【文档说明】浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期暑假返校联考数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.550 MB，由小赞的店铺上传

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浙江省A9协作体暑假返校联考高二数学试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.3．答题时，请按照答题纸上“注意事项

”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.4．考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷一、单选题1.若()()21i1iz−=+，则复数z的虚部为（）A.iB.1C.1−D.i−【答案】B【解析】

【分析】根据复数的除法求复数z，进而结合虚部的概念分析求解.【详解】由题意可得：()()()()()21i1i2i1i1i1i1iz+==+−−−++=，所以复数z的虚部为1.故选：B.2.如图所示，等腰梯形

ABCD是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，242ADBC==，则平面图形ABCD的面积为（）A.122B.12C.62D.6【答案】A【解析】【分析】根据直观图画出原图，由此计算出ABCD的面积.【详解】

在直观图中，4222222AB−==，在原图中，42,22ADBC==，4AB=，所以平面图形ABCD的面积为224241222+=.故选：A3.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B=“第二枚骰子偶数面朝上”，事件C=“

两枚骰子向上点数之和为7”.则下列结论正确的是（）A.A与B对立B.A与C互斥C.()15PC=D.B与C独立【答案】D【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件、古典概率、相互独立事件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，事件A=“第一枚骰子奇数面朝上”，

事件B=“第二枚骰子偶数面朝上”，两个事件可以同时发生，即“第一枚骰子奇数面朝上，第二枚骰子偶数面朝上”，所以A与B不是对立事件，A选项错误.B选项，事件A=“第一枚骰子奇数面朝上”，事件C=“两枚骰子向上点数之和为7”，两个事件可以同时发生，如“第一枚骰子为1点，第二骰子为6点”，所

以A与C不是互斥事件，B选项错误.基本事件的总数为6636=，事件C=“两枚骰子向上点数之和为7”，包含的基本事件为：()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3，共6个，所

以()61366PC==，C选项错误.事件B=“第二枚骰子偶数面朝上”，则()3162PB==，事件BC=“第二枚骰子偶数面朝上，两枚骰子向上点数之和为7”，包含的基本事件为：()()()5,2,3,4,1,6，所以()313612PBC==，所以()()()PBCPBPC=，所以B与C独立

，所以D选项正确.故选：D4.已知向量()2,1a=r，()1,2b=，若c是a在b上的投影向量，则c=（）A.255,55B.525,55C.48,55D.24,55【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算可得,abb

，进而结合投影向量的概念运算求解.【详解】由题意可得：2221124,125abb=+==+=rrr，所以2448,555abcbbb===rrrrrr.故选：C.5.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为,,abc，222bcabc

=−−，21a=，3b=，将该三角形绕AC边旋转360得一个旋转体，则该旋转体体积为（）A.43πB.33πC.23πD.3π【答案】B【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得2π,233Ac==，进而可得该旋转体为大圆锥CO去掉小圆锥AO，结合圆锥的体积公式

运算求解.【详解】因为222bcabc=−−，即222bcabc+−=−，由余弦定理可得2221cos222bcabcAbcbc+−−===−，且()0,πA，可得2π3A=，又因为21a=，3b=，则23213cc=−−，

即23180cc+−=，解得23c=或33c=−（舍去），如图，将该三角形绕AC边旋转360得一个旋转体，则该旋转体为大圆锥CO去掉小圆锥AO，可得cos603,sin603AOABBOAB====，则23COCAAO=+=，大圆锥CO的底面半径为3，高为23，体积为

119π2363π3V==，小圆锥AO的底面半径为3，高为3，体积为219π333π3V==，所以该旋转体体积为1263π33π33πVVV=−=−=.故选：B.6.一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为6，另一个数由12改为

10，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为（）A.4B.3C.4−D.3−【答案】C【解析】【分析】根据方差的计算公式求得两组数据的方差，进而求得正确答案.【详解】设原来的数据为,,,,4,12abcd，平均数为14121666abc

dabcdx+++++++++==，方差为()()()()()()222222111111214126axbxcxdxxxS−+−+−+−+−+−=新的数据为,,,,6,10abcd，平均数为216101666abcdabcdxx+++++++++==

=，方差为()()()()()()222222111111226106axbxcxdxxxS−+−+−+−+−+−=，所以()()()()222211112221610412244666xxxxSS−+−−+−−−=−==−.故选：C7.如图

