【文档说明】山东省烟台市招远第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 word版含解析.docx，共(23)页，1.134 MB，由小赞的店铺上传

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2022～2023学年度第二学期期中高一数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色鉴字笔书写，要字迹工整，笔记清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选

择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.sin345=A.264−B.624−C.624+−D.624+【答案】A【解析】【分析】直接利用诱导公式以及

两角差的正弦公式即可求出．【详解】()()sin345sin36015sin15sin4530=−=−=−−23212622224−=−−=，故选A．【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用．2.设P为ABCDY对角线交点，O为任意一点，则OAOBOC

OD+++=（）A.OPB.2OPC.3OPD.4OP【答案】D【解析】【分析】分别在OAC和OBD中，根据P是平行四边形ABCD的对角线的交点，利用中点坐标公式求解.【详解】解：在OAC中，因为P是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以1()2OPOAO

C=+，即2OAOCOP+=．在OBD中，因为P是平行四边形ABCD的对角线的交点，的所以1()2OPOBOD=+，即2OBODOP+=．所以4OAOBOCODOP+++=．故选：D．3.已知()1,1a=，()2,1b=−，则b在a上的投影向量

为（）A.11,22−−B.()1,1−−C.11,22D.()1,1【答案】A【解析】【分析】由向量的投影向量公式直接求得.【详解】依题意b在a上的投影向量为()()2211111,11,1,2222baaa−+==−=−−.故选：A.4.在AB

C中，已知4cos5A=，1tan2B=，则()tanAC−=（）A.12B.12−C.112−D.112【答案】C【解析】【分析】由已知可推得3tan4A=，进而根据两角和的正切公式即可得出tan2C=−.然后根据两角差的正切公式即可得出答案.详解】由已知

可得sin0A.又因为4cos5A=，所以3sin5A=，所以3tan4A=.所以()()tantanπtanCABAB=−−=−+31tantan422311tantan142ABAB++=−=−=−−−，所以()tantantan1tantanACACA

C−−=+()()3211432124−−==−+−.故选：C.【5.已知()0,π，且3cos210cos1−=，则sin2=（）A.459B.459−C.429D.429−【答案】D【解析】【分析】使用二倍角公式得到关于cos一元二次方程，求解cos，再根据

同角三角函数的基本关系求出sin，最后根据二倍角正弦公式计算可得；【详解】由3cos210cos1−=得()232cos110cos1−−=，即23cos5cos20−−=，解得1cos3=−或cos2=（舍）.又()0,π，所以

22sin3=，所以42sin22sincos9==−.故选：D.6.已知函数()π32cos2sin232fxxx=−+−，则（）A.()fx最小正周期是πB.()fx在ππ,64

上单调递增C.()fx的图象关于点()ππ,0212kk+Z对称D.()fx在π,04−上的值域是31,2−【答案】B【解析】【分析】利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()πsin43fxx=−+

，利用正弦型函数最小正周期、单调性、对称中心和值域的求法依次判断各个选项即可.的【详解】()213332cos2sin2sin23sin2sin2cos22222fxxxxxxx=−−−=−

−3313πcos4sin4sin422223xxx=−−−=−+；对于A，()fx的最小正周期2ππ42T==，A错误；对于B，当ππ,64x时，π4π4π,33x+，此时πsin43yx=+单调递减，()fx\在ππ,6

4上单调递增，B正确；对于C，令()π4π3xkk+=Z，解得：()ππ412kxk=−Z，此时()0fx=，()fx\的图象关于点()ππ,0412kk−Z对称，C错误；对于D，当π,04x−时，π2ππ4,

333x+−，则π3sin41,32x+−，()fx\在π,04−上的值域为3,12−，D错误.故选：B.7.已知等边ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点

，PEAC⊥，垂足为E，当23PBPC=−时，PE=（）A.1233ABAC−+B.1136ABAC−+C.1163ABAC−+D.2133ABAC−+uuuruuur【答案】B【解析】【分析】设APAD=，由23PBP

C=−求出，得到P为ABC的重心，E为AC的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．【详解】解：设(01)APAD=，则PCACAPACAD=−=−，PBABAD=−，22()()PCPBACADABADACABACADABADAD=−−=−

−+=22322232336223−+=−+=−，291880−+=，23=或43=（舍去），P为ABC的重心，PEAC⊥，E为AC的中点，1212111()2323236PEAEAPACADACABACABAC=−=−=−+=−+，故选：B．8

.锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1a=，且coscos1bAB−=，则23sin2sinBA+的取值范围为（）A.()0,31+B.()2,31+C.(1,3D.(2,3【答案】B【解析】【分析】由正弦定理边化角可得2BA=，由ABC为锐角三角形可得

ππ64A，运用二倍角的正弦公式以及辅助角公式将已知式化为π2sin216A−+，再由三角函数的性质求解即可.【详解】因为在锐角ABC中，1a=，且coscos1bAB−=，所以coscosbAaBa−

=，则sincossincossinBAABA−=，所以()sinsinBAA−=，则BAA−=或πBAA−+=（舍去），所以2BA=，221cos23sin2sin3sin22sin3sin222ABAAAA−+=+=+

π3sin2cos212sin216AAA=−+=−+，因为ABC为锐角三角形，ππ3CABA=−−=−，所以ππ0022ππππ0022264ππ00π322AABAACA−，所以πππ2,663A−

，所以π13sin2,622A−，()π2sin21,36A−，()π2sin212,136A−++故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每

小題给出的选项中，有多项符合耍求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()fx的值域为，若1，则称函数()fx具有性质I，下列函数中具有性质I的有（）A.()sin2cosfxxx=+B.()sincosfxxx=C.(

)cos2cosxfxx=D.()sincoscossinxxfxxx=+【答案】AC【解析】【分析】先化简各选项的函数表达式，再结合三角形函数的基本性质以及基本不等式求解即可.【详解】对于A，()()sin2cos5sin5,5fxxxx=+=+−，其中tan2=，则15

,5−，符合题意；对于B，()111sincossin2,222fxxxx==−，则111,22−，不符合题意；对于C，()2cos22cos112coscoscoscosxxfxxxxx−===−，令)(cos1,00,1tx=−，所以12

ytt=−在)(1,0,0,1−上单调递增，所以12Rytt=−，则1R，符合题意；对于D，()sincos1tancossintanxxfxxxxx=+=+，当tan0x时，()11tan2tan2tantanfxxxxx=+=，当且仅当1tantanxx=，即ta

n1x=时等号成立；当tan0x时，()11tan2tan2tantanfxxxxx=+−=−，当且仅当1tantanxx=，即tan1x=−时等号成立；综上所述，()()sincos,22,cossinxxfxxx=+−−+，则()1,22,−−+，不

符合题意.故答案为：AC.10.设()sin2cos2fxaxbx=+，其中,abR，0ab，若()6fxf对一切xR恒成立，则（）A.11π012f=B.7ππ105ff=

C.()fx为非奇非偶函数D.()fx的单调递增区间为()π2ππ,π63kkk++Z【答案】ABC【解析】【分析】由辅助角公式得出解析式，由正弦函数的性质得出3ab=，再由解析式以及正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】()sin2cos2fxaxbx=+，其中,abR

，0ab若()π6fxf对一切则xR恒成立所以22π31622fabab=+=+，整理得223230abab+−=，故3ab=所以()π2sin26fxbx=+，对于A：11π11

ππ2sin22sin2π012126fbb=+==，故A正确；对于B：7π7ππ2ππ2πππ2sin22sinπ2sin,1010656565fbbbf=+=++=+

=故B正确；对于C：因为()00fb=，所以该函数不是奇函数，因为πππ2sin30,012312fbbf==−=，所以该函数不是偶函数，故C正确；对于D：

当0b时，令()πππ2π22π262kxkk−++Z，解得()ππππ36kxkk−+Z，D错误.故选：ABC11.已知向量a，b，c满足1==abrr，12ab=−rr，(),,0cxaybxyy=+R，则下列命题正确的有（）A.若1x

=，则c的最小值为12B.若1x=，则存在㫿一的y，使得0ac=C.若1c=，则xy+的最小值为1−D.若1c=，则()abc+的最小值为12−【答案】BCD【解析】【分析】将向量平方转化为求二次函数的最值问题可判断A；将已知代入，由数量积为零计算出结果，只有一个值可判断B；由已知得出

