【文档说明】河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，948.195 KB，由小赞的店铺上传

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数学试题1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线340xy++=倾斜角是（）A

.π3B.π6C.2π3D.5π6【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜截式以及斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】直线340xy++=的方程可化为34333yx=−−，可知倾斜角)0,π，且满足3tan3=−，因此5π6=.故选:D.2.已知直

线3230xy+−=和60xmy+=互相平行，则它们之间的距离是（）A.31313B.1313C.53D.3【答案】A【解析】【分析】先利用平行直线的关系求出参数，然后利用两平行直线的距离公式计算距离即可.【详解】因为3230xy+−=和60xmy+=互相平

行，所以326m=，解得4m=，所以直线640xy+=可以转化为320xy+=，的由两条平行直线间的距离公式可得()22033313131332d−−===+.故选：A3.已知圆M经过()()1,1,2,2PQ−两点，且圆心M在直线:10lxy−+=，

则圆M的标准方程是（）A.22(2)(3)5xy−+−=B.22(3)(4)13xy−+−=C.22(3)(2)25xy+++=D.22(3)(2)25xy++−=【答案】C【解析】【分析】先设圆心M的坐标为(),ab，根据点在线上及两点间距离得出3,2ab

=−=−，再求出半径，得出圆的标准方程.【详解】设圆心M的坐标为(),ab.因为圆心M在直线:10lxy−+=上，所以10ab−+=①，因为,PQ是圆上两点，所以MPMQ=，根据两点间距离公式，有2222(1)

(1)(2)(2)abab−+−=−++，即330ab−−=②，由①②可得3,2ab=−=−.所以圆心M的坐标是(3,2−−），圆的半径22(13)(12)5rMP==+++=.所以，所求圆的标准方程是

22(3)(2)25xy+++=.故选:C.4.已知椭圆22:1169xyC+=的左､右焦点分别为12FF､，点P在椭圆C上.若1290FPF=，则12FPF的面积为（）A.4B.6C.8D.9【答案】D【解析】【分析】在12FPF中，

结合椭圆定义及勾股定理可得1218PFPF=，进而求得12FPF的面积.【详解】由椭圆定义可得121228,2216927PFPFaFFc+====−=，又因为1290FPF=，所以由勾股定理可得222

1212PFPFFF+=，即()22121212228PFPFPFPFFF+−==，解得1218PFPF=，则12FPF的面积为12192PFPF=.故选：D.5.已知圆22:1Cxy+=，则经过圆C内一点12,33P−且被圆截得弦长最短的直线

的方程为（）A.3650xy−−=B.3650xy−+=C.10xy−+=D.6340xy−+=【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.【详解】设经过圆C内一点P且被圆截得弦长最短的直线的斜率为1k，直线

PC的斜率为2k，由题意得，22032103k−==−−−，过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，则121kk?-，得112k=，所以过P点且被圆截得弦长最短的直线的方程为211323yx−=+，即3650xy−+=.故选：B.6.动点(),Mxy与定点()4,0

F的距离和M到定直线25:4lx=的距离的比是常数45，则动点M的轨迹方程是（）A.2212516xy+=B.221259xy+=C.221169xy+=D.221167xy+=【答案】B【解析】【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.【详解】设d是点M到直线25:4

lx=的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合45MFPMd==.由此得22(4)42554xyx−+=−，将上式两边平方并化简，得22925225xy+=，即221259xy+=.所以动点M的

轨迹方程为221259xy+=.故选：B.7.已知M是椭圆221259xy+=上一点，则点M到直线:45400lxy−+=的最小距离是（）A.54141B.64141C.154141D.184141【答案】C【解析】【分析】利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据

平行线间距离公式求解，或者利用三角换元，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解.【详解】解法一：设与直线:45400lxy−+=平行的直线l为450xym−+=，联立2210,259450,xyxym+−=−+=整理得222582250

xmxm++−=，令()22Δ644252250mm=−−=，解得25m=或25m=−，所以l与l距离224045md−=+，当25m=时，22402515414145d−==+最小，即点M到直线:45400lxy−+=的最小距离是154141.解法二：设椭圆上点()5cos,3sin

