【文档说明】北京市房山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.726 MB，由小赞的店铺上传

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房山区中学2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研高二数学第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知()1,3A−，()3,5B，则线段AB的中点坐标为（）A.（1

，4）B.（2，1）C.（2，8）D.（4，2）【答案】A【解析】【分析】用中点坐标公式即可求解.【详解】设线段AB的中点坐标为(),Mab，则132352ab−+=+=，即14ab==，则线段AB的中点坐标为()1,4M.故选：A.2.如

图，平行六面体1111ABCDABCD−中，E为1CC中点．设ABa=，ADb=，1AAc=，用基底,,abc表示向量AE，则AE=（）A.abc++rrrB.12abc++C.12abc++D.12abc++【答案】B【解析】【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.【

详解】11122AEACCEABADAAabc=+=++=++.故选：B3.在如图所示的正方体1111ABCDABCD−中，异面直线1AB与1BC所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解

【详解】连接1AD，DB，如图，因为正方体中11//ADBC，所以1BAD就是1AB与1BC所成的角，在1BAD中，11ADABBD==.∴160BAD=.故选：C4.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，11AABC=（）A.22B.42C.2D.4【

答案】D【解析】【分析】根据向量数量积定义计算即可.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中,易知12AA=，122BC=因为11AABB=，1BB与1BC的夹角为π4，所以1AA与1BC的夹角为π4，1111π2cos222442AABCAAB

C===.故选：D5.如图，在四面体ABCD−中，AD⊥平面BCD，BCCD⊥，则下列叙述中错误的是（）A.ACD是直线AC与平面BCD所成角B.ABD是二面角ABCD−−的一个平面角C.线段AC的长是点A到直线BC的距离D.线段

AD的长是点A到平面BCD的距离【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直即可求解AD，根据BC⊥平面ACD，即可得BCAC⊥，进而判断C，结合二面角的定义即可判断B.【详解】对于AD，由于AD⊥平面BCD，所以ACD是直线AC与平面BCD所成角，线段AD的

长是点A到平面BCD的距离，故AD正确，对于B，AD⊥平面BCD，BC平面BCD,所以BCAD⊥,又BCCD⊥，,,ADCDDADCD=平面ACD，所以BC⊥平面ACD，CA平面ACD,故BCAC⊥,又BCCD⊥，AC平面ABC,CD平面BCD,故ACD是

二面角ABCD−−的一个平面角，故B错误，对于C，由于BCAC⊥，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，C正确,故选：B6.已知直线1l：()210xaya+−+=与直线2l：20axy++=平行，则

a的值为（）A.1−或2B.13C.2D.1−【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，即可列式求解.【详解】因为12ll//，所以2112aaa−=，解得：1a=−故选：D7.在同一平面直角坐标中，表示1l：yaxb=+与2l：ybxa=−的直线

可能正确的是（）A.B.C.D.【答案】C.【解析】【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y轴上的截距，即可判断.【详解】对于A：由图可得直线1l的斜率0a，在y轴上的截距0b；而2l的斜率0b，矛盾，故A错误．对于B：由图可得直线1l的斜率0a，在y轴

上的截距0b；而2l的斜率0b，矛盾，故B错误．对于C：由图可得直线1l的斜率a<0，在y轴上的截距0b；而2l的斜率0b，在y轴上的截距0a−，即a<0，故C正确．对于D：由图可得直线1l的斜率a<0，在y轴上的截距0b；而2l的斜率0b，矛盾，故D错误．故选：C．8.

长方体1111ABCDABCD−中，12AAAB==，M为AB的中点，1DMMC⊥，则AD=（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】连接1CD，设ADa=()0a，表示出CM，1CD，1MD，利用勾股定理计算可得.【详解】如图连接1CD，设ADa=()0a，则21CMa=+，

2212222=+=CD，22221125MDaa=++=+，因为1DMMC⊥，所以22211MCMDCD+=，即22158aa+++=，解得1a=（负值舍去）.故选：A9.设P为直线1y=−上的动点，过点P作圆C：()(

)22324xy++−=的切线，则切线长的最小值为（）A.2B.5C.3D.13【答案】B【解析】【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可.【详解

】圆心为()3,2C−，半径为2r=，设切点为Q，要使得切线长PQ最小，则CP最小，此时CPl⊥，所以2131CP+==，所以225PQCPr=−=，故选：B10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《

圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0kk且)1k的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A−，()2,0B，圆()()()221:204Cxymm−+−

=，在圆上存在点P满足2PAPB=，则实数m的取值范围是（）A.26,22B.521,42C.210,2D.521,22【答案】D【解析】【分析】设(),Pxy，根据2PAPB=求出点P的轨迹方程，根据

题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),Pxy，因为点()1,0A−，()2,0B，2PAPB=，所以()()2222122xyxy

