【文档说明】山东省青岛市黄岛区2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(22)页，2.762 MB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年度第一学期期中学业水平检测高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线2021x=的倾斜角为（）A.90B.0C.180D.45【答案】A【解析】【分析】由直线与x轴垂直可得倾斜角

．【详解】直线2021x=与x轴垂直，∴倾斜角为90．故选：A．2.已知向量(1,2,),(,1,2)atbt==，且ab⊥，则实数t=（）A.1B.1−C.23−D.23【答案】C【解析】【分析】由0ab=计算可得．【

详解】∵ab⊥，∴220abtt=++=，解得23t=−．故选：C．3.若直线1:10laxy++=与直线2:210lxaya++−=平行，则实数a=（）A.1B.1−C.0D.【答案】B【解析】【分析】根据两直

线平行可得到各项系数所满足的关系式，进而求得结果.【详解】由两直线平行知：21021aaa−=−，解得：1a=−.故选：B.【点睛】结论点睛：若直线1110AxByC++=与2220AxByC++=平行，则12210ABAB−=，12210BC

BC−或12210ACAC−.4.已知三棱柱111ABCABC−，点P为线段11BC的中点，则AP=（）A.11122ABACAA++B.11122ABACAA++C.11122ABACAA+−D.11122ABACAA++【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算

求解即可【详解】解：在三棱柱111ABCABC−，点P为线段11BC的中点，则111111111,,2ABABBCBCBPPCBC====，所以111111112APAAAPAAABBC=+=++11()2AAABBAAC=+++11

122ABACAA=++，故选：D5.已知二面角l−−的大小为60，,AB为棱l上不同两点，,CD分别在半平面,内，,ACBD均垂直于棱l，22ACBDAB===，则异面直线CD与AB所成角的余弦值为（）A.15B.55C.13D.12【答案】B【解析】【分析】在平面内

作//AEBD，且AEBD=，得//DEAB，CDE（或其补角）是异面直线CD与AB所成角．在CED中求解即可得．【详解】如图，在平面内作//AEBD，且AEBD=，连接ED，则AEDB是平行四边形，所以1DEAB==，//DEAB，CDE（或其补角）是异面直线CD与AB所成角

．因为ABBD⊥，所以ABAE⊥，又ABAC⊥，所以EAC是二面角l−−的平面角，即60EAC=，2ACAE==，所以2EC=，又ACAEA=，所以AB⊥平面AEC，EC平面AEC，所以ABEC⊥，由//DEAB得DEEC⊥，所以2222215CDECED=+=+=．15cos55D

ECDECD===．故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．作平行线构造三角形，得出异面直线所成的角（并证明）．然后计算．6.若过原点的直线l与圆22430xxy−++

=有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为（）A.,33−B.,66−C.50,,66D.20,,33【答案】C【解析】【分析】先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线l的斜率存

在，设直线l的方程为ykx=，根据直线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围.【详解】由22430xxy−++=得()2221xy−+=，所以圆()2221xy−+=的圆心为()2,0，半径为1r=，因此为使过原点的直线l与圆22430xxy−++=有两

个交点，直线l的斜率必然存在，不妨设直线l的方程为：ykx=，即0kxy-=则有2201krk-<+，即2211kk<+，整理得213k，解得3333k−，记l的倾斜角为，则33tan33-<<，又)0,，所以50,,66

.故选：C.7.已知椭圆22:14xCy+=上两点,AB，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率等于（）A.1−B.1C.12−D.14−【答案】D【解析】【分析】设1122(,),(,)AxyBxy，00(,)Dxy，把,AB两点坐标

代入椭圆方程相减后可得ABk与ODk的关系，从而得出结论．【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，00(,)Dxy，1201202,2xxxyyy+=+=，则221122221414xyxy+=

+=，两式相减得2222121204xxyy−+−=，整理得01212121201144xyyxxxxyyy−+=−=−−+，即11144ABODkk=−=−．故选：D．【点睛】方法点睛：在遇到椭圆的弦中点时，常常用点差法求解．即设弦两端点为1122(,),(,)

AxyBxy，弦中点00(,)Dxy，两端点坐标代入椭圆方程相减珀可得ABk与ODk的关系．双曲线的弦中点也可这样求解．8.已知圆222:()0Oxyrr+=与直线122xy+=交于,AB两点，且23AB=，则圆O与函数()ln(1)

fxx=−的图象交点个数为（）个A.2B.1C.0D.3【答案】A【解析】【分析】由弦长求得半径r，确定圆过点(2,0)，而函数()fx是增函数，也过点(2,0)，从而可得结论．【详解】圆心O到直线AB的距离为2221

