【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》3.2 函数的基本性质 （4） 含答案【高考】.pdf，共(12)页，587.969 KB，由小赞的店铺上传

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1第2课时奇偶性的应用学习目标1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．知识点一用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解

决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．知识点二奇偶性与单

调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．预习小

测自我检验1．若f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，则f(0)＝________.答案02．若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1)．(填“>”“＝”或“<”)答案>解析f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f

(x)在R上单调递减，∴f(－1)>f(1)．3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3,7]上是________函数．答案减解析∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函数．4．

函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.答案－x解析方法一令x<0，则－x>0，2∴f(－x)＝－x，又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x

)＝－x(x<0)．方法二利用图象(图略)可得x<0时，f(x)＝－x.一、利用函数的奇偶性求解析式命题角度1求对称区间上的解析式例1函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)

的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.反思感悟求给定哪个区间的解析式就设这个区间

上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f

(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．解因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．f(0)＝0.所以f

(x)＝x1＋x，x≥0，－xx－1，x<0.命题角度2构造方程组求解析式例2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇

偶性求函数的解析式3解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝1x－1.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∴f(x)－g(x)＝1－x－1，②(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；(

①－②)÷2，得g(x)＝xx2－1.反思感悟f(x)＋g(x)＝1x－1对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．跟踪训练2设f(x)是偶函数，g

(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－

x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f

(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)4答案A解析因为函数f(

x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大

小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为()A．f(1)>f(－10)B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10)D

．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>

b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．答案①③⑤解析f(x)为R上奇函数

，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单

调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f

(－3)＝0，则fxx<0的解集为________．5答案{x|－3<x<0或x>3}解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，

解得－3<x<0.故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}．(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f13的x的取值范围为()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23答案A解析由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等

式f(2x－1)<f13，即－13<2x－1<13，解得13<x<23.反思感悟利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式；(2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶

性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m

)，求实数m的取值范围．解因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．所以不等式f(1－m)<f(m)等价于1－m>m，－2≤m≤2，－2≤1－m≤2，解得－1≤m<12.所以实数m的取值范围为－1，12.61．若

函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是()A．f(－3)>f(0)>f(1)B．f(－3)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－3)D．f(1)>f(－3)>f(0)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案B解析∵f(

－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得()A．a<bB．a>bC．|a|<|b|D．0≤a<b

或a>b≥0考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案C3．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.答案－x＋1解析当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.4.奇函数f(

x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．答案(－∞，－1]，[1，＋∞)解析奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，

f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．又因为f(2)＝0，所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，7所以|x－1|<2，解得－2<x－1

<2，所以－1<x<3.1．知识清单：(1)利用奇偶性，求函数的解析式．(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．2．方法归纳：利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．1．设函数

f(x)＝x2＋x，x≥0，gx，x<0，且f(x)为偶函数，则g(－2)等于()A．6B．－6C．2D．－2考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案A解析g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f

(x)在区间[1,3]上是()A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5答案A解析f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，又

已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5，故选A.3．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是()A．a≤－2B．a≥28C．a≤－2或a≥2D．－2≤a≤2答案D解析由f(a)≥f

(－2)得f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()A．4B．2C．1D．0答案D解析y＝f(x)是偶函数

，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实根之和为0.5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)

C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数

，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区

间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f

(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.98．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx

＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x

)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点单调性与奇偶性的综合应用题点求奇偶函数的单调区间解(1)因

为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.设x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.于是

有f(x)＝x2－2x＋3，x>0，0，x＝0，－x2－2x－3，x<0.(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a

，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝52，f(2)＝174.(1)求a，b，c的值；(2)试判断函数f(x)在区间0，12上的单调性并证明．考点单调性与奇偶性的综合应用10题点判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f

(x)，∴－ax－bx＋c＝－ax－bx－c，∴c＝0，∴f(x)＝ax＋bx.又∵f(1)＝52，f(2)＝174，∴a＋b＝52，2a＋b2＝174.∴a＝2，b＝12.综上，a＝2，b＝12，c＝0.(2)由(1)可知f(x)＝2x＋12x.

函数f(x)在区间0，12上为减函数．证明如下：任取0<x1<x2<12，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋12x1－2x2－12x2＝(x1－x2)2－12x1x2＝(x1－x2)4x1x2－12x1x2.∵0<x1<x2<12，∴x1－x2<0,2x1x

2>0,4x1x2－1<0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在0，12上为减函数．11．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx<0的解集为()A．(－1,

0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)11C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)答案C解析∵f(x)为奇函数，fx－f－xx<0，即fxx<0，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.∵奇函数图象关于原点对称，

∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使fxx<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．12．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数x，y都成立，则函数f(x)是()A．奇函数B．偶函

数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数答案A解析令x＝y＝0，所以f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.又因为f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以

f(x)是奇函数，故选A.13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数值答案－1解析∵y＝f(x)＋

x2是奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.

14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，12则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围

是________．答案1(0,2)解析由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以

f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范围为(0,2)．15．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于()A．－3B．－1C．1D．3考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析

式答案C解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x

2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有fa＋fba＋b>0.(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1

＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．解(1)因为a>b，所以a－b>0，由题意得fa＋f－ba－b>0，所以f(a)＋f(－b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．(

2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值

范围为(－∞，4]．