【文档说明】《【补习教材·寒假作业】九年级数学（苏科版）》《新九年级数学暑假精品课程（苏科版）》第02讲 反比例函数（解析版）.doc，共(22)页，1.404 MB，由管理员店铺上传

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1第02讲反比例函数（复习课）【基础知识】1、反比例函数的概念一般地，函数xky=（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1−=kxy的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例

函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支

无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数)0(=kxkyk的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象

限内，y随x的增大而减小。①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定函数表达式是

的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(=kxky图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，

则所得的矩形PMON的面积S=PM•PN=xyxy=•。kSkxyxky===,,。【考点剖析】考点一：反比例函数例1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）2A．12yx=B．21yx=−C．13yx=+D．12yx=+【答案

】A【分析】根据反比例函数的定义式对各项进行判断即可得到结论．【详解】解：A、由12yx=得：xy=12，即x与y成反比例，y是x的反比例函数，正确；B、由21yx=−知，y与x2成反比例；y不是x的反比例函数，故不合题意；C、由13yx=+知y与x+3

成反比例，y不是x的反比例函数，故不合题意；D、由12yx=+知，y-2与x成反比例，y不是x的反比例函数，故不合题意；故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．考点二：反比例函数图像与性质例2．若点()()(

)1232,,1,,3yyy−,在反比例函数3yx=的图象上，则123,,yyy的大小关系是（）A．123yyyB．321yyyC．213yyyD．132yyy【答案】D【分析】分别把2x=−，1x=，3x=代入解析式得：

132y=−，23y=，333y=，然后比较函数值的大小即可．【详解】解：分别把2x=−，1x=，3x=代入解析式得：132y=−，23y=，333y=，3∵33323−，∴132yyy．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数函数函数值比较，熟知反比例函数值比较大小方

法是解题的关键．考点三：用反比例函数解决问题例3记面积为224cm的平行四边形的一条边长为()cmx，这条边上的高线长为()cmy．（1）求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围．（2）求当边长满足38x时，这条边上的高线长y的取值范围．【答案】（1

）24yx=（0x）；（2）38y【分析】（1）由平行四边形的面积公式列出x与y的方程，进而求得结果；（2）根据反比例函数的性质进行解答．【详解】解：（1）∵平行四边形的面积为224cm，∴24xy=，即24yx=；

自变量x的取值范围0x．（2）当3x=可得2483y==；当8x=可得2438y==；∵240，∴当38x时，y随x的增大而减少，∴y的取值范围为38y．4【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．掌握反比例函数的性质以及平行四边形的面积

公式是解答本题的关键．【真题演练】一、选择题1．若反比例函数kyx=的图象经过点（2，1），则它的图象也一定经过的点是（）A．（－1，－2）B．（2，－1）C．（1，－2）D．（－2，1）【答案】A【分析】根据反比例函数中k=xy的特点进

行解答即可．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（2，1），∴k=2×1=2，A、∵-1×（-2）=2，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；B、∵2×（-1）=-2≠2，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、∵1×（-2）=-2≠2

，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵-2×1=-2≠2，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上k=xy，且保持不变．2．若反比例函数3kyx+=的图象经过第二、第

四象限，则关于x的一次函数()21ykxk=++−的图象可能是（）5A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用一次函数以及反比例函数的图象性质得出答案．【详解】解：∵反比例函数y3kx+=的图象经过第二、第四象限，∴k+3＜0

，解得：k＜﹣3，则k+2＜0，1﹣k＞0，∴关于x的一次函数y＝（k+2）x+1﹣k的图象经过一、二、四象限，图象可能是：．故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的图象性质，正确得出k的取值范围是解题关键．3．若点()1,3Ax−，()2,2Bx−，()3,1Cx都在反

比例函数10yx=的图象上，则1x，2x，3x的大小关系是（）A．213xxxB．312xxx6C．123xxxD．231xxx【答案】A【分析】将点()()()123,3,,2,,1

AxBxCx−−分别代入反比例函数10yx=，求得123,,xxx的值后，再来比较一下它们的大小．【详解】解：∵点()()()123,3,,2,,1AxBxCx−−都在反比例函数10yx=的图象上，∴1103x−=，即1103x=−；2102x−=，即25x=

−；3101x=，即310x=；∵105103−−，∴213xxx；故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．二、填空题4．直线ykx=与双曲线(0)kykx=