，点A、B、C、M、N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足．．．直线//MN平面ABC的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理、面面平行的性质可确定正确选项．【详解】对

于A选项，如下图所示，在正方体DMEFGPQT−中，//QTEF且QTEF=，因为B、C分别为QT、EF的中点，则//BQEC且BQEC=，所以，四边形BCEQ为平行四边形，所以//BCEQ，因为BC平面EMPQ，EQ平面EMPQ，所以，//BC平面EMPQ，同理可证//AB

平面EMPQ，因为ABBCB=，AB、BC平面ABC，所以，平面//EMPQ平面ABC，因为MN平面EMPQ，故//MN平面ABC，故A满足；对于B选项，如下图所示，连接PT，在正方体DECFGPQT−中，//PEFT且PEFT=，因为A、B分

别为PE、FT的中点，则//PABT且PABT=，所以四边形PABT为平行四边形，故//ABPT，因为M、N分别为GP、GT的中点，则//MNPT，所以，//MNAB，因为MN平面ABC，AB平面ABC，所以，//MN平面ABC，故B满足；对于C选项，如下图所示，在

正方体DMKNGPQT−中，取GT的中点F，连接AF、BF、PT，因为//PGKN且PGKN=，A、C分别为PG、KN的中点，所以//AGCN且AGCN=，故四边形ACNG为平行四边形，则//ACGN

，因为F、B分别为GT、TN的中点，所以，//BFGN，则//BFAC，所以，A、C、B、F四点共面，因为//PMNT且PMNT=，则四边形PMNT为平行四边形，所以//PTMN，因为A、F分别为PG、GT的中点，则//AFPT，所以，//MNAF，因为MN平面ABC，AF平

面ABC，所以，//MN平面ABC，故C满足；对于D选项，如下图所示，在正方体DEKFGPQT−中，取EK的中点H，连接BH、HM、CN、PT、EF、BN，因为//PEFT且PEFT=，B、N分别为PE、FT的中点，则//PBTN且

PBTN=，所以四边形PBNT为平行四边形，则//BNPT，因为A、C分别为GP、GT的中点，所以//ACPT，故//ACBN，所以，A、B、N、C四点共面，同理可证//MHBN，故//ACMH，同理可得/

/ABMN，反设MN平面ABC，因为//MNAB，且AB平面ABC，则//MN平面ABC，但MN与平面ABC有公共点N，这与//MN平面ABC矛盾，故MN平面ABC，故D不满足．故选：D．8.五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，,33AB

ABEF==uuuruuur，△ADE与BCF△都是边长为2的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A.27π2B.9πC.27π4D.9π2【答案】A【解析】【分析】找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根据题干信息得到各

边长，设出ONx=，利用半径列出方程，求出x，进而求出半径，外接球表面积.【详解】连接AC，BD交于点N，因为四边形ABCD为矩形，则点N为矩形ABCD的外接圆圆心，连接ON，则ON⊥平面ABCD，取AD，BC的中点分别为G，

H，连接EG，FH，则EFAB∥，ABGH∥，可得EFGH∥，因为BFC△，EAD为等边三角形，则FHBC⊥，BCGH⊥，且EHGHH=，,EHGH平面EFHG，所以BC⊥平面EFHG，且BC平面ABCD，可得平面ABCD⊥平面EFHG，因为N平面EFHG，且ON⊥平面A

BCD，所以ON平面EFHG，设ONEFM=I，又因为33,2ABEFAD===，则132AN=，12EMMF==，3FH=，所以EF到平面ABCD的距离为312MN=−=，设ONx=，（若点O与E、F同侧，则0x，若点O与E、F异侧，则0x）则2OMx=−，设外接球的半径

为R，因为OAOER==，则2222ANONEMOM=++，即()22131244xx+=+−，解得:24x=，所以222213127488RAOANON==+=+=，所以球O的表面积为2274ππ2R=.故选：A.二、多选题9.有一组样本数据1

2,,,nxxx，另一组样本数据12,,,nyyy，其中()21,2,,iiyxcin=−=，c为非零常数，则（）A.两组样本数据平均数相同B.两组样本数据方差相同C.两组样本数据中位数相等D.两组样本数据极差相同【答案】BD【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差，极差的概