221+−=xyxy，配方、三角换元求出值域可判断C；先将已知条件化简，利用C选项结论求出范围可判断D.【详解】对于A，当1x=时，cayb=+，2222221cayabybyy=++=−+，22133244

cy=−+，当12y=时取得最小值，所以c的最小值为32，A不正确；对于B，若1x=，cayb=+，()1102acaayby=+=−=，解得2y=，则存在唯一的y，使得0ac=，故B正确；对于C，cx

ayb=+，若1c=，0y，222222221cxaxyabybxyxy=++=+−=，223124yxy−+=，令cos2,0,π3sin2yxy−==，解得：3cossin3

x=+，23sin3y=3sincos2sin,0,π6xy+=+=+，12xy−+，所以C正确；对于D，()()()()()()2211=22abcabxaybxaxyabybxxyyxy+=+

+=+++−++=+，若1c=，0y时，由C知：12xy−+，所以()11122xy−+，则()abc+的最小值为12−，D正确.故选：BCD.12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lo

go很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABC内的一点，,,BOCAOCAOB的面积分别为,,ABCSSS，则有0ABCSOASOBSOC++=．设O是锐角ABC内的一点，,,BACABCACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）A.若0OAOBOC

++=uuuruuuruuurr，则O为ABC的重心B.若230OAOBOC++=uuuruuuruuurr，则::1:2:3ABCSSS=C.若5π||||2,6OAOBAOB===，2340OAOBOC++=，则92ABCS=D.若O为ABC的垂心，则tantantan0BACOAABCO

BACBOC++=【答案】ABD【解析】【分析】A若D为AB的中点，连接OD，由已知得O在中线CD上，同理可得O在其它中线上，即可判断；B、C将三角形补成一个以O为重心的三角形，根据向量的

线性关系求出相关三角形面积的数量关系，即可得结论；D由垂心的性质、向量数量积的运算律0OBACOBOCOBOA=−=，得到||:||:||cos:cos:cosOAOBOCBACABCBCA=，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.【详解】A

：若D为AB的中点，连接OD，则=2OOAODCBO+=，故,,COD共线，即O在中线CD上，同理可得O在其它两中线上，故O为ABC的重心，正确；B：若2,3OEOBODOC==，由题设知0OAOEOD++=，即O为AED△的重心，所以AOEDOEAODSSS==，12

CAOESS=，13BAODSS=，16ADOESS=，则::1:2:3ABCSSS=，正确；C：由题设1225π6in1s2CS==，若2,3,4OFOAOEOBODOC===，所以0OFOEOD++=，即O为DEF的重心，则EOFDOEDOFSSS==，而16CEO

FSS=，则6EOFS=，故11122ADOESS==，1384BDOFSS==，所以1391244ABCS=++=，错误；D：由BOCBAC+=，则||||cos||||cosOBOCOBOCBOCOBOCBAC==−

，同理，||||cos||||cosOBOAOBOABOAOBOABCA==−，因为O为ABC的垂心，则()0OBACOBOCOAOBOCOBOA=−=−=，所以||cos||cosOCBACOABCA=

，同理得：||cos||cosOCABCOBBCA=，||cos||cosOAABCOBBAC=，则||:||:||cos:cos:cosOAOBOCBACABCBCA=，令||cos,||cos,||cosOAmBACOBmABCOCmBCA===，由1||||si

n2ASOBOCBOC=，则21||||sincoscossin22AmSOBOCBACABCBCABAC==，同理：21||||sincoscossin22BmSOAOCABCBACBCAABC==，21||||sincoscossi

n22CmSOAOBBCABACABCBCA==，综上，sinsinsin::::tan:tan:tancoscoscosABCBACABCBCASSSBACABCBCABACABCBCA==，由已知可得tantantan0BACO

AABCOBACBOC++=，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用三角形重心的性质判断A、B、C，应用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式判断结论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知3sin24=，0,4，则sincos−=______．【答案】12−-0.5【解析】【分析】根据的范围，可得sincos，再根据平方关系式，结合二倍角的正弦公式直接求解即可.【详解】∵π0,4∴si

ncos，∴sincos0−，又3sin24=∴()2221sincossin2sincoscos1sin24−=−+=−=∴1sincos2−=−故答案为：12−.14.

