【文档说明】辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案.docx，共(9)页，126.247 KB，由小赞的店铺上传

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辽宁师大附中2019—2020学年度下学期期末考试高一数学试题命题人：校对人：考试时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题,共60分）一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.若复数z满足(1+𝑖)𝑧=|3+4𝑖|

，则z的虚部为（）A.5B.52C.−52D.-52.已知𝛼,𝛽是两个不同平面，直线𝑙⊂𝛽，则“𝛼//𝛽”是“𝑙//𝛼”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是《算经十书》中最重要的一种，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积的计算公式为弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由

圆弧(简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称为弧田弦)围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6m，其弧所在圆为圆O，若用上述弧

田面积计算公式算得该弧田的面积为72m2，则cos∠AOB＝()A．125B．325C．15D．7254．黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A，B，C的对边

分别为a，b，c，已知a＝2，…，解得b＝6，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件()A．A＝30°,B＝45°B．c＝1，cosC＝13C．B＝60°，c＝3D．C＝75°，A＝45°5.若tan(α＋

80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为(）A．－35B．35C．319D．376.把复数z1与z2对应的向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗分别按逆时针方向旋转35和4后,重合于向量𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗且模相等,已知i

z312−−=,则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是()A.i22−−,43B.43,22i+−C.4,22i−−D.4,22i+−7.在三棱锥A－BCD中，△ABC和△BCD都是边长为23的等边三角形，且平面A

BC⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为()A．8πB．12πC．16πD．20π8.已知不共线向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗夹角为𝛼，|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=1，|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝑡)𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗

⃗=𝑡𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(0≤𝑡≤1)，|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|在𝑡=𝑡0处取最小值，当0<𝑡0<15时，𝛼的取值范围为（）A.(0,𝜋3)B.(𝜋3,𝜋2)C.(𝜋2,2𝜋3)D.(2𝜋3,𝜋)二、多选题(共4小题，

每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，全选对得满分，漏选得3分，选错得0分）9．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是()A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B．若A＞B，则sinA＞sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60

°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形10.已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝22，则α的值为()A．π16B．11π16C．9π16D．7π1611

．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝π3，a＝7，则以下判断正确的是（）A.△ABC的外接圆面积是49π3；B.bcosC＋ccosB＝7；C.b＋c可能等于16；D.作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是73.12.已知菱形ABCD

中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是()A.DM与BC不可能垂直B.BD⊥CMC.存在一个位置，使△CDM为等边三角形D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°第Ⅱ卷（非选择题,共90分）三、填空题

（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=3,则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=14.已知函数y＝sin(2x＋

φ)(－π2<φ<π2)的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是15.若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________．16.如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑀为𝐵𝐶的

中点，将𝛥𝐴𝐵𝑀沿直线𝐴𝑀翻折成𝛥𝐴𝐵1𝑀，连结𝐵1𝐷，𝑁为𝐵1𝐷的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①;,1ABCN⊥使得存在某个位置②翻折过程中，𝐶𝑁的长是定值；③若𝐴𝐵=𝐵𝑀，则𝐴𝑀⊥𝐵1𝐷

；④若𝐴𝐵=𝐵𝑀=1，当三棱锥𝐵1−𝐴𝑀𝐷的体积最大时，三棱锥𝐵1−𝐴𝑀𝐷的外接球的表面积是4𝜋.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.(满分10分）

已知函数f(x)＝4tanxsin(π2－x)cos(x－π3)－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[－π4，π4]上的单调性．18.(满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足s

inA＋3cosA＝2.(1)求角A的大小；(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝π4；③c＝3b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)19.(满分12分）设z+1为关于x的方程x2+px+q=

0(p,q∈R)的虚根,i是虚数单位.(1)当z=-1+i时,求p,q的值;(2)若q=1,在复平面上,设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,试求|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围.20.(满分12分）如图，AB为圆O的

直径，点E、F在圆O上，𝐴𝐵//𝐸𝐹，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知𝐴𝐵=3，𝐸𝐹=1.（1）求证：平面𝐷𝐴𝐹⊥平面𝐶𝐵𝐹；（2）设几何体𝐹−𝐴𝐵𝐶𝐷、𝐹−𝐵𝐶𝐸的体积分别为𝑉1、𝑉2，求𝑉1:𝑉2.21.(

