【文档说明】《【补习教材·寒假作业】九年级数学（苏科版）》《新九年级数学暑假精品课程（苏科版）》第03讲 分式（解析版）.doc，共(15)页，616.558 KB，由管理员店铺上传

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1第03讲分式（复习课）【基础知识】一、分式1、分式的概念一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成BA的形式，如果B中含有字母，式子BA就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。2、分式

的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算法则;;bcadcdbadcbabdacdcba===);()(为整数nbabannn=

;cbacbca=bdbcaddcba=二、分式方程1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程

两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。【

考点剖析】考点一：分式的概念性质例1．下列各式：15（1﹣x），43x−，222xy−，1x+x，23xx，其中是分式的有_____个．【答案】2【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2【详解】解：15（1﹣x），43x−，222xy−，分母中

都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．1x+x，23xx，分母中含有字母，因此是分式．分式有两个，故答案为：2．【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以43x−，不是分式，是整式．考点二：分式的运算例2．分式化简：（x﹣1

＋11x+）÷221xxx++．【答案】2xx+【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式＝2111xx−++•1(2)xxx++＝21xx+•1(2)xxx++＝2xx+．【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．考点三：分式

方程3例3.解方程：3123xxx=−+−．【答案】12x=−．【分析】根据解分式方程的步骤计算即可，注意验根．【详解】3123xxx=−+−，两边同时乘以(2)(3)xx+−得：(3)(2)(3)3(2)xxxxx−=+−−+．去括号得：223636xxxx

x−=−−−−．移项、合并同类项得：12x=−．经检验12x=−，是原方程的解．【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．考点三：分式方程的应用例4．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品

每件提高3美元，结果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，设A类商品出口的原价为m美元/件，根据题意可列分式方程为（）A．9007503mm=+B．9007503mm=+C．9007503mm=−D．9007503mm=−【答案】A【分析】设A

类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为(3)m+美元/件，根据数量=总价单价，结合现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，即可得出关于m的分式方程，此题得解．【详解】4解：设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为(3)m+美

元/件，依题意得：9007503mm=+．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【真题演练】1．下列各式变形正确的是（）A．632xxx=B．1xyxy−+=−−C．xmm

xnn+=+D．22xyxyxy+=++【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行约分即可．【详解】解：A、结果为x4，故本选项错误；B、结果是-1，故本选项正确；C、xmxn++不能约分，故本选项错误；D、22xyxy++不能约分，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了分式的基本性质的应

用，主要考查学生对分式的基本性质的理解能力和应用能力．2．对于分式1aa+，下列叙述正确的是（）5A．当0a=是，分式无意义B．存在a的值，使分式1aa+的值为1C．当1a=−时，分式值为0D．当1a−时分式有意义【答案】D

【分析】分式有意义，分式的分母不等于零．【详解】解：A、当0a=时，分母10a+，分式有意义．故本选项错误；B、当1aa+的值为1时，1aa=+，不存在这样的a值．故本选项错误；C、当1a=−时，分母10a+=，分式无意义．故本选项错误；D、当10a+即1a−时分式有意义．故

本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了分式．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．3．解分式方程22111xxx+=−−，可知方程的解为（）A．1x=B．3x=C．12x=D．无

解【答案】D【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．【详解】解：去分母得：2−2x＝x−1，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x−1＝0，故此方程无解．故选：D．【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确掌

握解题步骤是解题关键．6二、填空题4．分式方程112(1)(2)xmxxx−=−−+有增根，则m的值为________．【答案】6或0【分析】方程两边都乘以最简公分母2（x-1）（x+2）把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可

得解．【详解】解：方程两边都乘以2（x-1）（x+2）得，2x（x+2）-2（x-1）（x+2）=m，2x2+4x-2x2-2x+4=m，m=2x+4，∵分式方程有增根，∴（x-1）（x+2）=0，∴x-1=0，x+2=0，解得x1=1，x2=-

2，当x1=1时，m=2x+4=2+4=6，当x2=-2时，m=2x+4=-4+4=0，所以m的值为6或0．故答案为：6或0．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值，确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为

整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5．化简：22baabba+=−−______．【答案】ab−−【分析】将原式进行通分，利用同分母分式的减法法则计算，再进行因式分解化简得出答案即可．【详解】解：原式=22−−−baabab7=2

2baab−−=()()abbaab+−−=()()ababab+−−−=ab−−．故答案为ab−−．【点睛】本题考查了分式加减运算，因式分解．解题的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．6．随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需

求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件，依据题意列出关于x的方程________．【答案】4005

0030xx=+【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x＋30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解

：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x＋30）万件产品，依题意，得：40050030xx=+．故答案为：40050030xx=+．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．三、解答题7．解方程：3123xxx

=−+−．【答案】12x=−．8【分析】根据解分式方程的步骤计算即可，注意验根．【详解】3123xxx=−+−，两边同时乘以(2)(3)xx+−得：(3)(2)(3)3(2)xxxxx−=+−−+．去括号得：223636xxxxx−=−−−−．移项、合并同类项得：12x=−．经检验12x

=−，是原方程的解．【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．8．先化简：2222214424xxxxxxxx−−−−+−−，再从不等式组23x−中选取一个合适的整数，代入求值．【答案

】2xx+，-1【分析】先将括号内的异分母分式通分，除式的分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分，结果化为最简分式或整式；求出不等式的整数解，从中选择符合条件的x值，代入求得化简后的分式或整

式的值．【详解】解：原式2222(2)(2)(2)(1)xxxxxxxx−−++−=−−2(1)(2)(2)(2)(2)(1)xxxxxxx−−+−=−−x2x+=．不等式组23x−的整数解为-2，-1，0，1，2，其中2,0,1,2

x=−时，原式都没有意义，∴当1x=−时，原式1211−+==−−．【点睛】9本题考查了因式分解、分式的化简求值、一元一次不等式的整数解、分式有意义的条件等知识点，熟知分式的化简方法和步骤是化简的基础；确定符合条件的x值是求