已知1sinsin2+=,3coscos3+=,则()cos−=______．【答案】1724−【解析】【分析】将已知两式平方相加,结合两角差的余弦公式,即可求得答案.【详解】因为1sinsin2+=,3coscos3

+=,故2221(sinsin)sinsin2sinsin4+=++=,2221(coscos)coscos2coscos3+=++=,以上两式相加可得()72sinsin2coscos22cos122++−=+=,即()17

2cos12−=−,故()417cos2−=−.故答案为:1724−.15.已知向量()5,7sin1a=−，()21,cosb=，若ab∥，则cos2=______．【答案】7250.28【解析】【分析】由向量共线关系得出方程，求解sin，再由余弦二倍角求得结果.详解】由

ab∥得()25cos7sin10−−=，即()251sin7sin10−−+=，整理得25sin7sin60+−=，解得3sin5=，或sin2=−(舍).则2237cos212sin12525=−=−=.故答案为：725.16.在ABC中，内角

A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，1BD=且2b=，则ABC周长的最小值为______．【答案】222+222+【解析】【分析】先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的倍角公式求得2cos2ABC

acca=+，再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到ac的关系式，从而利用基本不等式求得22ac+，由此得解.【详解】由题可得，ABCABDBCDSSS=+△△△，即111sinsinsin22222ABCABC

acABCBDcBDa=+，又1BD=，所以sinsinsin22ABCABCacABCca=+，则【()2sincossin222ABCABCABCacca=+，因为0πABC，所以π022ABC，

则sin02ABC，所以2cos2ABCacca=+，即cos22ABCcaac+=，又因为224cos2caABCac+−=，2cos2cos12ABCABC=−，所以22242122cac

aacac++−−=，整理得22()()4caacca+=+−，所以2222()()()4()44cacaaccaca++=+−+−，解得2()8ca+或2()0ca+（舍去），所以22ac+

，当且仅当2ac==时，等号成立，则22bac+++，故ABC周长的最小值为222+.故答案为：222+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.化简求值：（1）tan10

tan503tan10tan50++；（2）()sin1013tan50+．【答案】（1）3（2）12cos20【解析】.【分析】（1）利用tan50tan10tan60tan(5010)1tan50tan10+=

+=−，即得解；（2）化切为弦，结合辅助角公式和诱导公式进行求解.【小问1详解】因为tan50tan10tan60tan(5010)31tan50tan10+=+==−，所以()tan50tan1031tan

50tan10+=−，所以()3ttan31an10tan503t10tan503tan1t00tan5an10a0n5=−+++=.【小问2详解】()3sin503sin50cos50

sin1013tan50sin101sin10cos50cos50++=+=2sin802sin10cos10sin20sin201sin10cos50cos50sin402sin20cos20

2cos20=====.18.已知函数()ππsinsin3sincos44fxxxxx=+−+．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若12Af=，2a=，求bc+的最大

值．【答案】（1）()πππ,π36kkk−+Z（2）4【解析】【分析】（1）先把()fx整理为()πsin26fxx=+，直接求出()fx的单调递增区间；（2）由()12Af=，求出

π3A=，由余弦定理结合均值不等式即可得出答案.【小问1详解】()ππsinsin3sincos44fxxxxx=+−+ππ1π3sincos3sincossin2sin244222xxxxxx=+++=−+13πcos2sin2sin2

226xxx=+=+由()πππ2π22π262kxkk−+++Z解得：()ππππ36kxkk−+Z，故函数()fx的单调递增区间为()πππ,π36kkk−+Z.【小问2详

解】()12Af=，πsin16A+=，又0πA，ππ62A+=，π3A=，又2a=，所以()222242cos3abcbcAbcbc==+−=+−，又因为22bcbc+，所以()()221434bcbcbc=+−+，所以4bc+，当且仅当“2bc=

=”时取等所以bc+的最大值为4.19.如图所示，在ABO中，14OCOA=uuuruur，12ODOB=，AD与BC相交于点M，设OAa=，OBb=.（1）试用向量,ab表示OM；（2）过点M作直线EF分别交线段,ACBD于点,EF，记OE

OA=，OFOB=，求证：不论点,EF在线段,ACBD上如何移动，13+为定值.【答案】（1）1377OMab=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据,,DMA三点共线可得()1OMmODmOA=+−，同理由,,BMC三点共线可得()1

OMnOBnOC=+−，根据向量相等的条件可求出,mn的值，即可求解；（2）设OMxOEyOFxOAyOB=+=+，由1377OMab=+及,,FME三点共线1xy+=联立即可求解.【小问1详解】因为,,

DMA三点共线，所以存在实数m使得()()112mOMmODmOAbma=+−=+−，又因为,,BMC三点共线，所以存在实数n使得()114nOMnOBnOCnba−=+−=+，根据向量相等可得2114mnnm=−−

