【文档说明】（北京专用，集合与常用逻辑用语+不等式+函数及其性质）高一数学期中模拟卷（全解全析）.docx，共(10)页，565.859 KB，由管理员店铺上传

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2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数及其性质。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小

题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（）A．游戏中会变身的妖怪B．游戏中长的高的妖怪C．游戏中能力强的妖怪D．游戏中击败后给奖励多的妖怪【答案】A【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A

正确；对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误.故选：A.2．设全集{3},0,1,2,3AxxB==N∣，则AB=（）A．0,1B．1,2C．0,1,2D

．0,1,2,3【答案】C【详解】依题意，{0,1,2}A=，而0,1,2,3B=，所以0,1,2AB=.故选：C3．已知,,abcR，使ab成立的一个充分不必要条件是（）A．acbc++B．acbcC．22abD．22acbc【答案】D

【详解】对于A，acbcab++，A不是；对于B，当0c时，由acbc，得ab，B不是；对于C，22ab，可能有ab，如2,1ab=−=，C不是；对于D，由22acbc，得20c，则ab；若,0abc=，则22acbc=，D是.故选：D4．下列函数中为偶函数的

是（）A．yx=B．yx=C．21yx=+D．1yx=【答案】C【详解】对于A，函数yx=的定义域为[0,)+，关于数0不对称，yx=是非奇非偶函数，A不是；对于B，函数yx=的定义域为R，是奇函数，B不是；对于C，函数21yx=+的定义域为R，22

()11xx−+=+，是偶函数，C是；对于D，函数1yx=的定义域为(,0)(0,)−+，是奇函数，D不是.故选：C5．若命题“[1,3]x−，220xxa−−”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）A．1−B．0C．1D．3【答案】A【详解】因为220xxa−−，即22xxa−

，又因为()222111xxx−=−−−，当且仅当1x=时，等号成立，若[1,3]x−，220xxa−−，即1a−，所以实数a可取的最小整数值是1−.故选：A.6．已知1x−，当xa=时，941xx−++取得最小值为b，则ab+=（）A．3−B．2C．3D．8【答案】C【详解】因

为1x−，所以910,01xx++，故()9994152151111xxxxxx−+=++−+−=+++，当且仅当911xx+=+，即2x=时，等号成立，故2,1ab==，3ab+=.故选：C7．已知函数()()()1,012,0

xxfxfxfxx+=−−−，则()2f=（）A．2−B．1−C．0D．1【答案】C【详解】由()()()1,012,0xxfxfxfxx+=−−−，则()()()()()()210010ffffff=−=−−−()1f=−−.又()10f−=，所以()20f=.故选：

C8．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面

的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为23.628.8htt=−+，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）A．第4秒B．第5秒C．第3.5秒D．第3秒【答案】A【详解】由题意，()()2223.628.83.681657.63.6457.6httttt=−+=−−++=−−+，则当4t=

时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第4秒.故选：A.9．已知定义在R上的奇函数()fx，当0x时，()fx单调递增，若不等式2(4)(2)ftfmtm−+对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(,2)−−B．()2,0−C．()(),

02,−+D．()(),22,−−+【答案】A【详解】根据题意，()fx是定义在R上的奇函数且在)0,+上单调递增，则()fx在(,)−+上也是增函数，因为不等式2(4)(2)ftfmtm−+对任意实数t恒成立所以242tmtm−+对任意实数t恒成立

，即2240mttm++对任意实数t恒成立，当0m=时，40t不恒成立，当0m时，可得016420mmm−，解可得2m−.即m的取值范围是(,2)−−，故选：A10．设函数2()2fxxx=−，()

2gxmx=+，若对任意的11,2x−，存在01,2x−，使得10()()gxfx=，则实数m的取值范围是（）A．10,2B．11,2−C．1,12−D．0,

1【答案】B【详解】由题意可得函数()gx的值域的值域为函数()fx的值域的子集，当01,2x−时，()22()2111,3fxxxx=−=−−−，即()fx的值域为1,3−，若0m=，则()22gxmx=+=，即()gx的值域为2，而

