【文档说明】安徽省A10联盟2022-2023学年高二下学期4月期中考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，948.950 KB，由小赞的店铺上传

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A10联盟2021级高二下学期4月期中考数学（人教A版）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.一､选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在正项等比数列na中，35575,20aaaa+=+=，则na的公比等于（）A.12B.2C.4D.2【答案】B【解析】【分析】设数列na的公比为q，利用25735aaqaa+=+计算可得答案.【详解

】设数列na的公比为q，则257354aaqaa+==+，解得2q=（负值舍去）.故选：B.2设0(4)(4)lim10xfxfxx→+−−=−，则()4f=（）A.5−B.20−C.5D.20【答案】A【解析

】【分析】根据导数的计算方法求解即可.【详解】()Δ0Δ0(4Δ)(4Δ)(4Δ)(4Δ)lim2lim2410Δ2Δxxfxfxfxfxfxx→→+−−+−−===−，即()45f=−.故选：A..3.已知函数()fx导函数为()fx，则“()yfx=在()

0,2上有两个零点”是“()fx在()0,2上有两个极值点”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断.【详解】只有

当()fx在()0,2上有两个变号零点时，()fx在()0,2上才有两个极值点，故充分性不成立；若()fx在()0,2上有两个极值点，则()fx在()0,2上有两个变号零点，则()fx在()0,2上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“()fx在()0,2上有两个零点”是“()f

x在()0,2上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，故选：D.4.传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3,6,10,叫做三角形数；把1,4,9,16,叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.36B.49C.64D.81【答案

】A【解析】【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.【详解】三角形数：1,3,6,10,，可得其通项公式为()12nnna+=；正方形数：1,4,9,16,，可得其通项公式为2nbn=，49,64,81===nnn

aaa均无正整数解，且78949,64,81===bbb，所以49，64，81是正方形数不是三角形数，又8636,36==ab，36既是三角形数，又是正方形数.故选：A.5.某厂安排5名工人到三个岗位值班，每名工人只去一个岗位，每个岗位至少安排1名工人，则安排工人甲､乙到同一个岗位值班的

方法数为（）的.A.24B.36C.60D.90【答案】B【解析】【分析】先将5人分为3个小组，再将3个小组安排到三个岗位即可.【详解】依题意，可分两步安排：第一步，将5人分为3个小组，按小组人数可分为2人、2

人、1人和3人、1人、1人两类，2人、2人、1人分组，甲、乙同组，另外3人中，选出2人同组，有23C种方法，3人、1人、1人分组，除甲、乙的另外3人中，选出1人与甲、乙同组，剩余2人各自一组，有13C种方法，∴第一步共有2133CC+种方法；第二步，将3组分别安排

到三个岗位，有33A种方法，∴满足题意的安排方法数有()()213333CCA33636+=+=种.故选：B.6.已知数列na的前n项和为()π,21sin2nnnSan=−，则2024S=（）A.-1012B.1012

C.-2024D.2024【答案】C【解析】【分析】写出前4项找出na的规律，再分组求和即可.【详解】()π21sin2nnan=−，则1234π3πsin1,3sinπ0,5sin5,7sin2π022aaaa======−==，56749,0,13,0a

aaa===−=，123456784,4aaaaaaaa+++=−+++=−，依次类推，2021202220232024,4aaaa+++=−，()()202412342024123450650642024Sa

aaaaaaaa=+++++=+++=−=−.故选：C.7.已知122332020202020201C2C2C2C2a=+++++，则a被10除所得的余数为（）A.9B.3C.1D.0【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理可得()

10109101a==−，再利用二项展开式求解即可.【详解】122332020202010202020201C2C2C2C2(12)39a=+++++=+==，10(101)a=−()010192829910101010C10C101C10

(1)C10(1)1=+−+−++−+，又()01019282101010C10,C101,C10(1),−−，9910C10(1)−都是10的倍数，a被10除所得的余数为1.故选：C8.在等比数列na中，291,9aa==，函数()()()()1210fxxxa

xaxa=−−−，则()0f=（）A.0B.1C.103−D.103【答案】D【解析】【分析】令()()()()1210gxxaxaxa=−−−，则根据()()fxxgx=求导可得()12100faaa=，再根据等比数列的性质求解即可.【详解】令()()()()121