11d==+，又23AB=，所以221(3)2r=+=，所以圆O过点(2,0)，而函数()ln(1)fxx=−在(1,)+上是增函数，且过点(2,0)，因此它们有2个交点．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知直线:10lxmym−+−=，则下述正确的是（）A.直线l的斜率可以等于0B.直线l的斜率有可能不存在C.直线l可能过点(2

,1)D.若直线l的横纵截距相等，则1m=【答案】BD【解析】【分析】根据直线方程判断斜率AB，代入点的坐标可判断直线是否过一点判断C，求出横纵截距可判断D．【详解】0m=时，斜率不存在，0m时，斜率不等于0

，A错；B正确；2110mm−+−=，(2,1)不在直线上，C错；0m=时，纵截距不存在，0m时，令0x=得1mym−=，令0y=，1xm=−，由11mmm−=−得1m=，D正确．故选：BD．10.已知椭圆C：221625400xy+=，关于椭圆C下述正确的是（）A.椭

圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为(0,3)−和(0,3)C.椭圆C的离心率等于35D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于,PQ，则32||5PQ=【答案】ACD【解析】【分析】椭圆方程化为标准方程，求出,,abc

，然后判断各选项．【详解】由已知椭圆标准方程为2212516xy+=，则5,4ab==，∴3c=．长轴长为210a=，A正确；两焦点为(3,0),(3,0)−，B错误；离心率为35cea==，C正确；3x=代入椭圆方程得2216325400y+=，解得165y=，∴325PQ=，D正确．

故选：ACD．11.已知点()11,0F−，()21,0F，动点P到直线2x=的距离为d，222PFd=，则（）A.点P的轨迹是椭圆B.点P的轨迹曲线的离心率等于12C.点P的轨迹方程为2212xy+=D.12PFF△的周长为定值42【答案】AC【解

析】【分析】设(),Pxy，根据222PFd=整理可得轨迹方程，利用轨迹方程依次判断各个选项即可得到结果.【详解】设(),Pxy，则()2221PFxy=−+，2dx=−，222PFd=，()()2221122xyx−+=−，

整理可得：2212xy+=，即P点轨迹方程为2212xy+=，C正确；由方程知P点轨迹为椭圆，A正确；由方程得：2a=，1c=，离心率22cea==，B错误；由椭圆定义知：12PFF△周长为22222ac+=+，D错误.故选：AC.12.已知四面体ABCD的所有棱长均为2

，则下列结论正确的是（）A.异面直线AC与BD所成角为60B.点A到平面BCD的距离为263C.四面体ABCD的外接球体积为6D.动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60，则点P的轨迹是椭圆【答案】BC【解析】【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得A

C⊥BD，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P的轨迹为双曲线方程即可得D错误.【详解】取BD中点E,连接,AECE,可得BD⊥面ACE,则AC⊥BD,故A错误；在四面体ABCD中，过点A作AF⊥面BCD于点F,则F为为底面正三角形BCD的重心，因为所有棱长均为2,22263AFABBF=−=,

即点A到平面BCD的距离为263,故B正确；设O为正四面体的中心则OF为内切球的半径，OA我外接球的半径，因为11433ABCDBCDBCDVSAFSOF−==△△，所以4AFOF=，即62=66OFAO=，,所以四面体ABCD的

外接球体积3344633VROA===,故C正确；建系如图：26230,0,,0,,033AC,设(,,0)Pxy，则262326,,0,,333APxyAC→→=−=−，因为cos60APACAPAC→→→→=，所以2

22324812241393972yxy+=+++，即222388=333yxy+++，平方化简可得：22323400399yxy−−−−，可知点P的轨迹为双曲线,故D错误.故选：BC．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题

可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.圆221:40Cxyx++=与圆222:(2)(1)9Cxy−+−=的位置关系为___________.【答案】相交【解析】【分析】根据两

圆的方程，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由圆221:(2)4Cxy++=和圆222:(2)(1)9Cxy−+−=，可得两圆的圆心分别为12(2,0),(2,1)C

O−，半径分别为122,3rr==，所以()()2212121=220117CCrr−−+−=+，所以两圆相交.故答案为：相交.14.已知椭圆2219xym+=的离心率等于13，则实数m=__________.【答案】8或818【解析】【分析】

