【文档说明】湖南省五市十校教研教改共同体2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题含答案.docx,共(13)页,830.948 KB,由小赞的店铺上传
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三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2021年上学期高二期末考试数学本试卷共4页,22题,考试用时120分钟,试卷满分150分注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束时,将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每
小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合20Sxxx=−=,20Txxx=+=,则ST=A.0B.1,0−C.0,1D.1,0,1−2.已知1
3i22z=−+,则zz=A.12−B.1C.13i22−−D.13i22−+3.当生物体死亡后,它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K
4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析,发现碳14含量衰减为原来的67.90%,则该遗址距今约()年.(参考数据:2log0.67900.5585=−)A.3000B.3100C.3200D.33004.已知3sin4cos0−=,则sin2=A.1225−B.12
25C.2425D.2425−5.已知6log2a=,12log4b=,18log6c=,则A.cbaB.abcC.cabD.acb6.为庆祝建党一百周年,长沙市文史馆举办“学党史,传承红色文化”的主题活动,某高校团委决定选
派5男3女共8名志愿者,利用周日到该馆进行宣讲工作.已知该馆有甲、乙两个展区,若要求每个展区至少要派3名志愿者,每个志愿者必须到两个展区中的一个工作,且女志愿者不能单独去某个展区工作,则不同的选派方案种数为A.252B.250C.182D.1807.在半径为2的球中挖
去一个半径为1的同心球,设过球心的截面的面积为1S,不过球心的任意非圆面的截面的面积为2S,则A.12SS=B.12SSC.12SSD.1S、2S的大小关系不定8.若A是圆C所在平面内的一定点,Р是圆C上的一动点,线段AP的垂直平分线与直线CP相
交于点Q,则点Q的轨迹不可能是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.下列关于函数()sin2fxx=
的结论正确的是A.函数()fx是偶函数B.函数()fx的最大值为2C.函数()fx在3,24单调递增D.函数()fx的最小正周期是10.已知正三棱锥PABC−中,M为PA的中点,PBCM⊥,52CM=,则A.PBCA⊥B.PBPA⊥C.该三棱锥的体积是13D.该
三棱锥的外接球的表面积是311.已知直线:20laxy+−=与C:()()2214xya−+−=相交于A、B两点,若ABC△为钝角三角形,则满足条件的实数a的值可能是A.12B.1C.2D.312.设随机变量X表示从1
到n这n个整数中随机抽取的一个整数,Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数,则A.当2n=时,()12,14PXY===B.当4n=时,()7424PXY+==C.当nk=(2k且*kN)时,()21,PXkYkk===D.当2k
n=(2k目*kN)时,()21212,12kkikiPXY=−===三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等差数列na的前n项和为nS,42S=−,63S=,则nS的最小值为_________.14.宽与长的比为510.61
82−的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中,令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中,512BC−=,ABBC,那么ABAC的值为_________.15.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且4FA=,则AB=___
______.16.2020年底,我国已正式对外宣布,实现了全面脱贫的伟大胜利.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为10,3PBAQAB==,202AOB
=,AQQPPB==,则PQ=____________(用表示);据调研发现,当OP最长时该奖杯比较美观,此时的值为__________________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知数列na的前n项和2n
Snn=+,令11242nnbaaaa−=++++,1,2,n=.(1)求na、nb的通项公式;(2)数列na中去掉数列nb中的项,剩下的项按原来顺序排成新数列nc,求2021c的值.18.如图
,在平面四边形ABCD中,2BC=,62AD=−,90ABC=,60BCD=,75BAD=,求四边形ABCD的面积.19.为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生5
60人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务时间的统计数据如下:超过1小时不超过1小时男208女12m(1)求m,n;(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?(3)若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概
率,现从该校随机调查60名学生,记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X,求X的数学期望.附:()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++20
.如图所示,在三棱柱111ABCABC−中,底面ABC△是正三角形,侧面11AACC是菱形,点1A在平面ABC的射影为线段AC的中点D,过点1B,B,D的平面与棱11AC交于点E.(1)证明:四边形1BBED是矩形;(2)求二面角1ABBE−−的余弦值.21.双曲线C的中心在原点O,焦点