交于A、B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为__________．【答案】(1,4)−−【分析】将点A的纵坐标4y=代入解析式可求出点A横坐标值x值，再由点A与点B关于原点对称，再即可得出点B的坐标．【详解】7解：Q直线ykx=与双曲线(0)ky

kx=交于点A，B，点A的纵坐标为4，∴44kxkx==，解得：14xk==，14xk=−=−（不合题意，舍去），∴点A的坐标为(1,4)，∵正比例函数图像和反比例函数图像都是关于原点对称，

∴点A与点B关于原点对称，点B的坐标为(1,4)−−，故答案为：(1,4)−−．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．5．如图，已知A为反比例函数()0kyxx=的图像上一点，过点A作

ABy⊥轴，垂足为B．若OABV的面积为3，则k的值为______．【答案】-6【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到12|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【详解】解：∵AB⊥y轴，8∴S△OAB＝12|k|＝3，而k＜0，∴k＝−6．故答案为

−6．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点

和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．6．正比例函数y＝3x与反比例函数kyx=（k≠0）的图象有一个交点是（3，9），则它们的另一个交点坐标为_________．【答案】（－3，－9）【分析】根据交点坐标，确定反比例函数的解析式，联立两个函数的解析式，求方程

的解，得到另一个交点坐标．【详解】∵比例函数y＝3x与反比例函数kyx=（k≠0）的图象有一个交点是（3，9），∴k=3×9=27，∴27yx=，∴27x=3x，解得x=3或x=-3,经检验x=3或x=-3都是原方程的根，当x=-3时，y=273−=-9,∴它们的另一个交点坐标为

（－3，－9）．故答案为：（－3，－9）．【点睛】本题考查了正比例函数，反比例函数交点坐标的求解，灵活运用待定系数法确定函数的解析式，构造分式9方程求解是解题的关键．三、解答题7．如图，过点()2,2P−分别作x轴，y轴的垂线，交双曲线()0kykx=于E，F两点．（

1）若2k=，求点E，F的坐标；（2）若52EF=，求此双曲线的解析式．【答案】（1）()2,1E−−，()1,2F；（2）6yx=【分析】（1）根据()22P−，，可推出E点横坐标为-2，F点纵坐标2，再代入解析式中即可求出E、F坐标；（2）表示出E、F坐标，应用勾股

定理以及题干52EF=即可求出k的值．【详解】解：（1）若2k=，则2yx=，∵()22P−，，∴E点横坐标为-2，F点纵坐标2，∴当2x=−时，1y=−；当2y=时，1x=，故()21E−−，；()12F，．（2）因为E、F都

在kyx=上，故可设22kE−−，，22kF，，∴2222225222kkEFFPEP=+=+++=，10解得：6k=或14=−k，∵反比例函数图象在第一、三象限，∴0k，∴6k=，故此双曲线的解析式为：6yx=．【点睛】本题考查反比例函数图

象上点的坐标特征，两点的距离公式以及勾股定理．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．8．一次函数ykxb=+的图象与反比例函数2yx−=的图象相交于()()1,,1AmBn−−､两点．（

1）求这个一次函数的表达式；（2）在图中画出两个函数图象的草图，并据此直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．【答案】（1）1yx=−+；（2）见解析，1x−或02x【分析】（1）先把A（-1，m），B（n，-1）

分别代入反比例函数解析式可求出m、n，于是确定A点坐标为（-1，2），B点坐标为（2，-1），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）画图函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：（1）把()1,Am−、(),1Bn−分别代入2yx−=，

得2,2mn−=−−=−，解得2,2mn==，∴A点坐标为()1,2−，B点坐标为()2,1−，11把()1,2A−、()2,1B−分别代入ykxb=+得221kbkb−+=+=−，解得11kb=−=，∴这个一次函数的表达

式为1yx=−+；（2）图象如图所示；当1x−或02x时，一次函数的值大于反比例函数的值．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．

9．一辆小型客车从甲地出发前往乙地，如以100km/h的平均速度则6h到达目的地．（1）当小型客车从乙地返回时，它的平均速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）小型客车上午8时从乙地出发．①小型客车需在当天14

