出1BMBB的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见详解（2）733（3）存在，12【解析】【分析】（1）连接1AC，过1A作11//AGCC交AC于G，由已知可得11ACAA⊥，又平面11ABBA⊥平面11ACCA，则1AC⊥

平面11ABBA，可得1ACAB⊥，又ABAC⊥，则可得AB⊥平面11ACCA.（2）由已知可得平面11ACCA⊥平面ABC，过1A作1ANAC⊥，连接BN，可得1AN⊥平面ABC，求得13AN=，如图

，延长侧棱交于点O，作OHAC⊥于H，连接BH，可求得2AB=，又因为1BB与底面ABC所成角的正弦值为155，可求得15BB=，即可求得三棱台的体积.（3）如图，作//MGOH交BH于G，过G作GKAC⊥于K，则//GK

AB，由（2），可得MG⊥平面ABC，则MKG即为二面角MACB−−的平面角，设25BMx=，则22BGx=，23MGx=，由//GKAB，可得()21KGx=−，若π6MKG=，可得14x=，即M为1BB中点，即侧棱1B

B上是存在点M，使二面角MACB−−成π6，则112BMBB=.【小问1详解】连接1AC，在梯形11ACCA中，过1A作11//AGCC交AC于G，由11112,4AAACCCAC====，则1AAG为等边三角形,则60A=

，四边形11AGCC为菱形，则130GAC=，所以190AAC=，即11ACAA⊥，因为平面11ABBA⊥平面11ACCA，平面11ABBA平面111ACCAAA=，1AC平面11ACCA，所以1AC⊥平面11ABBA，又AB平面11ABBA，所以1ACAB

⊥，又因为ABAC⊥，1ACCAC=，1ACAC、平面11ACCA，所以AB⊥平面11ACCA.【小问2详解】因为AB⊥平面11ACCA，AB平面ABC，所以平面11ACCA⊥平面ABC，过1A作1ANAC⊥，连接BN，1AN平面11ACCA，平面11ACCA平面ABCAC=，

则1AN⊥平面ABC，故几何体的高为13AN=，如图，延长侧棱交于点O，作OHAC⊥于H，连接BH，由已知H为AC中点，2AH=，由（1）得，OH⊥平面ABC，因为1BB与底面ABC所成角的正弦值为155

，则余弦值为105，1223OHAN==，2325155OB==，22BH=，224OAOHAH=+=，由（1）得ABOA⊥，则222ABOBOA=−=，又因为1BB与底面ABC所成角的正弦值为155，所以1

35155BB==，故三棱台体积为111173324242432483V=++=.【小问3详解】如图，作//MGOH交BH于G，过G作GKAC⊥于K，则//GKAB，由（2）可得，MG⊥平面ABC，则MKG即为二面角MA

CB−−的平面角，又BH平面ABC，则MGBH⊥，设25BMx=，则1010252255BMxxBG===，则()()22252223MGxxx=−=，由//GKAB，得KGHGABBH=，又()221HGBHBGx=−=

−，所以()()22122122xKGx−==−，若π6MKG=，则()233tan213xMKGx==−，解得14x=，所以52BM=，即M为1BB中点，即侧棱1BB上是存在点M，使二面角MACB−−成π6，则151225BMBB==

.19.对于012,,zzzC，记1020zzkzz−=−为12,zz关于0z的“差比模”.若取遍()00zrr=，记12,zz关于0zr=的“差比模”的最大值为maxk，最小值为mink，若maxmin2kk+=，则称1

2,zz关于r的“差比模”是协调的.（1）若01213i,1,122zzz=+==−，求12,zz关于0z的“差比模”；（2）若1213i,13izz=+=−，是否存在2r<，使得12,zz关于r的“差比模”是

协调的？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由；（3）若12,i,,zazbab==R且,abr，若12,zz关于r的“差比模”是协调的，求222bar−的值.【答案】（1）33（2）不存在，理由见解析（3

）2【解析】【分析】（1）由“差比模”定义代入复数01213i,1,122zzz=+==−，由复数的代数运算及求模可得；（2）由12zz=，利用共轭复数的性质与模的性质可得maxmin1kk=，利用基本不等式可得maxmin2kk+可知不存在2r<，使得12,zz关于r的“

差比模”是协调的；（3）设()0cosisinzr=+，由22222cos2sinararkbrbr+−=+−平方整理再结合辅助角公式可得2222222224()()44sin()arbrkarbrk+−+=++，利用三角函数有界性可得关于2k的不等式

，由此可解得2[,]kmn，结合韦达定理与题意12,zz关于r的“差比模”是协调的，化简可求222bar−.【小问1详解】由题意得00131i2211131i22zkz−+−==−−−−+213i13i1i3i3322i333333i33ii2

2−−−−=====−−−−−−，故12,zz关于0z的“差比模”为33.【小问2详解】先证明共轭复数有如下性质：若任意12,Czz，则11121222,zzzzzzzz==.证明：设12i(,),i(,)zababzcdcd=+=+RR，则()()12iii

zzabcdacbd=++=−，而()()12iiizzabcdacbd=−−=−，故1212zzzz=.1222222222iiiizabacbdbcadacbdbcadzcdc

dcdcdcd++−+−==+=−+++++；1222222222iiiizabacbdadbcacbdbcadcdcdcdcdcdz−+−+−==+=−−++++；故1122zzzz=.综上，共轭复数的性质11

121222,zzzzzzzz==得证.记当“差比模”取最大值maxk时的复数0z为maxz，即1maxmax2maxzzkzz−=−.由已知12i,13i13zz=+=−发现12zz=，由已证明共轭复数的

性质与复数模的性质zz=可得因为1max2max2max2max2max1max1maxmax2max1max1max1zzzzzzzzzzzzzzkzzzzzz−−−−−=====−−−−−，所以若当0maxzz=时取得maxk，则0maxzz=时取到mink

，故可知maxmin1kk=，由取遍()00zrr=，0013i13izkz+−=−−不恒为常数，则maxminkk，故由基本不等式可得maxmin2kk+，故不存在2r<，使得12,zz关于r的“差比模”是协调的.【小问3详解】12,i,,zazbab==R且,abr，设()0

cosisinzr=+，则()2222cosisin2coscossini2sinarrararkrbrbrbr−−+−==−+−+−，平方整理可得：22222222224()()2cos2sin44sin()arbrkarbrkarbrk+−+=−

=++所以2222222224()()sin()144arbrkarbrk+−++=+，即22222222224()()44arbrkarbrk+−++，平方整理得：222422222222()2()()()0brkarbrkar−−++

+−，令2tk=，设方程22222222222()2()()()0brtarbrtar−−+++−=，则()()2222222222224222Δ2()()4()()160arbrbrarabrabr=++−−−=++

，故方程有两个不等的实数根，设为,mn，不妨设mn.由题意知0,0arbr，22220,0arbr−−，则222222202()()()arbrmnbr++=−+，且2222220()()marbrn=−−，故方程22222222222()2()()()0brt

arbrtar−−+++−=有两不等的正实数根,mn，由关于2k的不等式222422222222()2()()()0brkarbrkar−−+++−，解得2[,]kmn，则maxkn=，minkm=，由已知12,zz关于r的“差比模”是协调的，则2mn+=，所

以24mnmn++=，利用韦达定理，222222222222()()()24()()arbrarbrbr++−+=−−，则有222222222222()()2()()4()arbrarbrbr+++−−=−，化简可得2222abr=−，故2222bar−=．【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的

常用性质有：（1）任意12,Czz，则111212121222,,zzzzzzzzzzzz===；（2）任意Cz，则2,zzzzz==.