值的关键．9．为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同．（1）请

问甲，乙两种果树苗的单价各为多少元？（2）如果该单位计划购买甲，乙两种水果树苗共5500棵，总费用不超过92500元，则甲种果树苗最多可以购买多少棵？【答案】（1）甲种果树苗的单价为25元，则乙种果树苗的单价为15元；（2）甲种果树苗最多可以购买1000棵．【分析】（1）

设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为（x-10）元，根据“用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同”列出方程并解答；（2）设甲种果树苗可以购买y棵，根据“总费用不超过92500元”列出不等式并解答即可．【详解】解

：（1）设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为（x-10）元，根据题意，得50030010xx=−．解得x=25，经检验x=25是原方程的解，则x-10=15，答：甲种果树苗的单价为25元，则乙种果树苗的单价为15元；（2）设甲种果树苗可以购买y棵，根据题意，得

25y+15(5500-y)≤92500，解得y≤1000，答：甲种果树苗最多可以购买1000棵．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出方程和不等式是解题的关键．10【过关检测】1．化简333mmm−−−的结果是（）A．1B．－

1C．3D．－3【答案】B【分析】同分母分式的减法运算，分母不变，分子相减，注意结果进行化简．【详解】解：33=1333mmmmm−−=−−−−故选：B．【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握运算法则准确计算是解题关键．2．若代数式11xx−+值为零，则（）A．1

x=−B．1x=C．1x=D．1x【答案】B【分析】根据题意得到10x−=且10x+，求出x，问题得解．【详解】解：由题意得，10x−=且10x+，解得x=1．故选：B【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，即：（1）

分子等于0；（2）分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可，据此可以解答本题．3．2020年在抗击“新型冠状病毒”期间，甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资，甲单独11整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完

工，则根据题意列得方程（）A．2020140x+=B．202030140x++=C．2030140x+=D．203030140x++=【答案】B【分析】根据已知及所设，可分别得甲、乙整理的工作效率为1

40和1x，再根据甲、乙分别整理的物资的和等于这批物资，则可得方程．【详解】由甲单独整理需要40分钟完工，则甲的工作效率为140；乙单独整理这批物资需要x分钟完工，则乙整理的工作效率为1x根据等量关系：甲整理的物资+乙整理的物资=1得方程：202030

140x++=故选：B．【点睛】本题考查了分式方程在实际生活中的应用，这是一个典型的工程问题应用问题，关键是清楚：无论是合作或是既有合作也有单独作，基本的等量关系是：各自完成的工作量之和为1．二、填空题4．若分式211xx−+的值为0，则x的值是__________

___．【答案】1【分析】根据分式的值为0的条件和分式有意义条件得出1-x2=0且x+1≠0，再求出即可．【详解】12解：∵分式211xx−+的值为0，∴1-x2=0且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1．【点睛】本题考查分式的值为零的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出1-

x2=0且x+1≠0是解题的关键．5．若114mn+=，则分式225mnmnmn+−−−的值为________．【答案】34−【分析】由114mn+=可得4mnmn+=，再将原分式的分子、分母化为含有()mn+的代数式，进而整体代换求出结果即可．【详解】解：Q114mn

+=，4mnmn+=，即4mnmn+=，原式2()5()mnmnmn+−=−+854mnmnmn−=−34mnmn=−34=−，故答案为：34−．【点睛】本题考查分式的值，理解分式有意义的条件，掌握分式值的计算方法是解

决问题的关键．6．若关于x的分式方程244mxxx−=−−的解为非负数，则m的取值范围是__________．【答案】8m−且4m−【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．13【

详解】解：方程两边都乘以（x﹣4）得：m+x＝2（x﹣4），解得：x＝m+8．∵x﹣4≠0，∴m+8﹣4≠0，∴m≠﹣4；∵分式方程的解为非负数，∴m+8≥0，∴m≥﹣8．故答案为：m≥﹣8且m≠﹣4．【点睛】本题考查了分式方程的解，根

据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．三、解答题7．解方程：21133xxxx=+++．【答案】32x=−【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足.【详解】解：方程两边都乘()31x+

，得：()3231xxx−=+，解得：32x=−，经检验32x=−是方程的解，原方程的解为32x=−．【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验.8．已知：2122Taaa=−+．（1）化简T；14（2）当260a+=时，求T的值．【答案】（1）12a+；（2）-

1【分析】（1）根据分式的减法可以化简题目中的式子；（2）根据260a+=，可以得到a的值，然后将a的值代入（1）中化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）2122Taaa=−+12(2)aaa=−+22(2

)aaa+−=+(2)aaa=+12a=+；（2）当260a+=时，3a=−，当3a=−时，1132T==−−+，即T的值是-1．【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式的运算法则是解答本题的关键．9．在抗击“新型冠状病毒

”期间，某车间接受到一种零件的加工任务，该任务由甲、乙两人来完成，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，现两人各加工300个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有150

0个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【答案】（1）甲每天加工30个零件，乙每天加工20个零件；（2）40天【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加

工1.5x个零件，根据“两人各加工300个这种零件，甲比乙少用515天”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设甲加工了y天，则乙加工了15003020y−天，根据总加工费不超过7800元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详

解】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，依题意得：30030051.5xx−=，解得：20x=，经检验，20x=是原方程的解，且符合题意，∴1.530x=．答：甲每天加工30个零件，乙每天加工20个零件；（2）设甲加工了y天，则乙加工了15003020y−天，依题意得

：150030150120780020yy−+，解得：40y．答：甲至少加工了40天．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不

等式．