在x轴上,且焦点到其渐近线2yx=的距离为⒉(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点()0,2P的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,与其渐近线分别交于M,N(从左至右)两点.(ⅰ)证明:AMBN=;(ⅱ)是否存在这样
的直线l,使得255OMNOABSS=△△,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.22.已知函数()eaaxfxxb=+(其中e是自然对数的底数),曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程是336e5eyx=−.(1)求a,b;(2)设函数()()2lnfxgxmxxx=−−
,若()1gx在()0,+上恒成立,求m的取值范围.三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2021年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D2.B3.C【解析】设生物体死亡后
,碳14每年衰减为原来的p,依题意,有()5730112p−=,1573012p−−=的;设距今约t年,碳14衰减为原来的()157301267.90%tp−−==,结合参考数据:2log0.67900.55855730t−==−,可得3200t.4.C【解析】利用同角三角函数的基本关系可解
得:4sin;53cos,5=−=−或4sin;53cos5==,再由二倍角公式得24sin22sincos25==.5.A【解析】由对数运算公式得,221log61log3a==+,4
41log121log3b==+,661log181log3c==+,易知246log3log3log3,故cba.6.D【解析】因为每个展区至少要派3人,则两个展区中派遣的人数分别为3、5或4、4,又因为3名女志愿者不能单独成一组,则不同的派遣方案种数为
43288222CC1A180A+−=.另法:41221328535352CCCCCCA1802+++=.7.A【解析】设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为d,则该截面的面积()()22222213Sdd=−−−=,而过球心的截面的面积
()221213S=−=,故选A.8.D【解析】设圆C的半径为r,(1)若点A在圆C内不同于点C处,如图(1)所示,则有QAQCrAC+=,故点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆,所以B正确;(2)若点A与C重合,则有2rQPQA==,故
点Q的轨迹是以C为圆心,2r为半径的圆,所以A正确;(3)若点A在圆C上,如图(3)所示,则由垂径定理,线段AP的垂直平分线必过点C,故Q与C重合,故点Q的轨迹是一个点;(4)若点A在圆C外,如图(4)所示,则QAQ
PPCQCrQC==+=+,所以QAQCrAC−=,故点Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线右支,当AP的垂直平分线交CP的延长线于点Q时,Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线左支,所以C正确;故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,
共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.AC【解析】作出函数()fx的图像如下:由图像易知,选项AC正确.10.ABD【解析】作AC中点,连接PN,BN,则易证AC⊥平面PBN,所以PBAC⊥,又PBCM⊥,所以PB⊥
平面PAC,所以PBCA⊥,PBPA⊥,又三棱锥PABC−为正三棱锥,PAPC⊥,且PAPBPC==在RtPMC△中,由勾股定理解得1PC=,故三棱锥的体积为16,其外接球半径为32,外接球表面积为3.故选ABD.11.ACD【解析】圆C的圆心为()1,a
,半径为2r=,由于ABC△为等腰三角形,若该三角形为钝角三角形,则45CAB,设圆心C到直线l的距离为d,则2221ada−=+,则212sin21adCABra−==+,整理可得2410aa−+,解得2323a−
+,因为直线l不过圆心C,则220a−,解得1a.所以()()23,11,23a−+.故选ACD.12.ACD【解析】对A,当2n=时,()1112,1224PXY====,故A正确;对B,当4n=时,
∵XY,则由4XY+=可得3X=,1Y=或2X=,2Y=,∴()()()1111543,12,2434224PXYPXYPXY+====+===+=,故B错误对C,当nk=(2k且*kN)时,则(
)2111,PXkYkkkk====,故C正确;对D,()22211111111111212,122222222222kkikkkkkkkiPXY=−===+++=+++=,所以
D正确,故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【答案】-3【解析】易得21522nSnn=−,当2n=或3时,()min3nS=−14.【答案】115.【答案】163【解析】设过()1,0F的直线方程为1xmy=+,()
11,Axy,()22,Bxy,则联立方程得214xmyyx=+=,2440ymy−−=,124yy=−,221212144yyxx==114FAx=+=,13x=,所以213x=,故2413FBx=+=,416433AB=+=16.【答案】10sin,4【解析】作
OMQP⊥交QP于M,交AB于C,且OCAB⊥,则AOC=,则20sinAB=,10cosOC=.设AQQPBPx===,作QEAB⊥交AB于E,PFAB⊥交AB于F,因为60PBAQAB==,所以12AEBFx==,32CMPFx==,E
FQPx==,所以2ABx=,所以20sin2ABx==,即10sinx=.所以310cos10cos53sin2OMOCCMx=+=+=+,所以()()2222210cos53sin5sinOPOMMP=+=++222100cos75sin1003sincos25sin10
