【文档说明】2024届高考二轮复习数学试题（新高考新教材） 专题过关检测三　数列 Word版含答案.docx，共(10)页，151.075 KB，由小赞的店铺上传

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专题过关检测三数列一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在数列{an}中,a1=2,an+1-an-2=0,则a5+a6+…+a14=()A.180B.190C.160D.1202.

已知等比数列{an}的各项均为正数,且a3=9,则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=()A.52B.53C.10D.153.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若𝑆10𝑆5=12,则𝑆15𝑆5=()A.12

B.13C.23D.344.我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律,即是现代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键(如图),从左至右依次为:c,#c,d,#d,e,f,#f,g,#g,

a,#a,b,c1的音频恰成一个公比为√212的等比数列的原理,也即高音c1的频率正好是中音c的2倍.已知标准音a的频率为440Hz,则频率为220√2Hz的音名是()A.dB.fC.eD.#d5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,设数列{1ana

n+1}的前n项和为Tn,则T20的值为()A.1939B.3839C.2041D.40416.一百零八塔位于宁夏吴忠青铜峡市,它因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…,该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群最下面三层

的塔数之和为()A.39B.45C.48D.517.在1到100的整数中,除去所有可以表示为2n(n∈N*)的整数,则其余整数的和是()A.3928B.4024C.4920D.49248.已知函数f(n)={𝑛2,𝑛为奇数,-𝑛2,𝑛为偶数,且an=f(n)+f

(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于()A.0B.100C.-100D.10200二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{an}的前n项和Sn=4n-1+t,

则()A.首项a1不确定B.公比q=4C.a2=3D.t=-1410.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,则下列结论一定正确的是()A.a5=1B.Sn的最小值为S3C.S1=S6D.Sn存在最大值11.已知数列{an}是等差数列,其前30项和为390,a1=

5,bn=2𝑎𝑛,对于数列{an},{bn},下列选项正确的是()A.b10=8b5B.{bn}是等比数列C.a1b30=105D.𝑎3+𝑎5+𝑎7𝑎2+𝑎4+𝑎6=20919312.在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的

数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;……第n(n∈N*)次得到数列1,x1,x2,x3,…,xk,2.

记an=1+x1+x2+…+xk+2,数列{an}的前n项和为Sn,则()A.k+1=2nB.an+1=3an-3C.an=32(𝑛2+3𝑛)D.Sn=34(3𝑛+1+2𝑛-3)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在等差数列{an}中,若a

2,a2020为方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a1011+a2021等于.14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则数列{log2an}的前n项和Tn=.15.将数列{2n-

1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.16.(2021·新高考乙,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×

12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次

,那么∑𝑘=1𝑛Sk=dm2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知正项等比数列{an},a4=116,a5a7=256.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{|log2an|}的前n项和.18.(12分)已知数列{an

}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{√𝑆𝑛}是等差数列;③a2=3a1.19.(12分)已知数列{an}是正项等比数列

,满足a3是2a1,3a2的等差中项,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nlog2a2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.20.(12分)在以下三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.①𝑆𝑛𝑛=𝑎𝑛+12,②a

n+1an=2Sn,③𝑎𝑛2+an=2Sn.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且满足.(1)求an;(2)若bn=(an+1)·2𝑎𝑛,求数列{bn}的前n项和Tn.21.(12分)某市为加强环保建设,提高社会效益和经济效益,计划用若干年更换1万辆燃油型公交车,每更换一辆新车

,淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数F(n);(2)若该市计划用7年的时

间完成全部更换,求a的最小值.22.(12分)已知数列{an}满足a1=23,且当n≥2时,a1a2…an-1=2𝑎𝑛-2.(1)求证:数列{11-𝑎𝑛}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)记Tn=12a1a2…an,Sn=

𝑇12+𝑇22+…+𝑇𝑛2,求证:当n∈N*时,an+1-23<Sn.专题过关检测三数列1.B解析因为an+1-an=2,a1=2,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列.所以an=2+(n-1)×2=2n.设{an}的前n项和为Sn,则Sn=𝑛(2+2𝑛)

2=n2+n.所以a5+a6+…+a14=S14-S4=190.2.C解析因为等比数列{an}的各项均为正数,且a3=9,所以log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=log3(a1a2a3a4a5)=log3(𝑎35

