【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（讲） Word版含解析.docx，共(13)页，1.300 MB，由小赞的店铺上传

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第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）思维导图知识梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4

：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a

′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；②范围：0，π2．(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系

图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β

＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a题型归纳题型1平面的基本性质及应用【例1-1】（2020春•海安市校级月考）如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且::1:2BGGCDHHC==．（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）设FG与HE交于点

P，求证：P、A、C三点共线．【分析】（1）推导出//EFBD，//GHBD，从而//EFGH，由此能证明E、F、G、H四点共面．（2）由FGHEP=，PFG，PHE，从而P平面ABC，P平面ADC，推导出P直线AC．由此能证明P、A、C三点共线．【解答】证明：（1）ABD

中，E、F为AD、AB中点，//EFBD．CBD中，::1:2BGGCDHHC==，//GHBD，//EFGH（平行线公理），E、F、G、H四点共面．（2）FGHEP=，PFG，PHE，P平

面ABC，P平面ADC，又平面ABC平面ADCAC=，P直线AC．P、A、C三点共线．【跟踪训练1-1】（2020•汕头二模）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，2AB=，13AA=，点G为正方形ABCD的中心，点E为11A

D的中点，点F为AE的中点，则()A．C、E、F、G四点共面，且CFEG=B．C、E、F、G四点共面，且CFEGC．C、E、F、G四点不共面，且CFEG=D．C、E、F、G四点不共面，且CFEG【分析】根据AC，AE确定平面ACE即可判断四点共面，利用勾股定理

计算EG、CF得出FG和CF是否相等．【解答】解：连接AC，CE，G是正方形ABCD的中心，G直线AC，又AC平面ACE，G平面ACE，又F直线AE，F平面ACE，又C平面ACE，E平面ACE，C、E、F、G四点共

面．取AD的中点M，连接EM，GM，则3EM=，1GM=，222EGEMGM=+=，取AM的中点N，连接FN，CN，则32FN=，2235()222CN=+=，227CFFNCN=+=．EGCF．故选：B．【跟

踪训练1-2】（2019秋•乐山期末）如图所示，正方体1111ABCDABCD−中，1AC与截面1DBC交于O点，AC，BD交于M点，求证：1C，O，M三点共线．【分析】欲证1C，O，M三点共线，只须证它们都在平面11

AACC与平面1DBC的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明1C，O，M三点是平面11AACC与平面1DBC的公共点即可．【解答】证明：如图，因为1C平面11AACC，且1C平面1DBC，1C是平面11AACC与平面1DBC的公共点，又因为MAC，所以M

平面11AACC，MBD，M平面1DBC，M也是平面11AACC与平面1DBC的公共点，1CM是平面11AACC与平面1DBC交线，O是1AC与平面1DBC的交点，O平面11AACC，O平面1DBC，

O也是平面11AACC与平面1DBC的公共点，O直线1CM，即1C，O，M三点共线．【名师指导】1．证明点或线共面问题的2种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所

有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的2种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．题型2空间

两直线位置关系的判定【例2-1】（2020•广元模拟）如图，在四棱锥PABCD−中，底面为梯形，//ADBC，3AD=，6BC=，E，F分别为棱PB，PC的中点，则()A．AEDF，且直线AE，FD是共面直线B

．AEDF，且直线AE，FD是异面直线C．AEDF=，且直线AE，FD是异面直线D．AEDF=，且直线AE，FD是共面直线【分析】可连接EF，根据条件即可说明四边形ADFE是平行四边形，从而得出AEDF=，且直线AE，FD是共面直线．【解答】解：如图，连接EF，E，F分别为棱P

B，PC的中点，//ADBC，3AD=，6BC=，//EFBC，12EFBC=，//EFAD，且EFAD=，四边形ADFE是平行四边形，AEDF=，且//AEDF，AE，FD是共面直线．故选：D．【跟踪训练2-1】（2020•泸

州模拟）正方体1111ABCDABCD−，下列命题中正确的是()A．AC与1BC相交直线且垂直B．AC与1AD是异面直线且垂直C．1BD与BC是相交直线且垂直D．AC与1BD是异面直线且垂直【分析】分别求出AC与1BC、AC与1AD、1BD与B

C所成角判断A、B、C错误；证明AC与1BD垂直判断D正确．【解答】解：如图，连接1AB，可得△1ABC为正三角形，可得AC与1BC是相交直线且成60角，故A错误；11//ADBC，AC与1AD是异面直线且成60角，故B错误；

1BD与BC是相交直线，所成角为1DBC，其正切值为2，故C错误；连接BD，可知BDAC⊥，则1BDAC⊥，可知AC与1BD是异面直线且垂直，故D正确．故选：D．【跟踪训练2-2】（2019秋•吉林期

末）如图，正方体1111ABCDABCD−的所有棱中，其所在的直线与直线1BA成异面直线的共有条．【分析】由异面直线的定义可以直接得到结果．【解答】解：正方体1111ABCDABCD−的共有12条棱中，1BA成异面直线的有：AD，DC，11BC，11CD，1C