讨论椭圆焦点的位置，分两种情况求椭圆的离心率，再求实数m的值.【详解】当椭圆的焦点在x轴时，2am=，29b=，29cm=−，所以919mm−=，解得：818m=，当椭圆的焦点在y轴时，29a=，2bm=，29c

m=−，所以9199m−=，解得：8m=.故答案为：8或81815.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点P为线段1AC上一点，1PA=，则点P到平面ABCD的距离为______________.【

答案】33【解析】【分析】作1//PECC交AC于E，可得PE⊥平面ABCD，由平行线的性质求得PE即可．【详解】作1//PECC交AC于E，因为1CC⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，13AC=，由1//

PECC得11PEAPCCAC=，所以1111333APCCPEAC===．故答案为：33．16.在平面直角坐标系中，()1,2A，()2,1D，点,BC分别在x轴、y轴上，则（1）ABBD+的最小值是_________；（2）ACCBBD++的最

小值是_________.【答案】(1).10(2).32【解析】【分析】（1）求得A关于x轴的对称点A后，由ABBDAD+可求得结果；（2）求得A关于y轴的对称点A和D关于x轴的对称点D¢后，由ACCBBD++AD可求得结

果.【详解】（1）点A关于x轴的对称点A的坐标为()1,2−，则ABBDABBDAD+=+（当且仅当,,ABD三点共线时取等号），()()()22min122110ABBDAD+==−+−−=；（2）点A关于y轴的对称点A的坐标为()1,2−；点D关于x轴

的对称点D¢的坐标为()2,1−，则ACCBBDACCBBDAD++=++（当且仅当,,,ACBD四点共线时取等号），()()()22min122132ACCBBDAD++==−−++=.故答案为：10；32.【点睛】思路点睛：本题考查两定点到动点的

距离之和的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是求得某点关于动点所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，确定三点共线时取最值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知O为坐标原点，直线:10+−−

=laxya（Ra），圆22:1Oxy+=.（1）若l的倾斜角为120，求a；（2）若l与直线0:20lxy−=的倾斜角互补，求直线l上的点到圆O上的点的最小距离；（3）求点O到l的最大距离及此时a的值.【答案】（1）3；（2）3515−；（3

）2；1.【解析】【分析】（1）由题意可知tan1203a=−=−，从而可求出a的值；（2）由题意可知两直线的斜率互为相反数，可得2a=，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，可得直线与圆相离，从而可得直线l上的点到圆O上的点的最小距离为1d−，（3）直线l

恒过定点(1,1)W，所以O到l的距离小于等于||2OW=，当OWl⊥时，距离最大，从而可得结果【详解】（1）由题知：直线l的斜率等于tan1203a=−=−，解得3a=（2）因为l与直线0:20lxy−=的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数，所以2a−=

−，即2a=，所以:230lxy+−=，则圆心O到直线l的距离3515d=，所以直线l上的点到圆O上的点的最小距离为3515−，（3）直线l恒过定点(1,1)W，所以O到l的距离小于等于||2OW=，所以当OWl⊥时，

点O到l的最大距离为||2OW=，所以1OWlkk=−，解得1a=18.在平面直角坐标系中，圆C过点()1,0E和点()0,1F，圆心C到直线0xy+=的距离等于2.（1）求圆C的标准方程；（2）若圆心C在第一象限，M为圆C外一点，过点M作圆C的两条

切线，切点分别为A、B，四边形MACB的面积为3，求点M的轨迹方程.【答案】（1）()()22111xy−+−=或()()22115xy+++=；（2）()()22114xy−+−=.【解析】【分析】（1）由题意可知，圆心C在线段EF

的垂直平分线yx=，可设圆心(),Caa，由圆心C到直线0xy+=的距离等于2可求得实数a的值，进而可求得圆C的标准方程；（2）推导出RtCAMRtCBM△△，可得出四边形MACB的面积23CAMSSCAAM===，进一步可求出2CM=，可

得出点M的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆，进而可求得点M的轨迹方程.【详解】（1）直线EF的斜率为01110EFk−==−−，线段EF的中点为11,22P，所以，线段EF的垂直平分线的方程为1122yx−=

−，即yx=，因为圆C过点()1,0E和点()0,1F，所以圆心C在线段EF的垂直平分线yx=上，所以可设圆心为(),Caa，因为圆心C到直线0xy+=的距离等于2，所以222a=，解得1a=，当1a=

时，圆心为()1,1，半径1rEC==，圆C的方程为：()()22111xy−+−=；当1a=−时，圆心为()1,1−−，半径5rEC==，圆C的方程为：()()22115xy+++=.所以圆C的标准方程为()()22111xy−+−=或()()22115xy+++=；（2）由题知CAMA