M，则点M到直线l距离2245cos53sin404(5)d−+==+−()4355cossin855cos854cos3sin855414141−+++−+==，其中43cos,sin55==，当()cos+=1

−时，min1515414141d==，故选:C.8.已知,MN是椭圆22:12516xyC+=上关于原点对称的两点，F是椭圆C的右焦点，则2||6MFNF+的取值范围为（）A.2,26B.51,52C.51,7

6D.52,76【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得210MFNFa+==，即可得22||6(3)51MFNFMF+=−+，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由对称性和椭圆定义可知210MFN

Fa+==，其中223cab=−=，故()2222|6|610||660(3)51MFNFMFMFMFMFMF+=+−=−+=−+，又因为()3,0F，设点(),Mmn，则55m−，所以22222221693||(3)(3)166

25525255mmmMFmnmm=−+=−+−=−+=−，当5m=时，2||MF取得最小值，最小值为4，当5m=−时，2||MF取得最大值，最大值为64，所以2,8MF，故当3MF=时，2||6MFNF+取得最小值，最小值

为51，当8MF=时，2||6MFNF+取得最大值，最大值为255176+=，故2||6MFNF+的取值范围是51,76.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分.9.已知直线:31lyx=+，则下列结论正确的是（）A.直线l的一个方向向量为()1,3B.直线l的一个法向量为()3,1C.若直线:310mxy++=，则lm⊥D.点()3,0到直线l的距离是2【答案】ACD【解析】【分析】由直线方向向量的定义判断选项A；由直线法向量与方向

向量的位置关系判断选项B；由斜率关系得两直线垂直判断选项C；求点到直线距离判断选项D.【详解】对于A，因为直线:31lyx=+的斜率3k=，所以直线l的一个方向向量为()1,3，故A正确；对于B，直线l的一个方向向量为()1,

3，由13310+，所以()3,1不是直线l的一个法向量，故B错误；对于C，因为直线:310mxy++=的斜率33k=−，且1kk=−，所以直线l与直线m垂直，故C正确；对于D，点()3,0到直线l的距离()()223301231d−+==+−，故D正确.故选：ACD.10.已

知直线()():34330lmxymm++−+=R，圆C是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（）A.直线l恒过定点()3,3−B.当0m=时，圆C上有且仅有两个点到直线l的距离都等于1C.

若圆C与曲线22680xyxym+−−+=恰有三条公切线，则16m=D.当13m=时，过直线l上一个动点P向圆C引两条切线,PAPB，其中,AB为切点，则直线AB经过点164,99−−【答案】AC

D【解析】【分析】对A：整理得()()33430mxxy+++−=，根据直线恒过定点求解；对B：求出圆心到直线的距离判断1d，由此判断有四个点满足条件；对C：根据两圆外切求得m；对D：设(),94Ptt−−，写出以PC为直径的圆，两圆相减得公共弦的方程可证得恒过定点.

【详解】对于()()A,:34330lmxymm++−+=R，整理得()()33430mxxy+++−=，所以30,3430,xxy+=+−=解得3,3,xy=−=所以直线l恒过定点()3,3−，故A正确；对于B，当0m=时，直线l为3430xy+−=，

则圆心()0,0C到直线l的距离3200331534d+−==+，而圆的半径为2，所以圆C上有且仅有4个点到直线l的距离都等于1，故B错误；对于C，曲线22680xyxym+−−+=整理得22(3)(4)25xym−+−

=−，当25m时，曲线是圆心为()3,4，半径为25m−的圆，圆C的圆心()0,0，半径为2，所以两圆的圆心距为22(30)(40)5225m−+−==+−，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以16m=，故C正确；对于D，当13m=时，

直线l的方程为490xy++=，设(),94Ptt−−，则以PC为直径的圆的方程为222294(94)224ttttxy+++−++=，即()22940,xtxyyty+−+++=圆22:4,Cxy+=

两圆的公共弦的方程为4940txtyy−+++=，整理得()40,4940,940,yxyxtyy−=−++=+=解得16,94,9xy=−=−直线AB经过点164,99−−.故D正确.故选：ACD11.已知椭圆2

2:1128xyC+=的长轴端点分别为12,AA，两个焦点分别为12,,FFP是C上任意一点，则（）A.椭圆C的离心率为33B.12PFF的周长为()431+C.12PAA△面积的最大值为42D.120PFPF