念及性质逐项分析判断.【详解】设样本数据12,,,nxxx的平均数、中位数、方差，极差分别为2111,,,xasb，样本数据12,,,nyyy的平均数、中位数、方差，极差分别为2222,,,yasb，因为()21,2,,iiyx

cin=−=，且0c，对于选项A：可知2yxc=−，且0c，所以yx，故A错误；对于选项B：可知22222111sss==，故B正确；不妨设12nxxx因为2(1,2,)iiyxcin=−=，

则两组数据相对大小关系不变，所以12nyyy，对于选项C：可知：212aac=−，且0c，所以21aa，故C错误；对于选项D：可知：11nbxx=−，()()2111122nnnbyyxcxcxxb=−=−−−=−=，即21bb=，故D正确；故选：BD.10.在复

平面内，复数13i22z=+，则（）A.z的模长为1B.z在复平面内对应的点在第二象限C.RzzD.复数满足1z−=，则max2=【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的模、复数对应点所在象限、共轭复数、复数乘法、复数模的几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详

解】A选项，13i22z=+，2213122z=+=，A选项正确.B选项，z对应点为13,22，在第一象限，B选项错误.C选项，22131R221313ii2222zz=+−=+=

，C选项正确.D选项，设ixy=+，1z−=，表示点(),xy与13,22的距离等于1，所以点(),xy在以13,22为圆心，半径为1的圆上，由于13,22到原点的距离为1，所以以13

,22为圆心，半径为1的圆经过原点，所以的最大值等于这个圆的直径2，所以D选项正确.故选：ACD11.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则（）A.已知l=，m

=，n=I，若lmP=，则PnB.若,,l=⊥⊥，则l⊥C.若,,//mnlm⊥⊥，则//lnD.若//,//l，则//l【答案】AC【解析】【分析】根据空间中线面关系逐项分析判断.【详解】对于选项A：若lmP=，则,PlP

m，又因为l=，m=，则,lm，可得,PP，且n=I，所以Pn，故A正确；对于选项B：例如正三棱柱中，,为侧面，为底面，符合条件，显然底边的棱与侧面不垂直，故B错误；对于选项C：若,mn⊥⊥，则m∥n，又因为l∥m，所以l∥n，故C正确；对于

选项D：若//,//l，则//l或l，故D错误；故选：AC.12.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，则（）A若AB，则sin2sin2ABB.若1ABCS=△，1a=，则

sinA最大值为817C.若23a=，4b=，π4A=，则满足条件的三角形有两个D.若0ABACBCABAC+=，且12ABACABAC=，则ABC为等边三角形【答案】BCD【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、向量运算等知识对

选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若AB，如πππ,,2π,2242ABAB====，sin20,sin21,sin2sin2ABAB==，所以A选项错误.B选项，1sin21,2sinABCScA

bcbA===，余弦定理得22221cos,2cos12bcAbcAbcbc+−==+−，22222cos12121sinsinAbcbcAA=+−−=−，.即4cos41sinsinAAA−，

当且仅当bc=时等号成立，由于三角形中，sin0A，所以14cos4sin,cos1sin04AAAA−−，则221cos1sin4AA−，又22cos1sinAA=−，即2211sin1sin4AA−−，整理得17

sin1sin08AA−，记得80sin17A，所以sinA的最大值为817，所以B选项正确.C选项，若23a=，4b=，π4A=，则2sin4222bA==，所以sinbAab，所以满足条件的三角形有两个，所以C

选项正确.D选项，ABAB表示AB方向的单位向量；ACACuuuruuur表示AC方向的单位向量，根据平面向量加法的几何意义可知ABACABAC+与BAC的角平分线共线，由0ABACBCABAC+=可知BAC的角平分线与BC垂直，所以三角形ABC是等腰三角形.而111cosc

os02ABACAAABAC===，所以A为锐角，且π3A=，所以三角形ABC是等边三角形.故选：BCD【点睛】三角形的面积公式有多种表现形式，如12aah、1sin2abC、海伦公式等等，在解题的过程中，要选取合适的公式来对问题进行求解.在解三角形的过程

中，根据三角函数值求角，要注意解的个数是否唯一.第Ⅱ卷三、填空题13.复数12i+是关于x的方程20(,R)xpxqpq++=的一个根，则pq+=_________．【答案】3【解析】【分析】由根与方程的关系可得()0432ipqp−++=

+，解得25pq=−=即可计算出结果.【详解】由题意可得，将12i+代入方程20xpxq++=可得()()212i12i0pq++++=，整理得()0432ipqp−++=+；由复数概念可得30420pqp−+=+=，解得25pq=−=，