0gxxaxaxa=−−−，则()()()()(),fxxgxfxgxxgx==+，()()121000fgaaa==，数列na是等比数列，且291,9aa==，()()101102938475612109,003aaaaaaaaaafgaaa==

======.故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若曲线()323fxxx=+−的一条切线垂直于直线710xy+

−=，则切点的坐标可以是（）A.()0,3−B.()1,0C.()1,6−−D.()2,15【答案】BC【解析】【分析】根据曲线的一条切线垂直于直线，求出切点处切线的斜率，推出对应的切点的横坐标，即可确定切点的坐标.【详解】由题意，在直线710xy

+−=中，1177yx=−+设切点为()00,Pxy，()323fxxx=+−中，()261fxx=+，一条切线垂直于直线710xy+−=∴()200617fxx=+=，解得01x=，当01x=时，()002130yfx==+

−=，此时点P的坐标为()1,0；当01x=−时，()002136yfx==−−−=−，此时点P的坐标为()1,6−−.故选：BC.10.下列各式正确的是（）A.3172020CC=B.123202020202020CCCC2++++=C.()1!A1!mnnnm

−=−−D.()111AAmmnnn+++=【答案】AD【解析】【分析】对于A，由CCmnmnn−=可判断；对于B，根据二项式系数和公式可判断；对于CD，根据排列数的计算公式可验证.【详解】对于A，由CCmnmn

n−=得3172020CC=，A正确；对于B，123202020202020CCCC21++++=−，B错误；对于C，()()1!!A1!1!mnnnnmnm−==−+−−，C错误；对于D，()()()()()()111!!1A1A!11!mmnnnnnnnmnm++++=+

==−+−+，D正确.故选：AD在11.已知正项数列na前n项和为nS，且满足()241nnSa=+（）A.数列na是等差数列B.11a=C.数列nnSa+不是等差数列D.20400S=【答案】ABD【解析】【分析】根据

给定的递推公式，结合12,nnnnaSS−=−求出数列na的通项公式，再逐项判断作答.【详解】数列na中，N,0nna，()241nnSa=+，当2n时，()21141nnSa−−=+，则2211421(21)nnnnnaaa

aa−−=++−++，即111()()2()nnnnnnaaaaaa−−−+−=+，因此12nnaa−−=，而()21141aa=+，解得11a=，即数列na是首项为1，公差为2的等差数列，A，B都正确；1

2(1)21naann=+−=−，21()2nnnaaSn+==，31nnSan+=−，于是11)()3(1)1(31)3(nnnnnnSaSa++−=+−−+−=+，数列nnSa+是等差数列，C错误；22020400S==，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：给出nS与na的

递推关系，求na，常用思路是：一是利用11nnnSSa++−=转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为nS的递推关系，先求出nS与n之间的关系，再求na.12.已知函数()32,0e23,0x

xfxxmxx=−−，若函数()()1gxfx=−恰有3个零点，则实数m的值可以为（）A.5B.6C.7D.8【答案】CD【解析】【分析】将问题转化为方程()1fx=恰有3个实数根，再讨论0x时可得

有1个根，进而当0x时，方程()1fx=有2个实数根，再构造函数()242(0)xxxx=−，求导分析单调性与最值即可.【详解】令()()10gxfx=−=，解得()1fx=，故问题转化为方程()1fx=恰有3个实数根.当0x时，令21ex=，解得ln2x=，故当0x时，

方程()1fx=有2个实数根.令3231xmx−−=，即324xmx−=，显然0x=不是该方程的根，242mxx=−.令()242(0)xxxx=−，则()()()()322224141144xxxxxxxxx++−+=+==

，故当1x−时，()0x，当1x−时，()0x，故当=1x−时，()x有极小值6，而x→−时，()x→+，当0x，且0x→时，()x→+，故实数m的取值范围为()6,+.故选：CD第II卷（非选择题共90分）三､填空题（本题

共4小题，每小题5分，共20分.）13.在6(31)x−的展开式中，含2x的项的系数为__________.【答案】135【解析】【分析】利用通项公式计算可得答案.【详解】在6(31)x−展开式中，第1k+项为666166C(3)(1)C3(1)kkkkkkkkTxx−−−

+=−=−，06,Nkk，令4k=，得含有2x的项的系数为4246C3(1)135−=故答案为：135.14.某乡村道路上有12盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中两两不相邻的4盏，但考虑行人夜间出行安