)=log3(95)=log3(310)=10.3.D解析由题意可知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.∵𝑆10𝑆5=12,∴设S5=2k,S10=k,k≠0,∴S10-S5=-k,∴S15-S1

0=𝑘2,∴S15=3𝑘2,∴𝑆15𝑆5=3𝑘22𝑘=34.4.D解析因为a的音频是数列的第10项,440=220√2×212=220√2×(2112)10-4,所以频率为220√2Hz是该数列的第4项,其音名是#d.5.C解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时

,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.而a1=1也符合an=2n-1,所以an=2n-1.所以1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1(2𝑛-1)(2𝑛+1)=12(12𝑛-1-12𝑛+1),所以Tn

=12(1-13+13-15+…+12𝑛-1-12𝑛+1)=121-12𝑛+1=𝑛2𝑛+1,所以T20=202×20+1=2041.6.D解析设该数列为{an},依题意,可知a5,a6,…成等差数列,且公差为2,a5=5.设塔群共有n层,则1+3+3+5+5(n-4

)+(𝑛-4)(𝑛-5)2×2=108,解得n=12.故最下面三层的塔数之和为a10+a11+a12=3a11=3×(5+2×6)=51.7.D解析由2n∈[1,100],n∈N*,可得n=1,2,3,4,5,6,所以21+22+23+24+25+26=2×(1-26)1-2=126.又1+2

+3+…+100=100×1012=5050,所以在1到100的整数中,除去所有可以表示为2n(n∈N*)的整数,其余整数的和为5050-126=4924.8.B解析由已知得当n为奇数时,an=n2-(n+1)2=-2n-1,当

n为偶数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1.所以a1+a2+a3+…+a100=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2×50=100.9.BCD解析当n=1时,a1=S1=1+t,当n≥2时,a

n=Sn-Sn-1=(4n-1+t)-(4n-2+t)=3×4n-2.由数列{an}为等比数列,可知a1必定符合an=3×4n-2,所以1+t=34,即t=-14.所以数列{an}的通项公式为an=3×4n-2,a2=3,数列{an}的公比q=4.故选BCD.10.AC解析

由已知得a1+3(a1+4×1)=7a1+7×62×1,解得a1=-3.对于选项A,a5=-3+4×1=1,故A正确.对于选项B,an=-3+n-1=n-4,因为a1=-3<0,a2=-2<0,a3=-1<0,a4=0

,a5=1>0,所以Sn的最小值为S3或S4,故B错误.对于选项C,S6-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4,又因为a4=0,所以S6-S1=0,即S1=S6,故C正确.对于选项D,因为Sn=-3n+𝑛(𝑛-1)2=𝑛2-7𝑛2,所以Sn无最大值,故D错误.11.

BD解析设{an}的公差为d,由已知得30×5+30×29𝑑2=390,解得d=1629.∴an=a1+(n-1)d=16𝑛+12929.∵bn=2𝑎𝑛,∴𝑏𝑛+1𝑏𝑛=2𝑎𝑛+12𝑎𝑛=2𝑎𝑛+1-𝑎

𝑛=2d,故数列{bn}是等比数列,B选项正确.∵5d=5×1629=8029≠3,∴𝑏10𝑏5=(2d)5=25d≠23,∴b10≠8b5,A选项错误.∵a30=a1+29d=5+16=21,∴a1b30=5×221>105,C选项错误.∵a4=a1+3d=5+3×162

9=19329,a5=a1+4d=5+4×1629=20929,∴𝑎3+𝑎5+𝑎7𝑎2+𝑎4+𝑎6=3𝑎53𝑎4=𝑎5𝑎4=209193,D选项正确.12.ABD解析由题意,可知第1次得到数列1,3,2,此时k=1,第2次得到数列1,4,3,5,2,此时k=3,第3次得到

数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时k=7,第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时k=15,……第n次得到数列1,x1,x2,x3,…,xk,2,此时k=2n-1,所以k+1=2

n,故A项正确.当n=1时,a1=1+3+2=6,当n=2时,a2=a1+2a1-3=3a1-3,当n=3时,a3=a2+2a2-3=3a2-3,……所以an+1=3an-3,故B项正确.由an+1=3an-3,得a

n+1-32=3(𝑎𝑛-32),又a1-32=92,所以{𝑎𝑛-32}是首项为92,公比为3的等比数列,所以an-32=92×3n-1=3𝑛+12,即an=3𝑛+12+32,故C项错误.Sn=(322+32)+(3

