【文档说明】重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题+含答案.docx，共(15)页，1.595 MB，由小赞的店铺上传

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万州二中教育集团高2022级高二（上）期十月质量监测数学试题（120分钟150分命题人：数学备课组）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线350xy++=的

倾斜角为（）A.120°B.60°C.150°D.30°2.已知向量()2,3,1AB=，()4,5,3AC=，那么BC=（）A.()2,2,2−−−B.()2,2,2C.()6,8,4D.()8,15,33.已知,,abc是空间的一个基底，下列不能与mab=−，nbc=

−构成空间的另一个基底的是（）A.acb++B.ac+C.ab+D.ac−4.直线240axy++=与直线()120xay+−+=平行，则a的值为（）A.1a=−B.0a=C.2a=D.1a=−或2a=5.在正三棱锥PABC−中，O是ABC△的中心，2PAAB==，则P

OPA=（）A.83B.63C.423D.596.已知直线l过点()1,3,1P，且方向向量为()1,0,1m=−，则点()1,1,1A−−到l的距离为（）A.4B.32C.25D.37.已知()3,0A，()0,3B，从点()0,2P射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射

回到P点，则光线所经过的路程为（）A.210B.26C.33D.68.设球O是棱长为2的正方体1111ABCDABCD−的外接球，M为11BC的中点，点P在球面上运动，且总有DPBM⊥则点P的轨迹的周长为（）A.2705B.455C.23D.145二、多选题：本题共4小题，每小

题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题中错误的是（）A.向量a，b，若0ab=，则ab⊥B.若空间向量m、n、p，满足mn∥，np∥，则mn∥C.对

于空间向量m、n、p，满足mn=，np=，则mp=D.对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若22OPOAOBOC=−−，则P、A、B、C四点共面10.对于直线1:230laxya++=和直线()2:3130lxaya+−+−=，以下说法正

确的有（）A.直线2l一定过定点2,13−B.12ll∥的充要条件是3a=C.若12ll⊥，则25a=D.点()1,3P到直线1l的距离的最大值为511.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，侧面PAD为等边三角形，2PA=，平面PAD⊥平面ABCD

，点M在线段PC上运动（不含端点），则下列说法错误的是（）A.平面PAD⊥平面PCDB.存在点M使得BDAM⊥C.当M为线段PC中点时，过点A，D，M的平面交PB于点N，则四边形ADMN的面积为374D.BMAM+的最小值为222+12

.在长方体1111ABCDABCD−中，4cmAB=，12cmBCCC==，E，F分别为AB，CD的中点，P是线段11AB（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（）A.存在点P，使直线PE与平面PDF所成角取得最大值B.存在

点P，使直线PD与平面PEB所成角取得最大值C.存在点P，使平面PDE与平面PFB的夹角取得最大值D.存在点P，使平面PDF与平面PEB的夹角取得最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.过点(

)1,2−−斜率为3的直线的方程是______.14.已知ABC△的三个顶点的坐标为()3,3A，()2,2B−，()7,1C−，则ABC△的面积为______.15.已知O为坐标原点，直线1:20lxmy

+−=与2:20lmxym−+=交于点P，则OP的值为______.16.如图，棱长为1的正方体12345678AAAAAAAA−的八个顶点分别为1A，2A，…，8A，记正方体12条棱的中点分别为9A，10A，

…，20A，6个面的中心为21A，22A，…，26A，正方体的中心为27A，记171jjmAAAA=，1,2,,27j，其中17AA是正方体的体对角线.则1227mmm+++=______.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤.17.已知ABC△的三个顶点为()4,0A，()8,7B，()4,6C.（1）求过点A且平行于BC的直线方程；（2）求AC上的中线所在直线方程.18.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，5AB=，

3AD=，14AA=，90DAB=，1160BAADAA==，E是1CC的中点，设aAB=，ADb=，1cAA=.（1）用a，b，c表示AE；（2）求AE，1BD所成角的余弦值.19.我们学习了空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么

对任意一个空间向量p，存在一个唯一的有序实数对(),,xyz，使得pxaybzc=++.其中，,,abc叫做空间的一个基底.a，b不共线，非零向量m，n满足0ma=，0mb=，0na=，0nb=.（1）以,,mab为基底证明：mn∥：（2）用向

量证明：若两相交平面同时垂直另一平面，则这两平面的交线也垂直这个平面.20.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PAADa==，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距

离.21.在四棱锥SABCD−中，已知底面ABCD为菱形，若BDSC⊥，ACSD⊥，BDACE=.（1）求证：SE⊥平面ABCD；（2）若32BDACSE==，设点H满足()01DHDC=，当直线SC与平面SHE所成角的正弦值为77时，求的值.22.如图，在正方体1111ABCDAB