点15分至15点30分间（含14点15分与15点30分）返回甲地，求其行驶平均速度v的取值范围；②如小型客车的最高限速是120km/h，该小型客车能否在当天12点30分前返回甲地？请说明理由．【答案】（1）v=600t；（2）①小型客车行驶速度v的范围为：80≤v≤96；②小型客

车不会在当天12点30分前返回甲地，理由见解析．【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2）①8点至14点15分时间长为254小时，8点至15点30分时间长为152小时，将它们分别代入v关于t12的函数表达式，即可得行驶

的速度范围；②8点至12点30分时间长为92小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．【详解】解：（1）Q路程1006600()vtkm===，v关于t的函数表达式为：600vt=．（2）①8点至14点15分时间长为254小时，8点至15

点30分时间长为152小时，将152t=代入600vt=得80v=；将254t=代入600vt=得96v=．小型客车行驶速度v的范围为：8096v剟．②小型客车不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至12点30分时间长为92小时，将92t=代入600vt=得4001203v=

千米/小时，超速了．故小型客车不会在当天12点30分前返回甲地．【点睛】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题．【过关检测】一、选择题1．反比例函数6yx=图象经过（）13A．()2,4B．()2,3C．()3,2−D．()6,1−【答案】

B【分析】根据k=xy对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：∵反比例函数y=6x，∴k=6，A、∵2×4=8≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；B、∵2×3=6，∴此点在函数图象上，故本选项正确；C、∵3×（

-2）=-6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；D、∵-6×1=-6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．2．已知正比

例函数1y的图象与反比例函数2y的图象相交于点(2,4)A，下面四个判断正确的有（）①反比例函数2y的解析式是28yx=−②两个函数图象还有另一交点，且坐标为(2,4)−−③当2x−或02x时，12yy④正比例函数1y与反比例函数2y都随x的增大而增大A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．【详解】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），∴正比例函数y1=2x，反比例函数y2=8x，故①错误；∴两个函数图象的另一个交点为（-2，-4），故②正确；14

∵正比例函数y1=2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2=8x中，在每个象限内y随x的增大而减小，故④错误；当x＜-2或0＜x＜2时，y1＜y2，故③正确；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运

用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．3．如图，正比例函数11ykx=的图象与反比例函数22kyx=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为2−，当12yy时，x的取值范围是（）A．2x−或2xB．2x−或02xC．20x−或

02xD．20x−或2x【答案】B【分析】由反比例函数的对称性，可以得出点A的横坐标，再根据图象就可以写出y1＜y2时，x的取值范围．【详解】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，由图象可得，当y1＜y2时，x＜-2或0＜x＜2，故选：B．【点睛

】本题考查反比例函数的图象和性质，理解当一次函数的值小于反比例函数的值时，相应的自变量的取值范围，从图象上可以直观得到．15二、填空题4．反比例函数(0)kykx=的图像经过点()()2,3,1,−ABm，

则m的值为________．【答案】-6【分析】把A点坐标代入解析式，然后求x=1时函数值即可．【详解】解：把A点坐标（-2，3）代入解析式得k=（-2）×3=-6，∴反比例函数6yx=−，∵()1,Bm在反比例函数6yx=−上，∴661m=−=−．故答案为：-6．【点睛】本题主要考查求反比例函

数解析式，和函数值，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．5．一次函数11ykxb=+和()2220kykx=相交于(1,)Am，(3,)Bn两点，则不等式21kkxbx+的解集为________．【答案】1＜x＜3或x＜0【分析】画出草图，在图象上找出一次函数图象在反比例函数图象上

方时x的范围即可．【详解】解：如图，由图象可得：不等式21kkxbx+的解集为是1＜x＜3或x＜0．故答案为：1＜x＜3或x＜0．16【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，数形结合是数学中重要的思想方法．6．如图，A、B是反比例函数

kyx=在第一象限内图象上的两点，过点A作ACx⊥轴，交OB于点D，垂足为点C，BEx⊥轴．若12ODDB=，且OAD△的面积为13，则k的值为____．【答案】34【分析】由平行线分线段成比例定理求得13ODOCCDOBOEBE===，设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用三角形AD

O的面积建立方程求出mn=112，即可得出结论．【详解】解：∵ACx⊥轴，BEx⊥轴，12ODDB=∴AC∥BE17∴13ODOCCDOBOEBE===设点B（3m，3n），则D（m，n），A（m，km