C，1DD，共6条．故答案为：6．【跟踪训练2-3】（2019秋•武邑县校级期末）在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有．（填上所有正确答案的序号）【分析】图（1）中，直线//GHMN，图（2）中M面GHN，图（3）

中//GMHN，图（4）中，H面GMN．【解答】解析：如题干图（1）中，直线//GHMN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，//GMHN，因此，GH与MN共面；图（

4）中，G、M、N共面，但H面GMN，GH与MN异面．所以图（2）、（4）中GH与MN异面．故答案为：（2）、（4）【名师指导】异面直线的判定方法题型3求异面直线所成的角【例3-1】（2020春•赤峰期末）在正方体1111ABCDAB

CD−中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与1DD所成角的正切值为()A．22B．22C．52D．72【分析】连结AC，AE，由11//DDCC，得到AEC是异面直线AE与1DD所成角（或所成角的补角），再求出异面直线AE与1DD所成角的正切值．【解答】解：在正方体111

1ABCDABCD−，中，E为棱1CC的中点，连结AC，AE，11//DDCC，AEC是异面直线AE与1DD所成角（或所成角的补角），设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则222222AC=+=，1CE=，tan22ACAECCE==．则异面直线AE与1

DD所成角的正切值为22．故选：B．【例3-2】（2020春•让胡路区校级期末）在空间四边形ABCD中，已知2AD=，22BC=，E，F分别是AB，CD的中点，5EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为()A．6B．3C．4D．34【分析】取BD中点O，

连结EO、FO、EF，则//OEAD，//OFBC，从而EOF是异面直线AD与BC所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线AD与BC所成角．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO、EF，2AD=

，22BC=，E，F分别是AB，CD的中点，5EF=，//OEAD，//OFBC，EOF是异面直线AD与BC所成角（或所成角的补角），112OEAD==，122OFBC==，2221252cos22212OEOFEFEOFOEOF

+−+−===−，34EOF=，异面直线AD与BC所成角为：4EOF−=．故选：C．【跟踪训练3-1】（2020春•保山期末）如图所示，三棱柱111ABCABC−所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D，E分别为棱11AB，11BC的中点，则异面直线AD与BE所成角

的余弦值为()A．710B．3510C．155D．35【分析】取AC中点F，连接DE，EF，可得//ADEF，则异面直线AD与BE所成角为FEB，设三棱柱各棱长为2，求解三角形得答案．【解答】解：取AC中点F，连接DE，EF，D，E分别为棱11AB，

11BC的中点，11////DEACAC，111122DEACAC==．//DEAF且DEAF=，则四边形ADEF为平行四边形，则//ADEF．异面直线AD与BE所成角为FEB，连接BF．设三棱柱各棱长为2，

则5EFBE==，3BF=．在三角形BEF中，由余弦定理可得5537cos10255FEB+−==，即异面直线AD与BE所成角的余弦值为710．故选：A．【跟踪训练3-2】（2020春•玉林期末）在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，2PA=，四边形ABCD是

边长为2的正方形，E是PD的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值是()A．33B．23C．36D．26【分析】取CD的中点F，连接BF，EF．推导出//EFPC，得到BEF为异面直线BE与PC的所成

角（或补角），由此能求出异面直线BE与PC所成角的余弦值．【解答】解：如图，取CD的中点F，连接BF，EF．E是PD的中点，所以//EFPC，则BEF为异面直线BE与PC的所成角（或补角）．由题意可

得5BF=，1123322EFPC===，6BE=．在BEF中，由余弦定理可得6352cos3263BEF+−==．异面直线BE与PC所成角的余弦值是23．故选：B．【跟踪训练3-3】（2020春•尖山区校级期末）已

知三棱锥PABC−，PA⊥底面ABC，2PAAC==，底面ABC是等腰直角三角形，90BAC=，D是PC的中点．求（1）三棱锥PABC−的体积；（2）异面直线AD与PB所成角的大小．【分析】（1）推导出PA是平

面ABC的高，由此能求出三棱锥PABC−的体积．（2）取BC的中点E，连接AE，ED．推导出//DEPB，连接AE，则AD与PB成角即为AD与DE成角ADE．由此能求出异面直线AD与PB成角．【解答】解：（1）PA⊥平

面ABC，PA是平面ABC的高．13PABCABCVPAS−=，又ABC为等腰直角三角形，2ACAB==，12222ABCS==，又2PA=，142233PABCV−==．（2）取BC的中点E，连接AE，ED．D

、E是中点，DE是PBC中位线，//DEPB，连接AE，AD与PB成角即为AD与DE成角ADE．在ADE中，122DEPB==，2AD=，2AE=，60ADE=，异面直线AD与PB成角60．【名师指导】用平移法求异面直线所成的角的三步骤(1)

一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才

是要求的角．