++=−+即22650xyx+−+=，所以()2234xy−+=，可得圆心()3,0，半径2R=，由圆()()221:24Cxym−+−=可得圆心()2,Cm，半径12r=，因为在圆C上存在点P满足2PAPB=，所以圆()2234xy−+=与圆(

)()221:24Cxym−+−=有公共点，所以()2211232222m−−++，整理可得：2925144m+，解得：52122m，所以实数m的取值范围是521,22，故选：D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，

共30分．11.已知()2,1A，()0,3B−，则直线AB的斜率ABk=__________．【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.【详解】根据题意，1(3)220ABk−−==−，故答案为：2.12.已知()0,0A，()2,2B，()4,2C

，则ABC外接圆的方程为____________．【答案】22620xyxy+−+=【解析】【分析】首先设ABC外接圆的方程为220xyDxEyF++++=，从而得到044220164420FDEFDEF=++++=++++=，再解方程组即可.【详解】设ABC外接圆的方程为22

0xyDxEyF++++=，则064422021644200FDDEFEDEFF==−++++==++++==，所以ABC外接圆的方程为：22620xyxy+−+=.故答案为：22620xyxy+−

+=13.已知直线l与平面所成角为45，A，B是直线l上两点，且6AB=，则线段AB在平面内的射影的长等于____________．【答案】32【解析】【分析】依题意可得线段AB在平面内的射影的长等于45cosAB

.【详解】因为直线l与平面所成角为45，A，B是直线l上两点，且6AB=，则线段AB在平面内的射影的长等于245632s2coAB==.故答案为：3214.如图，长方体1111ABCDABCD−中，11AAAD==，2AB=，则点1D到点B的距离等于______

______；点1D到直线AC的距离等于____________．【答案】①.6②.355##355【解析】【分析】以向量DA，DC，1DD所在方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式可求点1D到点B的距离；连接1DA，作1DE垂直

AC，垂足为E，求出向量1ADuuur在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点1D到直线AC的距离.【详解】如图，以向量DA，DC，1DD所在方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由11AAAD==，2AB=，则()10,0,1D，()1,2,0B，所以1

1416DB=++=，所以点1D到点B的距离等于6.连接1DA，作1DE垂直AC，垂足为E，由()1,0,0A，()0,2,0C，所以()11,0,1AD=−，()1,2,0AC=−，所以11555ADACAEAC===，又12AD=，所以点1D到直线AC的距离135255d=−=.故答案

为：6；355.15.已知圆O：()2220xyrr+=和直线l：40xy−+=，则圆心O到直线l的距离等于_____________；若圆O上有且仅有两个点到直线l的距离为2，写出一个符合要求的实数r的值，r=_________

_____．【答案】①.22②.2（答案不唯一）.【解析】【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆O上有且仅有两个点到直线l的距离为2转化为半径与圆心O到直线l的距离之间的关系即可求解.【详解】圆心O到直线l距离为004221

1d−+==+；因为圆O上有且仅有两个点到直线l的距离为2，所以22dr−−，解得232r.故答案为：22；2（答案不唯一）.16.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，PAB是

等边三角形，O为AB的中点，且PO⊥底面ABCD，点F为棱PC上一点．给出下面四个结论：①对任意点F，都有CDOF⊥；的②存在点F，使//OF平面PAD；③二面角PACB−−的正切值为6；④平面PAB⊥平面ABCD．其中所有正确结论的序号是________

____．【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.【详解】对于①，若点F与点C重合，显然不满足CDOF⊥，所以①错；对于②，若点F为线段PC中点，取线段PD中点E，连接EF，则//

EFCD且12EFCD=，所以//EFAO且EFAO=，则四边形AOFE为平行四边形，得//OFAE，因为OF平面PAD，AE平面PAD，所以//OF平面PAD，所以②正确；对于③，因为O为AB的中点，且PO⊥底面ABCD，过O作OHAC⊥于H，则

PHO即为二面角PACB−−的平面角，根据边长可求得32PO=，24OH=，所以32tan624PHO==，所以③正确；对于④，因为PO⊥底面ABCD，PO平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD，所以④正确；故答案为：②③④三、解答题共5

小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知三条直线1l：20xy+−=，2l：3100xy−+=，3l：3450xy−+=．（1）求直线1l，2l的交点M的坐标；（2）求过点M且与直线3l平行的直线方程；（3）求

过点M且与直线3l垂直的直线方程．【答案】（1）()1,3M−（2）34150xy−+=（3）4350xy+−=【解析】【分析】（1）联立直线方程，即可求解；（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求

解；（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；【小问1详解】联立203100xyxy+−=−+=，解得13xy=−=，故交点M坐标()1,3M−；【小问2详解】所求直线与直线3l平行，则所求直线可设3405xy

CC−+=（），所求直线过点()1,3M−，则()31430C−−+=，解得15C=，故所求直线方程为34150xy−+=；【小问3详解】所求直线与直线3l垂直，则所求直线可设430xyD++=，所求直线过点()1,3M−，为则()41330D−++=，