所以3pq+=.故答案为：314.某人在湖面之上2米处测得空中一气球的仰角为30°，且测得湖中气球倒影的俯角为60°，若不考虑水的折射和球的体积，则气球离水面的高度为______米．【答案】4【解析】【分析】结合题意作出示意图，利用直角三角形

中正切函数的定义得到关于气球离水面的高度的方程，解之即可.【详解】结合题意作出示意图，易知点C与点D关于湖面BM对称，则CMDM=，2AB=，30CAE=，60DAE=o，故2,2CECMEMCMA

BCMDEDMABCM=−=−=−=+=+，在RtACE中，tan30CEAE=，即3tan30CEAECE==，在RtADE△中，tan60DEAE=，3tan603DEAEDE==，故333CEDE=，则3DECE=，即()232CMCM+=−，故4CM=，所

以气球离水面的高度为4.故答案为：4.15.在ABC中，内角,,ABC所对应的边分别为,,abc，7a=，2b=，2CB=，则AB的长为______．【答案】274+【解析】分析】根据倍角公式结合正、余弦定理运算求解.【详解】因为2CB=，则sinsin22sincos

CBBB==，由正弦定理可得：2coscbB=，由余弦定理可得：()22222222bacbacbcbacac+−+−==，即()22747ccc+−=，整理得()2726c−=，解得274c=+，所以AB的长为274+.故答案为：274+.

16.已知三棱锥ABCD中，ABCD⊥，且CD与平面ABD所成角余弦值为35，当ABDABCSS取得最大值时，二面角CABD−−的正弦值为______．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用二面角的定义结合导数研究函数的最值解三角形即可.【详解】【如图

所示，作CEAB⊥于E点，连接DE，作CFDE⊥于F点，因为,,ABCDCECDCCECD⊥=、面CDE，所以AB⊥面CDE，DECF、面CDE，即DEAB⊥，CFAB⊥，又ABDEEABDE=，、面ABD，即CF⊥面ABD，故CD与平面ABD所成角为CDF，即3cos5CDF=，①

先讨论F在线段DE上时，不妨设()3,0DFEFxx==，则24,5,16CFCDCEx===+，易知2316ABDABCSDExSCEx+==+VV，设()()()22223163161616xxxx

xfxfxxx++−++==++，令()0fx¢>，可得()222231616163316xxxxxxxx+++++，即()fx在160,3上单调递增，令()160,3fxx+，即此时函数()fx单调递减，故当

163x=时，ABDABCSS取得最大值，又易知二面角CABD−−的平面角为DEC，此时243sin516163DEC==+.②如图所示，当F位于DE延长线上时，同①，不妨设()3,0DFEFxx==，则24,5,16CFCDCEx===+，易知2316ABDAB

CSDExSCEx−==+VV，设()()()22223163161616xxxxxfxfxxx−−+−−+==++，令()0fx，可得()222231616316xxxxxxx−−++−+恒成立，即()fx在()0,

+上单调递减，则()fx无最值；故答案为：35.四、解答题17.已知向量a与b的夹角为2π3=，且3a=，b是单位向量.（1）分别求ab和ab−的值；（2）若kab+与2ab−共线，求k.【答案】（1）32ab=−，13ab−=（2）12k=−【解析】【分析】（1）利用数量积的定义求

解ab，根据2()abab−=−求解ab−；（2）由向量共线，结合平面向量基本定理列出方程组求解.【小问1详解】3cos,31122ababab==−=−，2223()21193ababaabb−==−+++=−=.【小问2详解】若kab+与2ab−共线，则存在，使得

()2kabab+=−，即()()120kab−++=，又因为向量a与b不共线，所以0120k−=+=，解得1212k=−=−，所以12k=−.18.杭州2022年第19届亚运会将于2023年

9月23日至10月8日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某大学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于6

0分的人数；（2）试估计这100名学生成绩的第75百分位数；（3）若采用分层抽样的方法从成绩在)70,80，)80,90，90,100的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人成绩都在

80,100的概率．【答案】（1）18人（2）82.5（3）15【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可得解；（2）由百分位数的定义直接计算即可；（3）根据分层抽样，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图中数据可知：0.0020.0