21,3−，符合要求；若0m，则由一次函数的性质可得()222,2gxmxmm=++−+，则有12232mm−+−+，解得1m−，又0m，故10m−；若0m，则由一次函数的性

质可得()22,22gxmxmm=+−++，则有12322mm−−++，解得12m，又0m，故102m；综上所述，11,2m−.故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．函数2()

||3xfxx−=−的定义域为．【答案】)()2,33,+【详解】2()||3xfxx−=−的定义域满足20x−且||30x−，解得2x且3x.故答案为：)()2,33,+12．已知方程2410xx−+=的两个根为1x和2x，则2212xx+=.【答案】

14【详解】方程2410xx−+=有实根，则12124,1xxxx+==，所以2222121212()242114xxxxxx+=+−=−=.故答案为：1413．若命题“Rx，使220xxm++”是假命题，则实数m的取值范围为.【答案】()1,+【详解】根据题意可得“R

x，使220xxm++”是假命题等价于“Rx，220xxm++”是真命题，因此可得2240m=−，解得1m；即可得实数m的取值范围为(1,+∞).故答案为：(1,+∞)14．已知函数()3,0,1,0.1xxfxxx+

=+若()02fx=，则实数0x=；函数()fx的值域为.【答案】1−(,3−【详解】当00x时，032x+=，解得01x=−；当00x时，0121x=+，解得012x=−（舍去），所以01x=−；当0x时，33x+；当0x时，1011x+，所以函数()fx的值域

为(,3]−.故答案为：1−；(,3]−.15．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()fx：．①()()()1212fxxfxfx=；②对于任意两个不同的正数12,xx，都有()()12120fxfxxx−−恒成立；③对于任意两个不同的实数12,xx，都有()()121222fx

fxxxf++．【答案】()fxx=（答案不唯一）【详解】当()fxx=时，对于①，()()()121212fxxxxfxfx==，故满足①；对于②，由对于任意两个不同的正数12,xx，都有()()12120fxfxxx−−恒成立，得

函数()fx在(0,+∞)上单调递增，而函数()fxx=在(0,+∞)上单调递增，故满足②；对于③，任取)1212,0,,xxxx+，则()()()222121212121212222244xxfxf

xxxxxxxxxf++++++−=−=，因为12xx，所以()()()2221212120224xxfxfxxxf+++−=，即()()22121222fxfxxxf++

，所以()()121222fxfxxxf++，故满足③.故答案为：()fxx=（答案不唯一）.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

16．（13分）已知集合5Axx=，21Bxmxm=−.(1)当4m=时，求CBR和AB；(2)若BA，求实数m的取值范围.【详解】（1）4m=时，47Bxx=，4CBxx=R或7x，（3分）5477ABxxxxxx

==；（6分）（2）BA，当B=时，21mm−，解得1m，（7分）当B时，21215mmm−−，（9分）解得13m，（12分）故实数m的取值范围是3m.（13分）17．（14分）已知二次函数()()212422

fxxkx=−−+.(1)若存在x使()0fx成立，求k的取值范围；(2)当0k=时，求()fx在区间2,1aa+上的最小值.【详解】（1）若存在x使()0fx成立，则()21Δ424202k=−−，（4分）解得3k或1k，（6分）所以k的取值范围是()

()3,,1+−；（7分）（2）当0k=时，()()2213242122fxxxx=−+=−−，为对称轴是1x=开口向上的抛物线，因为12aa+，所以1a，（9分）当11a+即0a时，()()()22min331

211222fxfaaa=+=+−−=−；（10分）当211aa+即102a时，()()()2min33121122fxf==−−=−；（11分）当21a即112a时，()()()22min312221

8822fxfaaaa==−−=−+；（12分）综上所述，当0a时，()2min322fxa=−；当102a时，()min32fx=−；当112a时，()2min1882fxaa=−+.（14分）18．（13分）已知函数1()fxxx=+．(1)判断并证明()fx的奇偶性；(2