【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.【详解】椭圆22:1128xyC+=的长半轴长23a=，短半轴长22b=，半焦距222cab=−=，对于A，椭圆C

的离心率为33cea==，故A正确；对于B，12PFF的周长为()22431ac+=+，故B正确；对于C，12243AAa==，设()000,,22Pxyy，则12PAA△面积的最大值为12112222AA=432246=，故C错误；对于D，

设()()()220012002,,2,0,2,0,83PxyFFyx−=−，()()1002002,,2,PFxyPFxy=−−−=−−，因此2221200014403PFPFxyx=−+=+，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共

15分.12.方程22121xykk+=−−表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________.【答案】31,2【解析】【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解.【详解】由题意可得20,10

,21,kkkk−−−−解得312k，故实数k的取值范围是31,2.故答案为：31,2.13.已知圆22:4250Mxxyy−+−−=，若圆M关于直线()2300,0axyb

ab++−=对称，则11ab+的最小值为__________，此时直线的一般式方程为__________.【答案】①.92②.2370xy+−=【解析】【分析】根据圆的标准式方程可得圆心，即可根据直线经过圆心()2,1得42ab+=，利用不等式乘“1”法即可求解.【详解】圆22:425

Mxxyy−+−=，整理得22(2)(1)10xy−+−=，则M的圆心为()2,1，由题意得直线230axyb++−=过圆心()2,1，所以42ab+=，又0,0ab，所以()1111114149441522222babaababababab+=++=++++=

.（当且仅当12,33ab==时，取“”=）.此时直线方程27033xy+−=，即2370xy+−=.故答案为:9;23702xy+−=.14.椭圆222:12xyCb+=的左､右焦点分别为

12FF､，点21,2P在C上，直线l过左焦点1F，且与椭圆C相交于,AB两点，若直线l的倾斜角为60o，则2ABF△的面积等于__________.【答案】467【解析】【分析】根据点21,2P

可得椭圆方程，即可得l的方程为()31yx=+，联立直线与椭圆方程得韦达定理，利用弦长公式以及点到直线的距离公式，结合面积公式即可求解.【详解】已知点21,2P在椭圆222:12xyCb

+=上，可得21b=，所以()()121,1,0,1,0cFF=−，又因为直线l的斜率tan603k==，所以l的方程为()31yx=+.设()()1122,,,AxyBxy，联立方程组()2231,1,2yxxy=++=消去y得271240xx++=，可得12

12124,77xxxx+=−=，所以()22221212121216821142777ABkxxkxxxx=+−=++−=−−=，点()21,0F到直线:330lxy−+=的距离23033(3)1d−+==+，所以211824632277ABFSABd==

=.为故答案为:467.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）已知直线l过定点()1,2，且其倾斜角是直线3330xy−+=的倾斜角的二倍，求直线l的方程；（2）已知入射光线经过点()3,4M−

，且被直线:30lxy−+=反射，反射光线经过点(2,6)N，求反射光线所在直线的方程.【答案】（1）3230xy+−−=；（2）660xy−−=【解析】【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式

即可求解直线方程，（2）利用点关于直线对称可得()1,0M，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程.【详解】（1）因为直线3330xy−+=的斜率为3，则直线的倾斜角为π3，故所求直线的倾斜角为2π3，直线斜率为3k=−，

所求直线的方程为()231yx−=−−，即3230xy+−−=.（2）设()3,4M−关于直线:30lxy−+=对称的点为(),Mab，则41,33430,22baab−=−+−+−+=解得1,0,ab==因为反射光线经过点()2,6N，所以

NM所在直线的斜率为60621k−==−，故反射光线所在直线方程为()61yx=−，即660xy−−=.16.已知直线()()()12:31410,:3420lxylxy−+−=++=，点A和点B分别是直

线12,ll上一动点.（1）若直线AB经过原点O，且3AB=，求直线AB的方程；（2）设线段AB的中点为P，求点P到原点O的最短距离.【答案】（1）43yx=（2）110【解析】【分析】（1）根据平行线间距离公式可得AB和两直线垂直，即可根据垂直关系得斜