0503sin2=+++=+,因为sin21,1−,所以当sin21=,即4=时,2OP最大,故答案为4.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解:(1)当2n时,()()()221112nnnaSSnnnnn−=−=
+−−+−=,又112aS==也适合上式,所以2nan=,*nN.()()121124221222221nnnnbaaaa−−=++++=++++=−.(2)由(Ⅰ)知21nnba−=,所以101023ba=,11
2047ba=.由此可知202120314062ca==.18.解:设()090CBD=.在ABD△中,由正弦定理得,sinsin75ADBDABD=,即()62sin90sin75BD
−=−,在BCD△中,同理有,sinsinBCBDBDCBCD=,即()2sin120sin60BD=−从而有()sin1203cos−=,化简得sin3cos=,因此有tan3=,∴60=.于是知四边形ABCD是
由边长为2的正BCD△和腰长为2,顶角30ABD=的等腰ABD△构成,所以四边形ABCD的面积为231222sin301342S=+=+.解法二:过D作DEAB⊥,DFBC⊥分别交AB、BC于E、F两点,∵62AD=−,在ADE△中,()62sin75D
E=−∴1DE=,在矩形DEBF中,∴1DEBF==,∴1CF=,∴F是BC的中点,在BCD△,∵60BCD=,所以BCD△为等边三角形,·∴3434BCDS==△在ABD△中,由等面积法可以得到2AB=,∴11212ABDS==△
∴13ABDBCDSSS=+=+△△19.解:(1)由已知,该校有女生400人,故12400208560m+=+,得8m=,从而20812848n=+++=.(2)作出列联表如下:超过1小时的人数不超过1小时的人数合计男20828女12820合计321648()224816096
240.68573.8412820321635K−==.所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.(3)根据以上数据,学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率322483P==,所以2~60,3XB,且()60602
133kkkPXkC−==,0,1,2,,60k=.故X的数学期望260403EX==.20.解:(1)连接1BE,DE.在三棱柱111ABCABC−中,侧面11AABB为平行四边形,所以11BBAA∥.因
为1BB平面11AACC,1AA平面11AACC,所以1BB∥平面11AACC.因为1BB平面1BBD,且平面1BBD平面11AACCDE=,所以1BBDE∥,因此1AADE∥.因为点D是AC的中点,所以E为11AC中点,所以1BBDE
=,所以四边形1BBED为平行四边形.在正ABC△中,因为D是AC的中点,所以BDAC⊥.由题可知1AD⊥平面ABC,所以1ADBD⊥,1ADAC⊥.因为1ACADD=,所以BD⊥平面11ACCA,于是BDDE⊥,故四边形1BBED为矩形.(2)由(1)知DB,AC,1AD两两垂直
,以DB,AC,1AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−.设1AD=,则3BD=.在1AAD△中,12AAAD=,190ADA=,所以13AD=.于是()0,0,0D,()0,1,
0A−,()10,0,3A,()3,0,0B,()3,1,0AB=,()3,0,0DB=,()110,1,3AABB==.设平面1DBBE的法向量为(),,mabc=,由10,0,mBBmDB==得30,30,bca+=
=取()0,3,1m=−.设平面11ABBA的法向量为(),,nxyz=,由10,AB0nAAn==得30,30,yzxy+=+=取()1,3,1n=−.设二面角1ABBE−−的大小为,由图知0,2
,则425coscos,525mn===.故所求二面角1ABBE−−的余弦值为255.21.解:(1)设双曲线2222:1xyCab−=,易得焦点(),0Fc到渐近线的距离为b,故2b=,又2ba=,所以1a=,故所求双曲线C的方程为2214yx−=.(2)(
ⅰ)设过点P的直线:2lykx=+,联立()222014ykxyx=+−==或,消去y,整理得:()2244440kxkx−−−−=,0△,()2,2k−.设()11,Axy,()22,Bxy,()33,Mxy,()44,Nxy.当1=时,12244kx
xk+=−,即AB中点横坐标为224kk−,当0=时,34244kxxk+=−,即MN中点横坐标为224kk−,故线段AB,MN的中点重合,所以AMBN=.(ⅱ)由(ⅰ)1234244kxxxxk+=+=−,12284xxk−=−,34244
xxk−=−,所以()()2223434281144kMNkxxxxk+=++−=−,()()222212122418144kkABkxxxxk+−=++−=−.又255OMNOABMNSSAB==△△,所以3k=
,满足0△,故存在这样的直线:32lyx=+.22.解:(1)3a=,0b=,()33exfxx=.(2)()3eln1xgxxmxx=−−,整理得3ln1exxmxx−−.记()31lnexxxxx=−−,只需()minmx.而()2323elnxxx
xx+=.令()233elnxhxxx=+,则()()23196e0xhxxxx=++,故()hx在()0,+单调递增.又104h,102h,由零点存在性定理可知,存在唯一011,42x
,使()00hx=.当()00,xx时,()0hx,()0x,()x单调递减;当()0,xx+时,()0hx,()0x,()x单调递增;所以()()0300min00ln1exxxxxx==−−.由()00hx=得03
2003eln0xxx+=,所以0320013elnxxx=,所以001ln30013elnexxxx=,即0013lnxx=,故003lnxx=−,且0301exx=,所以()()0300min00ln1e3xxxxxx==−−=,故所求m的取值范围(,3−.方
法二:证明:e1xx+证明:构造函数()e1xhxx=−−,∴()e1xhx=−,令()e100xhxx=−,所以函数()hx在()0,+单调递增,令()e100xhxx=−,所以函数()hx
在(),0−单调递减.所以函数()()min00hxh==∴e10xx−−,即∴e1xx+∴()3ln3elnelnxxxgxxmxxmxx+=−−=−−,∵e1xx+∴ln3eln31xxxx+++∴()()ln3elnln31ln
31xxgxmxxxxmxxmx+=−−++−−=−+由()1gx在()0,+上恒成立,故()30mx−恒成立.所以30m−,故3m.