=，解得6737mn==，所以1377OMab=+.【小问2详解】设OMxOEyOFxOAyOB=+=+，由（1）可得17x=①，37y=②，又,,FME三点共线，所以1xy+=③，由①②可得17x=，37y=，代入③式可得()1377xy

+=+=，即不论点,EF在线段,ACBD上如何移动，13+为定值7.【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当O为直线EF外一点时，,,EFM三点共线(),R,1OMxOEyOFxyxy=++=的应用，属于基础知

识的应用.20.如图，扇形AOB的圆心角为23，半径为1．点P是AB上任一点，设20,3AOP=．（1）记()fOPAB=，求()f的表达式；（2）若OPxOAyOB=+uuuruuruu

ur，求22xy+的取值范围．【答案】（1）()20,33sin,3f−=（2）1,2【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据三角函数的定义可得()cos,sinP，再根

据题意求得AB，进而根据辅助角公式得到()f的表达式即可；（2）根据题意可得()()13cos,sin1,0,22xy=+−，进而化简得到3sincos323sin3xy=+

=，再代入可得2224sin2363xy+=−+，20,3，进而结合三角函数的范围求解即可【小问1详解】由题意，以O为坐标原点，OA为x轴正向建立如图平面直角坐标系，则()cos,sinP

，()131,0,,22AB−.故33,22AB−=uuur，所以()33cossin3sin223f−+−==，即()20,33sin,3f−=【小问2详解

】由（1），OPxOAyOB=+uuuruuruuur，即()()13cos,sin1,0,22xy=+−13,22xyy=−，故1cos23sin2xyy=−

=，解得3sincos323sin3xy=+=，其中20,3，故2222323sincossin33xy+=++2253sinsin2cos33=++

314sin2cos2333=−+24sin2363=−+，即2224sin2363xy+=−+，20,3，故7,2666−−，所以sin261,12−−

，故221,2xy+，即22xy+的取值范围为1,221.在ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若M是BC的中点，且满足4ABACAMBC=．（1）求cosC的最小值；（2）若A

BC的面积为S，且满足2Sa=，求tanC的值．【答案】（1）225（2）tan1C=或2tan3C=【解析】【分析】（1）先利用题给条件求得cosC的表达式，再利用均值定理去求其最小值；（2）先利用题给条件构造关于tanC的方程

，解之即可求得tanC的值.【小问1详解】4ABACAMBC=，得()42ABACABACACAB+=−从而()2222222cbabc+−=−，即22235bac+=，22222222213425555cos22

2ababababcCababab+−+++−===222+555abba=，当且仅当2ba=时取等号．∴cosC的最小值为225【小问2详解】由于21sin2SaabC==，从而1sin2abC=，又22235bac+=则2222132cos55abababC+

=+−，即22422cos055ababC+−=，将1sin2aCb=代入，得24121sin2sincos05252CCC+−=，即212sinsincos055CCC−+=，从而223sin5sincos2cos0CCCC−+=，又cos0C，则23t

an5tan20CC−+=，解得tan1C=或2tan3C=．22.已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，222coscos1cosACB+=+且1b=，（1）求B；（2）若12ABAC，求11ac+

的取值范围.【答案】（1）π2（2）()22,+【解析】【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12ABAC推得202c，再由221ac+=设πsin,cos,0,4ca==，将11ac+转化为sincos

sincos+，再引入()sincos,1,2tt=+，得()2112,1,21ttact+=−，最后利用复合函数的单调性即可求解.【小问1详解】因为222coscos1cosACB+=+，则2221sin1sin11sinACB−+−=+−，所以22

2sinsinsinACB+=，则222acb+=，所以ABC为直角三角形，所以π2B=【小问2详解】221cos2ABACABACAABc===，所以202c，而221ac+=，所以设πsin,cos,0,4ca==，所以1111sincossincos

sincosac++=+=，令()πsincos2sin,1,24tt=+=+，又因为22(sincos)12sincost=+=+，所以21sincos2t−=，所以()2112,1,21ttact+=−，令()222,1,21

1tytttt==−−，因为1tt−在()1,2t上单调递增，所以21ytt=−在()1,2t上单调递减，所以222122y=−，所以11ac+的取值范围为()22,+.获得更多资源请扫码加入

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