32+32)+…+(3𝑛+12+32)=343n+1+2n-3,故D项正确.13.15解析因为a2,a2020为方程x2-10x+16=0的两根,所以a2+a2020=10.又{an}为等差数列,所以a1+a2021=a2+a2020=2a1011=10,即a1011=5.所以a1+a101

1+a2021=3a1011=15.14.𝑛(𝑛+1)2解析因为Sn=2an-2,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,两式相减,得an=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,可得a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为2的

等比数列,所以an=2n.所以log2an=n,所以Tn=𝑛(𝑛+1)2.15.3n2-2n解析数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数,并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,

所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{an}是以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{an}的前n项和为Sn=n×1+𝑛(𝑛-1)2×6=3n2-2n.16.5

240(3-𝑛+32𝑛)解析对折3次共可以得到52dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm×32dm四种规格的图形,面积之和S3=4×30=120dm2;对折4次共可以得到54dm×12dm,52dm×6dm,5dm×3dm,10dm×32dm,20dm×34dm五种

规格的图形,S4=5×15=75dm2;……可以归纳对折n次可得n+1种规格的图形,Sn=(n+1)·2402𝑛dm2.则∑𝑘=1𝑛Sk=S1+S2+…+Sn=240221+322+423+…+n+12n.记Tn=221+322+4

23+…+n+12n,①则12Tn=222+323+…+n2n+n+12n+1.②①与②式相减,得Tn-12Tn=12Tn=221+122+123+…+12n−n+12n+1=32−n+32n+1.故Tn=3

-n+32n.故∑k=1nSk=240·Tn=240(3-𝑛+32𝑛).17.解(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0).由等比数列的性质可得a5a7=𝑎62=256,因为an>0,所以a6=16.所以q2=𝑎6𝑎4=256,即q=16.所以an=

a6qn-6=16×16n-6=16n-5.(2)由(1)可知log2an=log216n-5=4n-20,设bn=|log2an|=|4n-20|,数列{bn}的前n项和为Tn.①当n≤5,且n∈N*时,Tn=𝑛(16+20-4𝑛)2=18n-2n2;②当n≥6,且n∈N*时,Tn=T5+

(4+4𝑛-20)(𝑛-5)2=18×5-2×52+(2n-8)(n-5)=2n2-18n+80.综上所述,Tn={18𝑛-2𝑛2,𝑛≤5,且𝑛∈N*,2𝑛2-18𝑛+80,𝑛≥6,且𝑛∈N*.18.证明若选

①②⇒③,设数列{an}的公差为d1,数列{√𝑆𝑛}的公差为d2.∵当n∈N*时,an>0,∴d1>0,d2>0.∴Sn=na1+𝑛(𝑛-1)𝑑12=𝑑12n2+(𝑎1-𝑑12)n.又√𝑆𝑛=√𝑆1+(n-1)d2,∴Sn=a1+𝑑22(n-1)2+2√𝑎1d

2(n-1)=𝑑22n2+(2√𝑎1d2-2𝑑22)n+𝑑22-2√𝑎1d2+a1,∴𝑑12=𝑑22,a1-𝑑12=2√𝑎1d2-2𝑑22,𝑑22-2√𝑎1d2+a1=0,∴𝑑22=𝑑1

2,d2=√𝑎1,即d1=2a1,∴a2=a1+d1=3a1.若选①③⇒②,设等差数列{an}的公差为d.因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,则d=2a1,所以Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=na1+n(n-1)a1=n2a1,所以√�

�𝑛−√𝑆𝑛-1=n√𝑎1-(n-1)√𝑎1=√𝑎1.所以{√𝑆𝑛}是首项为√𝑎1,公差为√𝑎1的等差数列.若选②③⇒①,设数列{√𝑆𝑛}的公差为d,则√𝑆2−√𝑆1=d,即√𝑎1+𝑎2−√𝑎1

=d.∵a2=3a1,∴√4𝑎1−√𝑎1=d,即d=√𝑎1,∴√𝑆𝑛=√𝑆1+(n-1)d=√𝑎1+(n-1)√𝑎1=n√𝑎1,即Sn=n2a1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,当n=1时,a1符合式