CD−中，E，F分别为11AD，11CD中点，G，H分别为AB，BC中点，O为平面ABCD中心，且正方体棱长为1.（1）证明：平面DEF∥平面1CGH；（2）是否存在过直线EF且与正方体的12条棱的夹角均相等的平面?若存在，求出该平面与平面1CGH的夹角

的余弦值.参考答案1-4：CBDA5-8：ABBA8.【详解】如图，根据题意，该正方体的外接球半径为3R=由题意，取1BB的中点N，连接CN，DN，DO以D为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系()0,2,0C，()0,0,0D，()2,2,1N，()2,2,0B，()1,2,2M，()1,1,

1O，()2,0,1CN=，()1,0,2BM=−，()0,2,0DC=，()2100120CNBM=−++=，1002200BMDC=−++=则CNBM⊥，DCBM⊥又CD，CN平面DCN，CDCNC=∴BM⊥平面DCN

∴点P的轨迹为平面DCN与外接球的交线设点O到平面DCN距离为d，则110121155DOBMdBM−++===∴O到过平面DCN距离15d=∴截面圆的半径22114355rRd=−=−=∴点P的轨迹周长为27025Cr==9.ABD10.ACD11.BD12.AC12.【详解

】则()0,0,0D，()2,0,0A，()2,4,0B，()0,4,0C，()2,2,0E，()0,2,0F，设()2,,2Pt，04t，则()2,,2DPt=，()0,2,2EPt=−，()0,2,0DF=，()2,2,0DE=，()2,2,2F

Pt=−，()0,4,2BPt=−，取平面PEB的一个法向量为()2,0,0mDA==，设平面PDF的法向量为()111,,nxyz=，则00nDFnDP==，11100yxz=+=，取()2,0,2n=−，设平面PDE的法向量为()222,,pxy

z=，则22222220000xtyzpDPxypDE++==+==，取()2,2,2pt=−−，设平面PFB的法向量为()333,,qxyz=，则()()33333222004200x

tyzqFPtyzqBP+−+==−+==，取()2,2,4qt=−−，A：设直线PE与平面PDF所成角为，则()()2242sincos,442424EPnEPnEPntt====+−+−+，02t时，函数()

2224yt=−+单调递增，24t时，函数()2224yt=−+单调递减，∴当2t=时，即P是11AB中点的时候，sin取最大值，故A正确.B：设直线PD与平面PEB所成角为，则2242sinco

s,288DPmDPmDPmtt====++，∵04t时，函数228yt=+单调递减，没有最大值，故B错误.C：设平面PDE与平面PFB的夹角为，则()()222616coscos8284

pqttpqpqtt−+===+−+−下面研究函数()()2226168284ttytt−+=+−+−在()0,4t上的单调性；令3ts−=，()223tsr−==，()222616377ttts−+=−+=+，()()()()22228283193

2392ttttss+−=+−+=+−+−=++，()()()()222284831932392ttttss+−=+−−=+−−−=+−，则()()()()222282849292ttssss+−+−=+++−()()22224229

41481732sssss=+−=++=++，∴()()()22222261678284732ttsytts−++==+−+−++，()()()()2222222111323273211777srss===+++++++，()0,4t，()23

rt=−在()0,3t递减，在()3,4t递增，且)0,9r，又()213217yr=++在)0,9r时递增，故由复合函数单调性判断原理可知()()2226168284ttytt−+=+−+−在()0,3t递减，在()3,4t递增，则cos在3t=时取最小值，

此时最大，即平面PDE与平面PFB的夹角取到了最大值，故C正确.D：设平面PDF与平面PEB的夹角为，则42coscos,2244mnmnmn====+，即45=为定值，故D错误.故选：AC.13.310xy−+=.【分析】根据直线的点斜式方程，列方程即可.【点评】本题考查了直线的

点斜式方程，是基础题.14.2415.2.【分析】根据两直线经过定点，即可根据0m和0m=，利用斜率得垂直关系即可分情况求解.【解答】解：直线1l过定点()2,0A，2l过定点()2,0B−，当0m时，两直线的斜率分别为11km=−，2km

=，121kk=−，故APBP⊥，从而122OPAB==；当0m=时，易求得()2,0P，此时2OP=，综上可知，2OP=.故答案为：2.【点评】本题考查直线的位置关系相关知识，属于基础题.16.812/40.5【分析】建立如图所示的空间直角坐标系

，利用空间向量数量积的坐标运算，可求1227mmm+++的值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0A，()21,0,0A，()31,1,0A，()40,1,0A，()50,0,1A，

()61,0,1A，()71,1,1A，()80,1,1A，设向量()1,,jAAxyz=，而()171,1,1AA=，故117jjmAAAAxyz==++，故1227mmm+++表示各点的坐标和的和.现各点的横坐标之和为