满分12分）某市规划一个平面示意图为如右图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝2π3，DE＝4km，BC＝CD＝3km.(1)求服务通道BE的长度；(2)当∠AEB＝π4时，求赛道BA的

长度．22．(满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，且AD⊥BC，四边形ABB1A1为正方形．(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)若∠BAC＝60°，BC＝4，求点A1到平面AB1D的距离．辽宁师大附中2019—2020学年度下学期期末考试

高一数学答案1——8.CADDDBDC9.ABD10.AC11.ABD12.BCD13.914.－π615.π3(2，＋∞)16.②④17.(1)f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z，f(x)＝4tanxcosxcos(x－π3)－3＝4sinxcos(x－π3)－3＝4si

nx(12cosx＋32sinx)－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－π3)．所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π

12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.所以，当x∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减．18.(1)依题意得2sinA＋π3＝2，即sin

A＋π3＝1，∵0<A<π，∴π3<A＋π3<4π3，∴A＋π3＝π2，∴A＝π6.(2)参考方案：选择①②.由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝asinBsinA＝22.∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2＋6

4，∴S△ABC＝12absinC＝12×2×22×2＋64＝3＋1.19.(1)∵z=-1+i,∴z+1=i,则方程x2+px+q=0的两根分别为i,-i.由根与系数的关系有{i-i=-𝑝,-i2=𝑞,∴p=0,q=1;(2)设z=a+bi

(a,b∈R),若q=1,则z+1,𝑧+1是方程x2+px+1=0的两虚数根.则𝑧+1=𝑎+1+𝑏i=a+1-bi.由题意可得:(z+1)𝑧+1=(a+1)2+b2=1.令a+1=cosθ,b=sinθ,θ∈[0,2π

).∵复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,∴|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cos𝜃-1-2)2+(sin𝜃+4)2=√10sin(𝜃+𝜑)+26∈[4,6].20.（1）如图,矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵，∵平面

𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐸𝐹，平面𝐴𝐵𝐶𝐷∩平面𝐴𝐵𝐸𝐹=𝐴𝐵，∴𝐶𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐸𝐹，∵𝐴𝐹⊂平面𝐴𝐵𝐸𝐹，∴𝐴𝐹⊥𝐶𝐵.又∵𝐴𝐵为圆�

�的直径，∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐹，∵𝐶𝐵∩𝐵𝐹=𝐵，𝐶𝐵、𝐵𝐹⊂平面𝐶𝐵𝐹，∴𝐴𝐹⊥平面𝐶𝐵𝐹，∵𝐴𝐹⊂平面𝐴𝐷𝐹，∴平面𝐷𝐴𝐹⊥平面𝐶𝐵𝐹.另解：也可证明𝐵𝐹⊥

平面𝐴𝐷𝐹.（2）几何体𝐹−𝐴𝐵𝐶𝐷是四棱锥、𝐹−𝐵𝐶𝐸是三棱锥，过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵于𝐻.∵平面𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐸𝐹，∴𝐹𝐻⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷.则𝑉1=13𝐴𝐵×𝐵𝐶×𝐹

𝐻，𝑉2=13×(12𝐸𝐹×𝐻𝐹)×𝐵𝐶∴𝑉1𝑉2=2𝐴𝐵𝐸𝐹=621.解(1)如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝9，∴BD＝3.∵BC＝CD，∠BCD＝2π3，∴∠CBD＝∠CDB＝π6，又∠CDE＝2π3

，∴∠BDE＝π2，在Rt△BDE中，BE＝BD2＋DE2＝5.故服务通道BE的长度为5km.(2)在△BAE中，∠BAE＝2π3，BE＝5，∠AEB＝π4，由正弦定理得，BEsin2π3＝BAsinπ4，即532＝BA22，得BA＝563，故赛道BA的长度为

563km.22.(1)连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为A1B的中点，∵D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面BCC1B

1⊥平面ABC，且BC为它们的交线，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，又∵B1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，且AD＝23，B1D＝25.同理可得，过D作DG⊥AB，则DG⊥面ABB1A1，且DG＝3.

设A1到平面AB1D的距离为h，由等体积法可得：VA1－AB1D＝VD－AA1B1，即13·12·AD·DB1·h＝13·12·AA1·A1B1·DG，即23·25·h＝4·4·3，∴h＝455.即点A1到平面AB1D的距离为455.