⊥，CBMB⊥，CACB=，CMCM=，90CAMCBM==，所以，RtCAMRtCBM△△，所以四边形MACB的面积23CAMSSCAAM===，因为1CA=，所以3AM=，所以2224CMCAAM=+=，所以2CM=，点M的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆，所以点M的轨

迹方程为：()()22114xy−+−=.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）

相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00,xy所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为

动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.19.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点.（1）如果4PD=，求证：PC⊥平面MA

D；（2）当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥DMBC−的体积V.【答案】（1）证明见解析；（2）163.【解析】【分析】（1）结合PCD为等腰三角形可证PCDM⊥，再由线面垂直判定定理可证AD⊥平面PCD

，得到ADPC⊥，进而得证；（2）设PDt=，以D为坐标原点，分别以,,DADCDP所在方向为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系，结合向量表示出线面角的正弦值，结合基本不等式求得t值，再由体积公式计算即可【详解】证明：（1）在PDC△中，PDDC=，M为PC中点，所以PCDM

⊥，因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD⊥，又因为ADCD⊥，PDCDD=，所以AD⊥平面PCD，因为PC平面PCD，所以ADPC⊥，因为ADDMD=，所以PC⊥平面MAD；（2）设PDt=，以D为坐标原点，分别以,,DADCDP所在方向为,,xyz轴正方向，建立

Oxyz−空间直角坐标系，则()()0,0,0,4,4,0,0,2,2tDBM,()0,0,Pt，设平面MBD的法向量为(),,nxyz=，所以()0,2,,4,4,02DtDBM==，()4,4,BPt=−−所以00nDMnDB==，得202440t

yzxy+=+=，令1y=，可得41,1,nt=−−，所以BP与平面MBD的法向量n所成角的正弦值为2222441cos,316256161611802()BPntttt−==

++++++（当且仅当22256tt=，即4t=时等号成立），所以三棱锥DMBC−的体积11111644424433DMBCMDBCPDBCPABCDVVVV−−−−=====【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的证明，由线面角的关系求解具体线段长度，锥体体积公式的应用，具

体用到以下方法：（1）线面垂直的证明：常通过证线线垂直证线面垂直，线线垂直常通过几何性质（等腰、等边三角形、矩形、正方形）或勾股定理证明，也可通过线面垂直的性质证线线垂直；（2）已知二面角大小求解具体线段长度或确定动点位置问题常通过建系法求解，合理建系和正确求解点坐标与法向量是解题关

键20.在平面直角坐标系中，()10,2C−，圆()222:212Cxy+−=，动圆P过1C且与圆2C相切.（1）求动点P的轨迹C的标准方程；（2）若直线l过点()0,1，且与曲线C交于A、B，已知AB的中点在直线14x=−上，求直线l的方程.【答案】（1）2213yx+=

；（2）1yx=+或31yx=+.【解析】【分析】（1）由题意可知，圆P内切于圆2C，根据椭圆的定义可知，P点的轨迹是以1C、2C为焦点的椭圆，计算出a、b的值，结合焦点的位置可求得轨迹C的标准方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设

直线l的方程为1ykx=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线l的方程与曲线C的方程联立，列出韦达定理，根据12124xx+=−可得出关于k的方程，求出k的值，即可求得直线l的方程.【详解】（1）设动圆P的半径为r，由于1C在圆2C内，所以，圆P内切于圆2

C，由题意知：1PCr=，223PCr=−所以12122322PCPCCC+==，所以P点的轨迹是以1C、2C为焦点的椭圆.其长轴长223a=，焦距为222c=，221bac=−=，所以曲线C的标准方程为：2213

yx+=；（2）若直线l的斜率不存在，则A、B关于x轴对称，不合题意；若直线l的斜率存在，设其方程为1ykx=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，将1ykx=+代入2213yx+=得：()223220kxkx++−=，()(

)2224831220kkk=++=+，所以12223kxxk+=−+，所以1221=234xxkk+=−−+所以2430kk−+=，解得1k=或3k=，所以，直线l的方程为：1yx=+或31yx=+.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的

基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+

、12xx的形式；（5）代入韦达定理求解.21.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，BCF△为等边三角形，60ABC=，2,//ABEFCD=，平面BCF⊥平面ABCD.（1）证明：在线段BC上存在点O，使得平面ABCD⊥平面AOF；（2

