【文档说明】吉林省吉化第一高级中学校2020-2021学年高一第二学期第一次月考数学答案.doc，共(16)页，1.213 MB，由小赞的店铺上传

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数学答案第I卷（选择题）一、单选题1．已知i是虚数单位，复数11zii=+−，则复数z的虚部是（）A．12−B．32C．32−D．2【答案】C【解析】试题分析：复数()()111311122iziiiiii+=+=+=+−−+,复数1322zi=−,则

复数z的虚部:32−,故选C.考点：1、复数代数形式的乘除运算；2、复数的基本慨念.2．已知向量(2,1)a=−−r，),2(b=，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）.A．(1,4)(4,)

−+B．(2,)+C．(1,)−+D．(,1)−−【答案】A【分析】根据题意可知，0ab且,ab不共线，列式即可解出．【详解】依题可得，0ab且,ab不共线，即()2202210−−−−−，解得1

−且4．故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用，数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示，属于基础题．3．在ABC中，若点D满足3BDDC=，点E为AC的中点，则ED=（）A．1144ABAC+

B．1536ABAC+C．1344ABAC−+D．1536ABAC−+【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.【详解】111111()242444EDECCDACCBACABACABAC=

+=+=+−=+uuuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuuruuuruuur.故选：A4．已知向量(2,1)a=−，(3,2)b=−，(1,)cm=，若()abc−⊥，则||c=（）A．1B．2C．3D．

2【答案】B【详解】由题设可得()1,1ab−=−，因为()abc−⊥，故1110m−+=，解得1m=，所以()1,1c=，故2c=.故选：B5．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45．

已知小车的速度是20km/h，且33cos8AOB=−，则此山的高PO=（）A．1kmB．2km2C．3kmD．2km【答案】A【分析】由题意作图可得60APO=，45BPO=，设POh=，在RtP

OA△，RtPOB中求出3AOh=，BOh=，在AOB中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO⊥平面AOB，903060APO=−=，904545BPO=−=，7.5202.560AB==km，设

POh=，在POA中，tanAOAPOPO=，tan60AOh=，所以3AOh=，在POB中，tanBOBPOPO=，tan45BOh=，所以BOh=，在AOB中，由余弦定理可得：2222cosABAOBOAOABOOB=+−，所以()2222.5323338h

hhh=+−−，即2252544h=，解得：1h=，所以山的高1PO=，故选：A.6．已知方程220xxa+−=，其中0a＜，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是()A．该方

程一定有一对共轭虚根B．该方程可能有两个正实根C．该方程两根的实部之和等于-2D．若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1【答案】C【解析】【分析】一元二次方程的根与判别式有关,令0即可判断有实数根的情况;当时,求得两个虚数根,

即可判断选项.【详解】因为方程220xxa+−=,0a＜判别式44aD=+当0时,即1a−时方程有实数根.所以A错误;由韦达定理可知两个实数根的和为2−,所以不可能有两个正实数根,所以B错误;当时,方程有两个虚数根,由求根公式可得()4

412axi−+=−,所以两个根的实部和为2−；虚数根的模为()244112a−++＞,模长一定大于1,所以D错误综上可知,C选项正确故选:C【点睛】本题考查了一元二次方程的在0与时根的分布情况

,虚数根的求法,属于基础题.7．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是（）A．5B．2C．7D．3【答案】D【分析】利用复数模的几何意义，将复数模的最小值问题转化为动点到两定点的距离差最小，

即可求最小值.【详解】|z|＝2表示复数z在圆224xy+=上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)的距离，∴当且仅当复数z所在的点在原点与(－3,4)构成的线段上，|z＋3－4i|的最小.故|z＋3－4i|的最小值为22(3)423d=−+−=.故选：D

8．在ABC中，角ABC，，的对边分别为abc，，，已知25c=，且2sincossinsinaCBaAbB=−+5sin2bC，点O满足0OAOBOC++=，3cos8CAO=，则ABC的面积为（）A．553B．35C．52D．55【答案】D【分析】运用正弦定理和余弦定

理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由52sincossinsinsin2aCBaAbBbC=−+，可得222225222acbacabbcac+−=−+，即52cb=.又25c=，所以4b=．因为0OAOBOC++=，所以点O为ABC

的重心，所以3ABACAO+=，所以3ABAOAC=−，两边平方得22|9|6cosABAOAOACCAO=−2||AC+．因为3cos8CAO=，所以2223|9|6||8ABAOAOACAC=−+，于是29||AO−940AO−=，

所以43AO=，AOC△的面积为114sin4223AOACCAO=2355183−=.因为ABC的面积是AOC△面积的3倍.故ABC的面积为55．【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相