16)1010018()+=（人【小问2详解】成绩小于80的频率为10(0.0020.0160.0220.030)0.7+++=，成绩在)80,90的频率为100.0200.2=，因为0.70.750.9，所以这100名学生成绩的第75百分位

数在)80,90内，所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为0.750.7801082.50.90.7−+=−.【小问3详解】因为成绩在)70,80，)80,90，90,100的学生人数所占比例为3:2:1，所以从成

绩在)70,80，)80,90，90,100所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人.记抽取成绩在)70,803人为,,abc，成绩在80,100为,,DEF.从这6人中随机抽取2人的所有可能为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a

bacaDaEaFbcbDbE(,),(,),(,)bFcDcE,(,)(,),(,),(,)cFDEDFEF，共15种，抽取的2人成绩都在80,100的是(,),(,),(,)DEDFEF，共3种，抽取的2人成绩都在80,100的概率为31155=

.19.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3tantancoscABaB+=．（1）求角A；（2）若6a=，2c=，BAC的角平分线交BC于D，求AD的长．【答案】（1）π3；（2

）2【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可；（2）先利用余弦定理可得13b=+，再结合面积关系运算求解.【小问1详解】因为3tantancoscABaB+=，由正弦定理可得：sinsin3sincoscossincosABCABAB+=，且sinsinsincoscossi

nsin()sincoscoscoscoscoscoscoscosABABABABCABABABAB+++===，的即sin3sincoscossincosCCABAB=，又因为0πC，则sin0C，可知cos0B，可得tan

3A=，又因为0πA，所以π3A=.【小问2详解】由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，即226222cos60bb=+−o，则2220bb−−=，且0b，解得：13b=+，根据面积关系可得ABCABDACDSSS=+，即11

12sin602sin30sin30222bADADb=+，解得：()2313323312bADb+===++．20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD=，点F为棱

PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E．（1）求证：//EFAD；（2）若PBFD⊥，2AE=，求证：平面PAD⊥平面ABCD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证得//AD平面PBC，然后利用线面平行的性质定理来

证得//EFAD.（2）通过证明AP⊥平面ABCD来证得平面PAD⊥平面ABCD．【小问1详解】因为底面ABCD是正方形，所以//ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以//AD平面PBC，又因为平面ADF与PB交于点E，AD平面ADFE，平面PBC平面ADFEEF=，所以//E

FAD．【小问2详解】侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD=，即2PAAD==，PAAD⊥，因为ADAB⊥，PAABA=，且两直线在平面PAB内，可得AD⊥平面PAB，因为PB平面PAB，则ADPB⊥．又因为PB

FD⊥，ADFDD=，且两直线在平面ADFE内，则PB⊥平面ADFE，因为AE平面ADFE，则PBAE⊥，因为PAAB=，所以PAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点.又因为2AE=，所以PAB为等腰直角三角形，因为,,ADAPABAPADABAADAB⊥

⊥=，，I平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，因为AP平面APD，所以面APD⊥平面ABCD.21.如图，在ABC中，3,2ABAC==，π3BAC=，点D，E分别在AB，AC上且满足2ABAD=，3ACAE=，点F在线段DE上．（1

）若13AFABAC=+uuuruuuruuur，求；（2）若DFDE=，且BFCF⊥求；（3）求BFCF的最小值．【答案】（1）19=（2）12=（3）116−【解析】【分析】（1）设DFtFE=uuuruuur，[0,1]t，跟

向量的线性运算可得12(1)3(1)tAFABACtt=+++uuuruuuruuur，结合平面向量基本定理列式求解；（2）先用,ABAC表示,BFCF，再根据垂直关系可求得1t=，进而可得结果；（3）取BC中点H，根据题意分析可得274BFCFHF−=uuuruuuruuur，可知H在D

E上的垂足为F时，HFuuur最小，运算求解即可.【小问1详解】点F在线段DE上，则[0,1]t，使得DFtFE=uuuruuur，则AFADtAEtAF−=−uuuruuuruuuruuur，可得111tA

FADAEtt=+++uuuruuuruuur，又因为2ABAD=，3ACAE=，则12(1)3(1)tAFABACtt=+++uuuruuuruuur，可得()()1121331ttt=+=+，解得1219t==，所以19=

.【小问2详解】由（1）可知：12(1)3(1)tAFABACtt=+++uuuruuuruuur，则212(1)3(1)ttBFAFABABACtt+=−=−+++uuuuuuruuuruuurruuur，