）求二面角BAFC−−的余弦值；（3）若//ED平面AOF，求线段EF的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）15；（3）4【解析】【分析】（1）取线段BC的中点O，先证明BC⊥平面AOF，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面

ABCD⊥平面AOF；（2分别求出平面ABF和平面ACF的法向量，利用向量法即可求得二面角BAFC−−的余弦值；（3）由////EFCDAB，可得FEtBA=，进而写出(3,,3)Ett−，求出(33,2,3)DEtt=−−，再根据//ED平面AOF，即DE与平面AOF的法向量OB的数

量积为0，解出t，即可求得线段EF的长度.【详解】解：（1）如图所示：取线段BC的中点O，连接,OAOF，BCF、ABC均为等边三角形，,,BCOABCOFOAOFO⊥⊥=，BC⊥平面AOF，又BC平面ABCD，平面ABCD⊥平面AOF在线段BC存在中点O，使得平面ABCD⊥平面AOF

；（2）平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF平面ABCDBC=，FOBC⊥FO⊥平面ABCD，即,,OAOBOF两两垂直，以OAOBOF、、为xy、、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则(3,0,0,),(0,1,0),

(0,0,3),(0,1,0),(3,2,0)ABFCD−−，设平面ABF的一个法向量()111,,mxyz=，(3,1,0)AB=−，(3,0,3)AF=−，00mABmAF==，得：111130330xy

xz−+=−+=，令11x=，则()1,3,1m=，设平面ACF的一个法向量()222,,nxyz=，因为(3,1,0)CA=，(0,1,3)CF=由.0.0mCAmCF==，得：22223030xyy

z+=+=，令21x=，则1,3,1)n=−（，设二面角BAFC−−的平面角为，()()2213311cos5131131mnmn−+===−+++−+，又二面角BAFC−−为锐二面角，二面角

BAFC−−的余弦值为15；(3)////EFCDAB，设(3,0)zFEtBAtt==−，(0,0,3)F，(3,,3)Ett−，则(33,2,3)DEtt=−−，又//ED平面AOF，且平面AOF的一个法向量为(0,1,0)OB=，(33,2,3)(0

,1,0)20DEOBttt=−−=−=，2t=，||2||4FEBA==.【点睛】方法点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向

量的坐标，注意坐标不能出错，（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量，（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.22.已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,

FF，12||2FF=，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过12,FF的圆与直线2x=−相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于,MN两点.（ⅰ）若直线l的斜率等于1，求OMN面积的最大值；（ⅱ）若1OMON=−uuuuruuur，点D在l上，ODl⊥.证明：存在定点W，使得|

|DW为定值.【答案】（1）2212xy+=；（2）（ⅰ）22；（ⅱ）36.【解析】【分析】（1）求出,,abc后可得椭圆的标准方程.（2）（ⅰ）设直线l的方程为：ykxt=+，()()1122,,,MxyNxy，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表

达式，利用基本不等式可求面积的最大值.（ⅱ）利用韦达定理化简1OMON=−uuuuruuur可得33t=，从而可得D的轨迹为圆，故可证存在定点W，使得||DW为定值.【详解】（1）由题意知：1(1,0)F−，2

(1,0)F，又()0,Pb，则以P为圆心且过12,FF的圆的半径为2a=，故2,1,1abc===，所以椭圆C的标准方程为：2212xy+=.（2）（ⅰ）设直线l的方程为：yxt=+，()()1122,,,Mx

yNxy将yxt=+代入2212xy+=得：2234220xtxt++−=，所以21212422,33ttxxxx−+=−=且()2221612222480ttt=−−=−，故33t−.又2212121243||2||2()43tA

Bxxxxxx−=−=+−=，点O到直线l的距离2||||211ttd==+，所以222221||432232(3)()2333222AOBttttStt−+−==−=，等号当仅当223tt=−时取，即当62t=时，OMN的面积取最大值为22

.（ⅱ）显然直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：ykxt=+，()()1122,,,MxyNxy，由（ⅰ）知：2121222422,,1212kttxxxxkk−+=−=++所以222212121

21222()()()12tkyykxtkxtkxxktxxtk−=++=+++=+，所以2212122322112tkOMONxxyyk−−=+==−+，解得213t=，33t=，直线过定点30,3Z或3(0,)3−，所以D在以OZ为

直径的圆上，该圆的圆心为30,6W或30,6−，半径等于36，所以存在定点30,6W或30,6−，使得||DW为定值36.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方

程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,xxxx+或1212,yyyy+，最后利用韦达定理

把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.