全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数为__________.（用数字作答）【答案】35【解析】【分析】利用插空法求解即可.【详解】由题意得，让4盏需要关闭的灯插空到8盏亮灯的7个空中，有47C35=种关灯方案.故答案为：3515.已知等差数列na的前n

项和为nS，若10a，公差0d，当且仅当8n=时，nS取得最大值，则12Sd的取值范围是__________.【答案】()30,18−−【解析】【分析】根据题意可得8900aa，进而可得187ad−−，再根据nS公式可得12Sd的取值范围.【详解】由题意得，8900aa

，即117080adad++，解得187ad−−.又121121121266,66SaSaddd=+=+，12Sd的取值范围是()30,18−−.故答案为：()30,18−−16.如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且

该圆锥的轴截面是面积为293cm的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的体积最大时，其高度为__________cm．【答案】3【解析】【分析】首先根据题意作出平面图，由圆锥的轴截面的面积求出圆锥底面半径，

易知冰块体积最大时上底与杯口齐平，设圆柱形冰块的底面圆半径为cmx，其中03x，表示出高h，得出圆柱体积V关于x的表达式，由导数确定体积最大时半径x的值，即可得出此时圆柱的高．【详解】由题意作出圆锥轴截面的平面图，如图所示

，过等边三角形ABC顶点C作CDAB⊥，则ADBD=，30ACDBCD==，设圆锥底面圆的半径为cmR，则ADR=，2ACR=，所以222243CDACADRRR=−=−=，因为圆锥的轴截面是面积为293cm，所以2112339322ABCDRRR=

==，解得3R=,易知冰块体积最大时上底与杯口齐平，设圆柱形冰块的底面圆半径为cmx，其中03x，高为cmh，则(3)APxcm=−，在RtAPN中，tan33NPhNAPAPx===−，则()33(03)hxx=

−，设圆柱形冰块的体积为3cmV，则()23π3(03)Vxxx=−.设()()23π3(03)fxxxx=−，则()()33π2fxxx=−，当02x时，()0fx¢>；当23x时，()0fx，()f

x\在2x=处取得极大值，也是最大值，即()max()243πfxf==，所以()3323h=−=，故当放置的圆柱形冰块的体积最大时，其高度为3cm，故答案为：3．四､解答题（本题共6小题，第17题10分，第1822题每题12分，

共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.若()10210012101mxaaxaxax+=++++，其中5252a=−.（1）求实数m的值；（2）求()()22135790246810aaa

aaaaaaaa++++−+++++.【答案】（1）1−（2）0【解析】【分析】（1）写出()101mx+展开式的通项，得到5a的表达式即可求出实数m的值；（2）将1x=代入展开式，求出0a到10a项的和，即可求出()()22135790

246810aaaaaaaaaaa++++−+++++.【小问1详解】由题意，在()10210012101mxaaxaxax+=++++中，5252a=−，∵()101mx+展开式的通项为11010C()CkkkkkkTmxmx+==，∴55510C252am==−，解得：1m=−.

【小问2详解】由题意及（1）得，在()10210012101mxaaxaxax+=++++中，令1x=，得0123100+++++=aaaaa，()()()()2213579024681001210012100aaaaaaaaaaaaaaaaaaa++++−+++++=++++−+−+−=

18.已知数列na满足：25216,0,2nnnaaaaa++=−=+=.（1）求na的通项公式；（2）若数列123,,,,,nkkkaaa是等比数列，且18k=，求nk关于n的表达式.【答案】（1）210nan=−（2）1325nnk−=+【解析】【分析】（1）根据等差数列的

定义判断得数列na是等差数列，计算公差d，再写出通项公式即可；（2）根据（1）写出数列nka的通项公式，再根据等比数列计算公比，写出等比数列nka的通项公式，两式相等即可得nk关于n的表达式.【小问1详解

】212112,++++++=−=−nnnnnnnaaaaaaa所以数列na是等差数列，设其公差为d，则5223aad−==，()22210naandn=+−=−.所以数列na的通项公式为210nan=−.【小问2详解】由（1）知210,210nnknanak=−

=−.因为数列123,,,,,nkkkaaa是等比数列，且18k=，数列123,,,,,nkkkaaa的公比81610233aq−===，由等比数列的通项公式可得32=nnka21032−=nnk，1325−=+nnk19.（1）用五种

不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？（2）记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？【答案】（1）18

