【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》3.2 函数的基本性质 （3） 含答案【高考】.docx，共(11)页，298.883 KB，由小赞的店铺上传

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13．2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定

义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

．知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(√)2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(×)3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f

(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(×)4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(×)一、函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝1x；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝xx－1；

(4)f(x)＝x2－1＋1－x2.2解(1)f(x)＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(－x)＝1－x＝－1x＝－f(x)，∴f(x)＝1x是奇函数．(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(

－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．(3)f(x)＝xx－1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∵定义域不关于原点对称，∴f(x)＝xx－1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f(x)＝x2－1＋1－x2的定义域为{－1,1

}．∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，∴f(x)＝x2－1＋1－x2既为奇函数，又为偶函数．反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．(2)图象法．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x；(2)f(x)＝1－x2x；(3

)f(x)＝x2＋x，x>0，x2－x，x<0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f

(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；3当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f

(x)是偶函数．二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的

图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象

关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．4考点函数图象的对称性

题点中心对称问题解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－

2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<0或2<x<5}．三、利用函数的奇偶性求参数值例3(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.答案130解

析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝13.又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝____

____.答案0解析由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.反思感悟利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点

对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．跟踪训练3(1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.答案0解析方法一显然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x

＋a|＝x2－|x－a|.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|.又x∈R，所以a＝0.5方法二由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.(2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时

，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________．答案12解析∵f(－2)＝－f(2)＝3，∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，∴m＝12.1．下列函数是偶函数的是()A．y＝xB．y＝2x2－3C．y＝x

D．y＝x2，x∈(－1,1]答案B2．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称答案C解析∵f(x)＝1x－x是奇函数，∴f(x)＝1x－x的图象关于原点对称．3．下列图象表示的函数具有奇偶性

的是()考点函数的奇偶性概念题点函数奇偶性概念的理解答案B4．f(x)＝x2＋|x|()A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数6考点单调性与奇偶性的综合应用题点

判断函数的单调性、奇偶性答案D5．若已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25，则函数f(x)的解析式为________．答案f(x)＝x1＋x2解析∵f(x)

＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(0)＝a×0＋b1＋02＝0，∴b＝0.即f(x)＝ax1＋x2，又f12＝25，∴a21＋122＝25.∴a＝1，∴函数f(x)＝x1＋x2.1．知识清单：(1)函数奇偶性的概念．(2)奇函数、偶函数的图象

特征．2．方法归纳：特值法、数形结合法．3．常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性．1．下列函数中奇函数的个数为()①f(x)＝x3；②f(x)＝x5；③f(x)＝x＋1x；④f(x)＝1x2.A．1B．2C．3D．4答案C2．已知f(x)是定

义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是()7A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(2，－3)答案A解析f(－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上，∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f(x)的图象上．3．设f(

x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数答案A解析F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)．∴F(x)为奇函数4．若f(x)＝3x3＋5x＋a

－1为奇函数，则a的值为()A．0B．－1C．1D．2答案C解析∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0得a＝1.5.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()A．－2B．2C．1D．0答案A解析f(

－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－32－12＝－2.6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.答案4解析f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6

，则a的值为________．答案5解析因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，8所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(

x)；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②

正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)

＝2x2＋2xx＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x

－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，

试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.9(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是

()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝－2x答案B解析对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y＝x3

不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－2x不是偶函数．故选B.12．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g

(x)是奇函数考点函数的奇偶性判定与证明题点判断抽象函数的奇偶性答案A解析由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．13．函数f(x)＝4－x2

2－|x＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案[－2,0)∪(0,2]奇解析依题意有4－x2≥0，2－|x＋2|≠0，10解得－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)的定义域

为[－2,0)∪(0,2]．∵f(x)＝4－x22－|x＋2|＝4－x2－x＝－4－x2x，定义域关于原点对称，∴f(－x)＝4－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．14．函数f(x)＝ax3＋bx＋cx＋5满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．答案8

解析设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋cx(x≠0)，∵g(－x)＝－ax3－bx－cx＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，∴g(3)＝－g(－3)＝－[f(－3)－5]＝－f(－3)＋5＝－2＋5＝3，又g(3)＝f(3)－5＝3，∴f(3)＝8.15．已

知函数f(x)＝x2＋x＋1x2＋1，若f(a)＝23，则f(－a)＝________.考点函数图象的对称性题点中心对称问题答案43解析根据题意，f(x)＝x2＋x＋1x2＋1＝1＋xx2＋1，而h(x)＝xx2＋1是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2

－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝43.16．设函数f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．解由条件知f(－x)＋f(x)＝0，

∴ax2＋1bx＋c＋ax2＋1c－bx＝0，∴c＝0.又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.∵f(2)<3，∴4a＋12b<3，∴4a＋1a＋1<3，11解得－1<a<2，∴a＝0或1.∴b＝12或1，由于b∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.