1232(1)3(1)tABCFAFtAACtC+−++=−=uuuruuuruuuruuuruuur，由题意可知：,23ABAC==uuuruuur，则cos3ABACABACBAC==uuuruuuruuuruuur，因为BFCF⊥，即0BFCF=

uuuruuur，可得2222222112321493232(1)3(1)2(1)3(1)4(1)6(1)9()01tttttttABACABACABABACACttttttt++++++−+−=−−++++++++=uuuruuuruuu

ruuuruuuruuuruuuruuur即22222149323(1)2(1)(1)0ttttttt++++−−++++=，整理得2450tt+−=，解得1t=或54t=−，又因为[0,1]t，所以1t=

，即DFFE=uuuruuur，则12DFDE=uuuruuur，所以12=.【小问3详解】在ABC中，由余弦定理可求得214922372BC=+−=，所以7BC=，取BC中点H，则2BFCFHF+=uuuruuuru

uur，因为()()2222211144447BFCFBFCFBFCFHFBCHF=+−−=−−=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，可知若BFCF最小，即2HFuuur最小，因为,BDADBHHC==，则1322DHAC==

，由113AEADAC===，60BAC=，则ADEV为等边三角形，可得1DE=，根据中位线可知，DH∥AC，则13,2260HHDEDAC===o，在HDEV中，根据余弦定理可得293171214224HE=+

−=，所以72HE=，则791144cos077214HED+−==，且()0,πHED，可知HED为锐角，又因为60HDE=，故过H作HDEV的高线时，垂足点落在线段DE上，由题意可知：当垂足点为F时，12HFBFCF=+uuuruuuruuur最小，最小值为

33sin604HFDH==ouuuruuur，所以BFCF的最小值为277116416−=−.22.如图1，在矩形ABCD中，已知22,2ABBC==，E为AB的中点.将ADEV沿DE向上翻折，进而得到多面体1ABCDE−（如图2）.（1）

当平面1ADE⊥平面BED，求直线1AC与平面BCD所成角的正切值；（2）在翻折过程中，求二面角1ADCB−−的最大值.【答案】（1）12（2）π4【解析】【分析】（1）在图1中，可得ACDE⊥，进而

可证1AF⊥面BCD，即1ACF是直线1AC与平面BCD所成角，运算求解即可；（2）根据垂直关系分析可得1AGH是二面角1ACDB−−的平面角，设1,(0,π)AFC=，可得13sintan2cosAGH=−，结合三角恒等变换可得10tan1AGH，进而可得结果

.【小问1详解】在图1中，连接AC交DE于点F，则222tan2,tan2222ADBCAEDCABAEAB======，可知tantan1AEDCAB=，可得ACDE⊥，则233AF=，433CF=，因为平面1ADE⊥平面BCD，平面1A

DE平面BCDDE=，1AF平面1ADE，所以1AF⊥面BCD.则1ACF是直线1AC与平面BCD所成角，所以111tan2AFACDCF==.【小问2详解】如图2，过1A作1AHFC⊥，垂足为H，过H作HGDC⊥，垂足为G，连接1AG

.由（1）可知：DECF⊥，1DEAF⊥，1CFAFF=，1,CFAF平面1AFC，则DE⊥平面1AFC，且1AH平面1AFC，可得1AHDE⊥.且1AHFC⊥，FCDEF=I，,DEFC平面BCDE，所以1AH⊥平面BCDE.由CD平面BCDE，可得1AH

CD⊥.且HGCD⊥，1AHHGH=，1,AHHG平面1AHG，所以CD⊥平面1AHG，由1AG平面1AHG，可得1CDAG⊥，所以1AGH是二面角1ACDB−−的平面角，设1,(0,π)AFC=，由（1）可知：2343,33AFFC==，

在直角三角形1AFH中，123sin3AH=，则23(2cos)3CHFCFH=−=−，因为HGDC⊥，则//HGAD，可得HGCHADCA=，所以2(2cos)3CHADHGCA==−，在直角

三角形1AHG中，113sintan2cosAHAGHHG==−.设3sin,(0,π)2cosy=−，则23sincos3sin()2yyy+=++=，即22sin()13yy+=+，解得01y，当π3=时，等号成立，所以10tan1AGH，又因1

π0,2AGH，则1π04AGH，为所以二面角1ADCB−−的最大值为π4.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com