X，纵坐标之和为Y，竖坐标之和为Z，根据对称性可得1271990922XYZ===++=，故12272781322mmm+++==，故答案为：812.【点睛】方法点睛：对于一些较为复杂的计算问题，如果直接算比较麻烦，则可以换一个等价

的计算方法，从而使得问题得以简化.17.（1）440xy−−=（2）10xy−−=【详解】（1）由B、C两点的坐标可得761844BCk−==−，因为待求直线与直线BC平行，故其斜率为14BCkk==由点斜式方程可得目标直线方程为()144yx=−整理得440

xy−−=.（2）AC中点坐标为()4,3，所以两点式方程为347384yx−−=−−，所以直线方程为10xy−−=.18.【详解】（1）11122AEABBCCEABADAAabc=++=++=++（2）72119.（1）令nxmyazb=++∴20naxmayaz

ab=++=20nbxmbyabzb=++=又∵0ma=，0mb=，∴2200yazabyabzb+=+=①②方法一：222220yzyazbyzab+=+=①②∴()20yaz

b+=又∵a，b不共线，∴0yz==∴nxm=即，nm∥方法二：若y，z不全为0，不妨设0z由①②可得：22yabbzaab=−=−∴()222abab=∴abab=，即a，b共线∴0yz==∴nxm=即，nm∥（2）已知：如图，⊥，

⊥，a=，求证：a⊥.证明：如图，取平面的法向量1n，平面的法向量2n，平面的法向量3n，直线a的方量向量a.∵⊥⊥，∴132300nnnn==，又∵a=，∴1200nana==，且1n，2n不共线所以根据（1）结论，3na∥.所以a

⊥.20.（1）证明见解析（2）63a【详解】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB，AD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∴PAAB⊥，PAAD⊥，ADAB⊥，即AP，AB，AD两两垂直，分别以AB，AD，AP所在直线为

x轴，y轴，z轴建立如题所示空间直角坐标系：则()0,0,0A，(),0,0Ba，(),,0Caa，()0,,0Da，()0,0,Pa，,0,02aM，,,222aaaN，∴0,,22aaMN=，,,22

2aaaND=−−，(),,PCaaa=−，(),0,0CDa=−，设平面MND的一个法向量为(),,mxyz=，则0220222aayzaaaxyz+=−+−=令1y=−得1z=，2x=−，∴()2,1,1m=−−，设平面PCD的一个法向

量为(),,nmnl=，则00amanalam+−=−=，有()0,1,1n=满足，∵()()2011110mn=−+−+=，∴mn⊥，∴平面MND⊥平面PCD；（2）由（1）知()2,1,1m=−−为平面MND的一个法向量，且()0,,PDaa=−，所以P到平面MND的距

离2636mPDaadm===.21.（1）证明见解析（2）35【详解】（1）由底面ABCD为菱形，得BDAC⊥，又BDSC⊥，SCACC=，SC、AC平面ASC，∴BD⊥平面ASC，∵SE平面ASC，∴BDSE⊥，又ACSD⊥，SDADD=，SD、AD平面BSD，∴AC

⊥平面BSD，∵SE平面BSD，∴ACSE⊥，又BDACE=，BD、AC平面ABCD，∴SE⊥平面ABCD；（2）由（1）结论，可以以点E坐标原点，以向量EC，ED，ES的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

，取1EC=，则3EDES==，由DHDC=，则()0,0,0E，()1,0,0C，()0,0,3S，()0,3,0D，(),33,0H−，()0,0,3ES=，(),33,0EH=−设平面SHE的一个法向量为()1111,,nxyz=，

则由()111113003300znESxynEH==+−==，取1y=，则133x=−，10z=，所以平面SHE的一个法向量为()133,,0n=−，直线SC的方向向量为()1,0,3SC=−，

记直线SC与平面SHE所成角为，则()11221337sincos,7332nSCnSCnSC−====−+，解得35=或3=（舍），∴35=.22.（1）略（2）存在，以1,,DADCDD为基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.∴()1,0,0DA

=，()0,1,0DC=，()10,0,1DD=设该平面法向量为()000,,nxyz=∴1cos,cos,cos,nDAnDCnDD==∴000222222222000000000xyzxyzxyzxyz==++++++∴000xyz==1,0,12E

，10,,12F，∴11,,022EF=−又∵该平面过直线EF，∴0nEF=，∴0011022xy−+=∴00xy=11,,02G，1,1,02H，()10,1,1C∴11,,022GH=−，111,

,02GC=−，设平面1CGH法向量为(),,mabc=∴100mGHmGC==，∴11022102ababc−+=−++=，取2a=，∴221abc===，∴()2,2,1m=.设该平面与平面1CGH夹角为

，①若000xyz==，取()1,1,1n=，∴553coscos,933nmnmnm====②若000xyz==−，取()1,1,1n=−，∴33coscos,333nmnmnm====所以该平面存在，且与平面1C

GH夹角的余弦值为539或33.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com