子an=(2n-1)a1,∴an=(2n-1)a1,n∈N*,∴an+1-an=2a1,即数列{an}是等差数列.19.解(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0).因为a3是2a1,3a2的等差中项,所以2a3=2a1+3a2,即2a1q2=2a1+3a1q,因为a1≠0,所以2q2

-3q-2=0,解得q=2或q=-12(舍去).所以a4=a1q3=8a1=16,解得a1=2.所以an=2×2n-1=2n.(2)由(1)可知a2n+1=22n+1,所以bn=(-1)nlog2a2n+1=(-1)nlog222n+1=(-1)n(2n+1

),所以Tn=(-1)1×3+(-1)2×5+(-1)3×7+…+(-1)n(2n+1),-Tn=(-1)2×3+(-1)3×5+(-1)4×7+…+(-1)n+1·(2n+1),所以2Tn=-3+2[(-1)2+(-1)3+…+(-1)n]-(-1)n+1(2n+1)=-3+2×1-(-1)𝑛

-12+(-1)n(2n+1)=-3+1-(-1)n-1+(-1)n(2n+1)=-2+(2n+2)(-1)n,所以Tn=(n+1)(-1)n-1.20.解(1)若选①,则2Sn=nan+1.当n=1时,2S1=a2,又S1=a1=1,所以a2=2

.当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an,所以2an=nan+1-(n-1)an,即(n+1)an=nan+1,所以𝑎𝑛+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛(n≥2).又𝑎22=1,所以当n≥2时,𝑎𝑛𝑛=1,即an=n.又a

1=1符合上式,所以an=n.若选②,则当n=1时,2S1=a2a1,可得a2=2.当n≥2时,2Sn-1=anan-1,可得2an=anan+1-anan-1.由an>0,得an+1-an-1=2.又a1=1,a2=2,所以{a2n}是首项为2,公差为2的等差数列,{a2n-1}是首项为1,公

差为2的等差数列,所以an=n.若选③,因为𝑎𝑛2+an=2Sn,所以当n≥2时,𝑎𝑛-12+an-1=2Sn-1,两式相减得𝑎𝑛2+an-𝑎𝑛-12-an-1=2an,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0.由

an>0,得an-an-1-1=0,即an-an-1=1,所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n.(2)由(1)知bn=(n+1)·2n,所以Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)·2n,2Tn

=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1,两式相减,得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1=4+4(1-2𝑛-1)1-2-(n+1)·2n+1=4-4+2n+1-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以T

n=n·2n+1.21.解(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意,数列{an}是首项为128,公比为1+50%=32的等比数列,数列{bn}是首项为400,公差为a的等差数列.所以

数列{an}的前n项和Sn=128×[1-(32)𝑛]1-32=256[(32)𝑛-1],数列{bn}的前n项和Tn=400n+𝑛(𝑛-1)2a.所以经过n年,该市被更换的公交车总数F(n)=Sn+Tn=256[(32)𝑛-1]+400n+𝑛(

𝑛-1)2a.(2)若用7年的时间完成全部更换,则F(7)≥10000,即256[(32)7-1]+400×7+7×62a≥10000,即21a≥3082,所以a≥308221.又a∈N*,所以a的最小值为147.22.证明(1)因为当n≥2时,a1a2…an-1=2𝑎𝑛

-2,所以a1a2…an=2𝑎𝑛+1-2,两式相除,可得an=1𝑎𝑛+1-11𝑎𝑛-1,所以11-𝑎𝑛=𝑎𝑛+11-𝑎𝑛+1=11-𝑎𝑛+1-1,所以11-𝑎𝑛+1−11-𝑎𝑛=1(n≥2).又a1=23,

所以a2=34,11-𝑎1=3,11-𝑎2=4,所以11-𝑎2−11-𝑎1=1,所以11-𝑎𝑛+1−11-𝑎𝑛=1(n∈N*),所以数列{11-𝑎𝑛}是首项为3,公差为1的等差数列.所以11-𝑎�

�=3+(n-1)×1=n+2,所以an=𝑛+1𝑛+2.(2)因为Tn=12a1a2…an=12×23×34×…×𝑛+1𝑛+2=1𝑛+2,所以𝑇𝑛2=1(𝑛+2)2>1(𝑛+2)(𝑛+3)=1𝑛+2−1𝑛+3,