解得5D=−，故所求直线方程为4350xy+−=．18.已知圆C的圆心为点()1,3C−，半径为2．（1）写出圆C的标准方程；（2）若直线l：20xy−−=与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．【答案】（1）()(

)22134xy−++=（2）22【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解；（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.【小问1详解】因为圆心()1,3C−，半径2r=，所以圆C的标准方程为(

)()22134xy−++=.【小问2详解】圆心C到直线l的距离13222d+−==，224222ABrd=−=−=，22AB=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，1==PAAB，M为PB的中

点．（1）求证：AM⊥平面PBC；（2）求直线PD与平面PBC所成角的大小；（3）求点D到平面PBC的距离．【答案】（1）见解析（2）π6（3）22【解析】【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量AM是平面P

BC的法向量，利用向量法求线面角的大小；（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.【小问1详解】因PA⊥平面ABCD，所以PABC⊥，又BCAB⊥，PAABA=，,PAAB平面PAB，所以BC⊥平面PAB，AM平面PAB，所以BCAM⊥

，因为PAAB=，且点M是PB的中点，所以AMPB⊥，且BCPBB=，,BCPB平面PBC，所以AM⊥平面PBC；【小问2详解】以点A为原点，以向量,,ABADAP为,,xyz轴方向向量，建立空间直角坐标系，()0,0,0A，11,0,22M，()0,0,1P，(

)0,1,0D，()1,0,0B，()1,1,0C，11,0,22AM=，()0,1,1PD=−，为的由（1）可知，向量AM是平面PBC的法向量，设直线PD与平面PBC所成角为，所以112sincos,2222PDAM−===,则π6=，所以直线PD与平面PBC所成角的大小

为π6；【小问3详解】因为1PAAD==，则2PD=，由（2）可知，直线PD与平面PBC所成角的大小为π6，所以点D到平面PBC的距离为π22sin62=.20.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1

AA⊥平面ABC，D是BC的中点，2BC=，11AAABAC===．（1）求证：1//AB平面1ADC；（2）求二面角1DACC−−的余弦值；（3）判断直线11AB与平面1ADC是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线11AB到平

面1ADC的距离．【答案】（1）见解析（2）33（3）相交，2AH=【解析】【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；（3）利用平面的性质，即可判断直线11A

B与平面1ADC的位置关系，并利用图形求解.【小问1详解】连结1AC交1AC于点E，连结DE，因为点,DE分别是1,BCAC的中点，所以1//DEAB，且DE平面1ADC，1AB平面1ADC，所以1//AB平面1ADC；【小问2详解】因为1ABAC==，2BC=，所以ABA

C⊥，且1AA⊥平面ABC，所以如图，以点A为原点，以向量1,,ABACAA为,,xyz轴的方向向量建立空间直角坐标系，()0,0,0A，11,,022D，()10,1,1C，11,,02

2AD=，()10,1,1AC=uuur，设平面1ADC的法向量为(),,mxyz=，则1110220ADmxyACmyz=+==+=，令1x=，则1y=−，1z=，所以平面1AD

C的法向量为()1,1,1m=−，平面1ACC的法向量()1,0,0n=，设二面角1DACC−−的平面角为，则13coscos,33mnmnmn====，所以二面角1DACC−−的余弦值为33；【小问3详解】如图，延长1CD交1BB于点G，连结GA并延长

，交11BA的延长线于点H，因为点D是BC的中点，所以11GBBB==，所以112BABH=，即111AHAA==，则22112AH=+=21.已知圆M：22420xyxy+−−=和直线l：1ykx=

−．（1）写出圆M的圆心和半径；（2）若在圆M上存在两点A，B关于直线l对称，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线AB的方程．【答案】（1）圆心为()2,1，半径为5（2）30xy+−=或0xy+=

【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；（2）推出直线l即为AB的垂直平分线，过圆心()2,1M，从而得到1k=，直线AB的斜率为1−，再结合图形，得到当AB过点M和过原点时，满足要求，得到答案.【小问1详解】22420xyxy+−−=变形为()()2221

5xy−+−=，故圆M的圆心为()2,1，半径为5；【小问2详解】由垂径定理可知，线段AB的垂直平分线一定过圆心()2,1M，又A，B关于直线l对称，故直线l即为AB的垂直平分线，所以直线l过点()2,1M，将其代入1ykx=−中得，211k−=，解得1k=，故

直线AB的斜率为1−，又以线段AB为直径的圆经过原点，圆M也经过原点，故当AB过点M时满足要求，此时直线AB的方程为()12yx−=−−，即30xy+−=，当当AB过原点时，也满足要求，此时直线AB的方程为()00yx−=−−，即0xy+=，综

上，直线AB的方程为30xy+−=或0xy+=.