结合求解，属于难度题.二、多选题9．(多选题)已知向量,ab和实数λ，下列选项中正确的是（）A．22aa=B．abab=C．()abab+=+D．abab【答案】ACD【分析】根据数量积公式结合选项

一一判断即可.【详解】选项A中，22cos0aaaaaa===，A正确；选项B中，cosabab=，其中θ为a与b的夹角，故B错；选项C中，()abab+=+满足分配律，C正确；选项D中，cosababab=，正确.故选：ACD10．ABC的内角,,ABC的对

边分别为,,abc.若45A=o，10b=则结合a的值解三角形有两解，则a的值可以为（）A．7a=B．8a=C．9a=D．10a=【答案】BC【分析】根据正弦定理可得sinsinbABa=，再根据三角形有两解可得sin1B且ba

，即可求解.【详解】由正弦定理可得：sinsinabAB=，所以210sin522sinbABaaa===，因为ABC有两解，所以sin1B且ba，所以52sin1Ba=，10a，可得5210a，所以8a=和9a=符合题意，故选：BC.11．下面关于复

数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数zR，则zRB．若复数z满足2zR，则zRC．若复数z满足1Rz，则zRD．若复数1z，2z满足12zzR，则12zz=【答案】AC【分析】根据复数的运算法则，以及

复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，设复数(,)zabiabR=+，则(i,)zabab=−R，因为zR，所以0b=，因此zaR=，即A正确；B选项，设复数(,)zabiabR=+，则()22222zabiababi=+=−+，因为2zR

，所0ab=，若0,0ab=，则zR；故B错；C选项，设复数(,)zabiabR=+，则22222211abiabizabiababab−===−++++，因为1Rz，所以220bab=+，即0b=，所以zaR=；故C正确；D选项，设复数1

(,)zabiabR=+，2(,)zcdicdR=+，则()()()()12zzabicdiacbdadbci=++=−++，因为12zzR，所以0adbc+=，若11ab==，22cd==−能满足0adbc+=，但12zz，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关

命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.12．(多选题)已知12,ee是不共线的向量，下列向量,ab共线的有（）A．12,2aebe==−B．12123,26aeebee=−=−+C．1212313,242a

eebee=−=−D．1212,3aeebee=+=−【答案】BC【分析】根据向量的共线条件，以及向量的共线定理，逐项判定，即可求解.【详解】因为12,ee是不共线的向量，所以12,ee都不是零向量，对于A中，若a与b共线，则向量12,ee为共线向量，与已知矛盾，所以a与b不共线

；对于B中，因为1212262(3)2beeeea=−+=−−=−，所以a与b共线；对于C中，因为121212322(3)2343beeeea=−=−=，所以a与b共线；对于D中，若a与b共线，则存在事实R，使得λab=，即1212(3)eeee+=−，所以12(1)(13)0ee

+++=，因为12,ee是不共线的向量，所以10130+=+=，此时方程组无解，即不存在使得a与b共线.故选：BC.第II卷（非选择题）三、填空题13．已知向量()2,1a=−r，(),4bx=，若ab⊥，则x=______

____.【答案】2【分析】根据向量的垂直，则数量积0ab=，代入向量坐标即可得解.【详解】由ab⊥可得：()()2,1,4240abxx=−=−+=rr，所以2x=.故答案为：2.14．若23i−是方程()2

20,xpxqpqR++=的一个根，则pq+=______.【答案】38；【分析】假设另外一个根为z，根据zz是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为z，23i−是方程()220,xpxqpqR++=的

一个根，则()232232pizqiz−+=−−=①由,pqR，可知z是23i−的共轭复数，所以32zi=−−②把②代入①可知1226pq==所以38pq+=故答案为：38【点睛】本题重在考查zz是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题15．设,,abc分别是ABC

的内角,,ABC所对的边，已知2cos23aCbc=+，则角A的大小为______．【答案】56【分析】利用正弦定理和三角形内角和为，结合两角和的正弦公式化简，得出角A的大小．【详解】由正弦定理可得，2sincos2sin3s

inACBC=+，即()2sincos2sin3sinACACC=++化简得2cossin3sin0ACC+=，又sin0C，则3cos2A=−，即角A的大小为56故答案为：56四、双空题16．已知|a|＝2|b

|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为e−.（1）a与b的夹角θ＝________；（2）若向量λa＋b与向量a－3b互相垂直，则λ＝________.【答案】2347.【分析】（1）利用投影向量的定义可求夹角的余弦值，从而

可求夹角的大小.（2）利用两个向量的数量积为0可得关于的方程，其解即为所求的的值.【详解】（1）由题意知2,1ab==.又a在b方向上的投影向量为cosaeeb=−，所以cos1ab=−，故1cos2=−，而0