），∴9mn=k，∴A（m，9n）∵△ADO的面积为13，∴S△AOD=12AD•OC=12（9n-n）×m=13，∴mn=112，∴k=9mn=93=124，故答案为：34．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键

是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．三、解答题7．如图所示，直线12yx=与反比例函数(k0,x0)kyx=的图象交于点(4,)Qa，点(,)Pmn是反比例函数图象上一点，且2nm=．（1）求反比例函数和直线PQ的解析式；（2

）若点M在x轴上，使得PMQV的面积为3，求点M的坐标．【答案】（1）8(0)yxx=，6yx=−+；（2）点M的坐标为(3,0)或(9,0)【分析】（1）先求解Q的坐标，再求解反比例函数解析式，结合2nm=，再求解P的坐标，从而可得答案；（2）先求解直线PQ交

x轴的交点A的坐标，设(,0)Ma，由PQMPAMQAMSSS=−VVV且PMQV的面积为183，列方程，再解方程可得答案．【详解】解：（1）∵直线12yx=与反比例函数(k0,x0)kyx=的图象交于点(4,)Qa，142,

2a==．则()4,2,Q24k=8,k=反比例函数的解析式为8(0)yxx=，Q点(,)Pmn是反比例函数图象上一点，8mn=，且2,0nmm=，2,4,(2,4)mnP==；设直线PQ的解析式为,ykxb=+24

42kbkb=+=+解得16kb=−=，∴直线PQ的解析式为6yx=−+，（2）∵直线PQ交x轴于点A，∴令0,60yx=−+=，得6x=，如图，(6,0)A，设(,0)Ma，PQMPAMQAMSSS=−VVVQ且PMQV的面积为3，1

9113|6|4|6|222aa=−−−，3a=或9a=，∴点M的坐标为(3,0)或(9,0)．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，掌握利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用面积列方程是解题的关键．8．如图，点A为反

比例函数8yx=（0x）图象上一点，点B为反比例函数kyx=（0x）图象上一点，直线AB过原点O，且，则2OAOB=，则k的值为_____．【答案】2【分析】因为所求反比例函数图象在第三象限，所以0k，

点A在函数8yx=上，则点的横坐标和纵坐标围成的三角形面积为矩形面积的一半，同理点B的横纵坐标围成的三角形面积为2k，通过构造三角形相似，即可求解．【详解】如图：过点A做ACx⊥轴于点C，过点B做BDx⊥轴于点D，ACx⊥Q轴，BDx⊥轴，90,90ACOBDO==oo∠∠，20又AOC

BOD=Q，AOCBODV:V，24AOCBODSOASOB==△△Q点A为反比例函数8yx=()0x上的一点，1842AOCS==△，12BODkS==△，2k=，又Q函数图像在第三象限0k2k=【点睛】本题考查的是反比例函数上点的几何意义，以

及相似三角形的性质，能够根据题意画出辅助线证明相似是解题关键．9．有这样一个问题：探究函数31yx=−的图象与性质，并解决问题：小聪根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）函数31yx=−的自变量x的取值范围是_____

；（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中，其中m的值为_____；x…－2－112−012325234…y…1322366m321…（3）如下图，根据（2）中表里各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；21（4）获得性质，解决问题：①通过观察、分

析、证明，可知函数31yx=−的图象是轴对称图形，它的对称轴是_____；②若点M（1x，1y）、N（2x，2y）在函数31yx=−的图象上，且1＜2x＜1x，则1y____2y（填“＜”或“＞”）．【答案】（1）x≠1；（2）2；（

3）见解析；（4）①x＝1；②＜【分析】（1）根据分母不等于零解答；（2）将32x=代入31yx=−计算即可；（3）顺次连接各点即可；（4）①根据图象的对称性直接解答即可；②利用图象的增减性解答．【详解】解：（1）∵10x−，∴1x；故答案为：1x；（2）将32x=代入3

1yx=−，得y=2，故答案为：2；22（3）图象如图：（4）①由图象可得：图象的对称轴为直线x=1，故答案为：x=1；②由图象可知：当x>1时，y随x的增大而减小，∵1＜2x＜1x，∴1y<2y，故答案为：<．【点

睛】此题考查分式的分母不等于零的性质，利用描点法画函数图象，对称图形的性质，函数的增减性判定函数值的大小，考查的是函数的基础知识点．