0；（2）207【解析】【分析】（1）分选择四种和三种颜色两种情况讨论求解再求和即可；（2）正方体中一共有3组，每组4条分别平行的直线，满足条件的“平行棱”可能有2，3，6对，再分别求解求和即可.【详解】（1）若选择四种颜色，则有45A120

=种不同的涂色方法；若选择三种颜色，则有3353CA60=种不同的涂色方法，故一共有12060180+=种不同的涂色方法.（2）正方体中一共有3组，每组4条分别平行的直线，则：若4条棱中恰有2对“平行棱”，则2对分别来自不同2组，每组2条，不同的取法

有222344CCC108=种；若4条棱中恰有3对“平行棱”，则3对分别来自不同2组，一组1条，一组3条，则不同的取法有131348CCC96=种；若4条棱中恰有6对“平行棱”，则6对均来自同一组，一组

4条，则不同的取法有1434CC3=种.故从所有棱中任取4条，且至少得到2对“平行棱”一共有108963207++=种不同的取法.20.若函数()()2sin(0)fxx=+，且()()fxfx

+为偶函数.（1）求的值；（2）设函数()()(),0,2πgxfxxx=+，求()gx的单调区间.【答案】（1）π4（2）单调递增区间是5π13π0,,,2π1212，单调递减区间是5π13π,1212【解析】【分析】（1）求出()()fxfx

+，利用其为偶函数可得答案；（2）求出()gx，分别令()0gx、()0gx可得答案.【小问1详解】()()()()2sin2cosfxfxxx+=+++π22sin4x=++

，()()fxfx+为偶函数，则ππππ,,π,424kkkk+=+=+ZZ，又π0π,4=；【小问2详解】由（1）知()π2sin4fxx=+，则()()π2sin,0,2π4gxxxx=++，则()()π2cos1,0,2π4

gxxx=++，令()0gx，得5π012x，或13π2π12x；令()0gx，得5π13π1212x，故()gx的单调递增区间是5π13π0,,,2π1212；单调递减区间是5π13π,1212.21.已

知数列na的前n项和为nS，满足()1222nnSan+=+−且14a=.（1）求证：1na−是等比数列；（2）设11nnnnabaa+−=，数列nb的前n项和为nT，求证：18nT.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用

,nnaS关系求得()()11312nnaan+−=−，注意验证1n=的情况，由等比数列定义证结论；（2）由（1）得31nna=+，再应用裂项相消法求nT，即可证结论.【小问1详解】由()1222nnSan+=+−得：()()12232nnSann−=+−

，两式相减得()1122nnnnSSaa−+−=−+，则122nnnaaa+=−+，所以()()11312nnaan+−=−，又14a=，则()122212aa=+−，解得210a=，满足()21131aa−=−，综上，()()*1131Nnnaan+−=

−，又113a−=，所以1na−是以3为首项，3为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知：11333nnna−−==，则31nna=+，()()11113111231313131nnnnnnnnnabaa+++−===−++++2231111111123131

31313131nnnT+=−+−++−++++++11112431n+=−+，由11031n++，故111248nT=.22.已知函数()24lnfxxxmx=−+.（1）若()

fx为增函数，求实数m的取值范围；（2）若3m=，求证：()3129xfx−.【答案】（1）)2,+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得()0fx恒成立，再参变分离可得224mxx−−，再求解224yxx=−的最小值即可；（2）设

()()3321143ln(0)99gxxfxxxxxx=−=−+−，再求导分析函数的单调性，进而可得最小值即可证明.【小问1详解】由题意得，函数()fx的定义域为()0,+，则()22424mxxmfxxxx−+=+−=，由()fx为增函数得()0fx，224mxx−−

在()0,+上恒成立.设()()22242(1)2(0),xxxxxx=−=−−在1x=处取得最小值()12,=−2m−−，即2,m实数m的取值范围为)2,+.小问2详解】【当3m=时，()243lnfxxxx=−+.设()()3321143l

n(0)99gxxfxxxxxx=−=−+−，则()3221243133243xxxgxxxxx−+−=−+−=设()3212433hxxxx=−+−，则()2244(2)0hxxxx=−+=−，()hx在()0,+上单调递增，又()39181230h=−+−=，当()0,

3x时，()0hx，即()0gx；当()3,x+时，()0hx，即()0,gx()gx在3x=处取得极小值()339123ln363ln3,g=−+−=−而442e2.56.253627,3ln34,63ln32=−，()()32gxg，即()31

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