)证明()fx在[1,)+上是增函数；(3)求()fx在[1,4]上的最大值及最小值．【详解】（1）函数1()fxxx=+的定义域为(,0)(0,)−+，()fx是奇函数，对任意的0x，11()()()()()fxxxfxxx−=+−=

−+=−−，所以函数()fx为奇函数.（3分）（2）对区间[1,)+上的任意两个数12,xx，且12xx，则121212121212()(1)11()()()()xxxxfxfxxxxxxx−−−=+−+=，（5分）由121xx，则121xx，1210xx−，120xx−，（7

分）从而12())0(fxfx−，即12()()fxfx，所以函数()fx在区间[1,)+上为增函数.（9分）（3）由（2）知，函数()fx在[1,4]上单调递增，min()(1)2==fxf，max17()(4)

4fxf==，所以函数()fx在[1,4]上的最大值、最小值分别为17,24.（14分）19．（15分）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千

米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时.研究表明：当20220x时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）求函数()vx的表达式；（2）当车流密度

x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）()()fxxvx=可以达到最大？并求出最大值.【详解】（1）由题意，当020x时，v(x)=100，当20220x时，设()vxaxb=+，则201002200a

bab+=+=（5分）解得：12a=−，110b=∴100,020()1110,202202xvxxx=−+（8分）（2）由题意，2100,020()1110,202202xxfxxxx=−+（11分）当020x时，()fx的最大值为(20)2000f

=（12分）当20220x时，21()(110)60502fxx=−−+，（13分）()fx的最大值为(110)6050f=∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.（15分）20．（15分）定义在(1,1)−上的函数()fx满足：①对任意,(1,1)xy−，都有

()()1xyfxfyfxy++=+；②当(1,0)x−时，有()0fx．求证：(1)()fx是奇函数；(2)211111119553ffffnn+++++．其中*Nn

.【详解】（1）令0xy==，代入()()1xyfxfyfxy++=+，得到(0)0f=．令yx=−，得()()(0)0fxfxf+−==，即()()fxfx−=−．∴()fx在(1,1)−上是奇函数．（5分）（2）211

1(3)(2)231155(2)(3)1123nnnnfffnnnnnn+−+−+++==++++−+−++11112323ffffnnnn=+−=

−++++，（8分）∴211111111119553445fffffffnn+++=−+−++111111233333ffffffnnnn

++−=−=+−++++．（12分）1101,1033nn−−++，103fn−+，111333fffn+−+

．故211111119553ffffnn+++++．（15分）21．（15分）设()2nn为正整数，若()12,,,nxxx=满足：①0,1,,1,1,2,,ixnin

−=；②对于1ijn，均有ijxx.则称a具有性质()En.对于()12,,,nxxx=和()12,,,nyyy=，定义集合(),|,1,2,,iiTttxyin==−=.(1)设(

)0,1,2=，若()123,,yyy=具有性质()3E，写出一个及相应的(),T；(2)设和具有性质()6E，那么(),T是否可能为0,1,2,3,4,5，若可能，写出一组和，若不可能，说明

理由.【详解】（1）(0,1,2)=，(,){0}T=；(0,2,1)=，(,){0,1}T=；(1,0,2)=，(,){0,1}T=；(1,2,0)=，(,){1,2}T=；()2

,0,1=，(),1,2T=；(2,1,0)=，(,){0,2}T=.（6分）（2）假设存在123456(,,,,,)xxxxxx=和123456(,,,,,)yyyyyy=均具有性质(6)E，且(,){0,1,2

,3,4,5}T=，则6101234515iiixy=+++++=−=，（9分）因为||iixy−与iixy−同奇同偶，所以61iiixy=−与61()iiixy=−同奇同偶，（12分）又因为61||iiixy=−15=为奇

数，61()iiixy=−0=为偶数，这与61||iiixy=−与61()iiixy=−同奇同偶矛盾，所以假设不成立.（14分）综上所述：不存在具有性质(6)E的和，满足(,){0,1,2,3,4,5}T=.（15分）