,，故23=.（2）因为ab+与3ab−互相垂直,所以()()30abab+−=即()221330aabb+−−=，整理得到()41330−−−=，故47=.【点睛】结论点睛：如果()()

1122,,,axybxy==，那么：（1）若//ab，则1221xyxy=；（2）若ab⊥，则12120xxyy+=.五、解答题17．已知复数22(32)(43),zmmmmimR=−++−+.（1）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；（2）若z是纯虚数，求m的值.【答案】（1）2

3m（2）2m=【分析】（1）实部大于零且虚部小于零得出m的范围；（2）实部等于零且虚部不为零得出m的范围；【详解】（1）由题意可得22320430mmmm−+−+，解得23m（2）由

题意可得22320430mmmm−+=−+，解得2m=18．已知向量a与b的夹角为120，2a=，1b=.（1）若2ab−；（2）若()()2atbab+⊥−，求实数t的值.【答案】（1）23；（2）3【分析】（1）先求出ab，再求出22ab−，即可得出结果；（2）由题可得()

()20atbab+−=，由此可求出t.【详解】（1）向量a与b的夹角为120，2a=，1b=，1=cos120=2112abab−=−，()222244441412abaabb−=−+=−−+=，223ab−=；（2）()()2atbab+⊥−，()()20

atbab+−=，即22220aabtabtb−+−=，24120tt+−−=，解得3t=.19．已知复数()()()1124zaiiiaR=++++.（1）若z在复平面中所对应的点在直线0xy−=

上，求a的值；（2）求1z−的取值范围.【答案】（1）1a=−；（2）72,2+.【分析】（1）化简z，得z在复平面中所对应的点的坐标，代入直线0xy−=计算；（2）代入模长公式表示出1z−，再利用二次函数的性质求解最值即可.【

详解】（1）化简得()()()11243(5)=++++=−++zaiiiaai，所以z在复平面中所对应的点的坐标为()3,5−+aa，在直线0xy−=上，所以3(5)0−−+=aa，得1a=−.（2）2221(2)(5)(

2)(5)2629−=−++=−++=++zaaiaaaa，因为aR，且24926292++aa，所以272126292−=++zaa，所以1z−的取值范围为72,2+.20．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q

三点共线．(1)设PGPQ=，将OG用，OP，OQ表示；(2)设OPxOA=，OQyOB=，证明：11xy+是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG的图形OPG，利用向量的加法法则知OGOPPG+＝，再根据PGPQ=和PQOQOP−＝即可（2）根据（1）结合OPx

OA=，OQyOB=知：()()11OGOPOQxOAyOB−+−+＝＝，再根据G是OAB的重心知：()2211133233OGOMOAOBOAOB++＝＝＝，最后根据OAOB、不共线得到关于xy，，的方程组即可求解【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)

＝(1－λ)＋λ.(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．21．某

人在池塘南岸A处看到北岸两个警示牌C、D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走了一段距离到达B处后再次观察警示牌C、D，此时二者分别在北偏西15°和北偏西60°方向，已知50CD=米.（1）

设ABx=米，求BC；（用x表示）（2）求此人向东实际走了多少米?【答案】（1）6=3BCx；（2）此人向东实际走了2015米.【分析】（1）在ABC中，用正弦定理求BC；（2）ABD△是直角三角形，用x表示BD，在CD△中，用余

弦定理列出方程，可解得x．【详解】（1）在ABC中，45CAB=，75ABC=，∴60ACB=，∵sinsinABBCACBCAB=，226=23332xBCxx==；（2）在ABD△中，60DAB=，30DBA=，∴90

ADB=，由（1）知，∵ABx=，∴3sin602BDxx==，在BCD△中，23BCx=，32BDx=，50CD=，45CBD=，∴2222cosCDBCBDBCBDCBD=+−，∴22233222500234223xxxx=+−，即

25250012x=，解得2015x=米，答：此人向东实际走了2015米．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，正确认识方位角是解题关键．22．设ABC的A、BÐ、C所对的边分别为a、b、c，且1cos2aCcb+=.(1)

求A的大小；(2)若1a=，求ABC内切圆半径R的最大值.【答案】（1）3A=（2）36【解析】【详解】（1）由正弦定理得1sincossinsin2ACCB+=.又()sinsinBAC=+，故原式变为11

sincossincos22CACA==.而A是三角形内角，故3A=.（2）由()12ABCSabcR=++，且13sin24ABCSbcAbc==，得3142bcbcR++=321bcRbc=++.而由余弦定理得

221bcbc=+−()213bcbc+=+()213bcbc+−=.于是，()316Rbc=+−.又因为22bcbc+，所以，()22132bcbc+−+.从而，02bc+.因此，max36R=.上式当且

仅当1bc==，即ABC为等边三角形时取得.