率求解,（2）根据12,ll互相平行，可得P的轨迹为873402xy−++=，利用点到直线的距离公式即可求解.【小问1详解】将()()()12:31410,:3420lxylxy−+−=++=化为一般式方程，得，12:3470,:3480lxylxy+−=++=,则两直线平行，故两直线的

距离为2287334dAB+===+，因为3AB=，所以AB和两直线垂直.因为12,ll的斜率为34−，所以43ABk=.又因为直线AB经过原点O，所以直线AB方程为43yx=.【小问2详解】因为12,ll互相平行，所以线段AB的中点P的轨迹为873402xy−++=，

即1340,2xy++=所以点P到原点O的最短距离即点O到直线13402xy++=的距离，因为点O到直线13402xy++=的距离为221121034=+.所以点P到原点O的最短距离为110.的17.已知

圆C过三点()()()1,3,2,2,4,2−.（1）求圆C的标准方程；（2）斜率为1的直线l与圆C交于,MN两点，若CMN为等腰直角三角形，求直线l的方程.【答案】（1）22(1)(2)25xy−++=（2）20xy−+=或80xy−−=【解

析】【分析】（1）利用待定系数法，即可将三点坐标代入圆的一般方程中，列方程组求解，（2）根据等腰直角三角形的性质，可得22dr=，结合点到直线的距离即可求解.【小问1详解】设所求的圆的方程是220xyDxEyF

++++=，其中2240DEF+−，把已知三点坐标代入得方程组()2222221330,22220,42420,DEFDEFDEF++++=−+−++=++++=解得2,4,20.DEF=−==−所以圆C的一般方程为2224200xyxy+−+−=.故圆C的

标准方程为22(1)(2)25xy−++=.【小问2详解】设直线l的方程为：0xyc−+=，因为CMN为等腰直角三角形，又由（1）知圆C的圆心为()1,2−，半径为5.所以圆心到直线的距离325,22cd+==解得2c=或8−，所以直线l的方程为：20xy−+=或80xy−−=.18.已知圆()

222:(1)0Cxyrr−+=在椭圆22:14xEy+=里.过椭圆E上顶点P作圆C的两条切线，切点为,AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M.（1）求r的取值范围；（2）是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在求出圆C的方程，若不存在，说

明理由.【答案】（1）603r（2）存在满足条件的圆C，其方程为2217413(1)9xy−−+=【解析】【分析】（1）根据22||TCr，即可根据点点距离公式求解，（2）根据点斜式得直线PM，PN方程，利用相切以及点到直线距离公式

得直线MN的方程为()()22231510xryr+−+−=，利用MN与圆相切，即可列方程求解.【小问1详解】设()00,Txy为椭圆E上任意一点，则220014xy+=，022x−，则()22220

0003||1224TCxyxx=−+=−+.则222003348222244333rxx−+=−+=.故603r.【小问2详解】由题意可知()0,1P，设()()1122,,MxyNxy､，因为1r，

故切线,PMPN的斜率都存在.又直线PM的方程为1111yyxx−=+，即为()11110yxxyx−−+=，同理直线PN的方程为()22210yxxyx−−+=.则()11221111xyrxy+−=+−，故()()()2222221111112111xxyyrxry+−+

−=+−.而()221141xy=−，故()()()()()22222111114112111ryxyyry−−+−+−=−，又因为11y.故()()2211233510xryr+−+−=，同理：()()222223

3510xryr+−+−=.故直线MN的方程为()()22231510xryr+−+−=.若直线MN与圆C相切，则()22253914rrr−=−+，令220,3tr=.故329434390ttt−+−=，即()()2193490ttt−−+=

.故1t=或174139t+=或174139t−=，因为220,3tr=，所以174131,9tt+==不满足，故存在满足条件的圆C，其方程为2217413(1)9xy−−+=【点睛】关键点点睛：根据直线PM，

PN方程，利用相切以及点到直线距离公式可得12,xx满足()()22231510xryr+−+−=，可得直线MN的方程为()()22231510xryr+−+−=，即可利用相切以及距离公式列方程求解.19.已知两个定点()()3,0,3,0AB−.动点P满足直线PA和直

线PB的斜率之积是13−（1）求动点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（2）记（1）中P点的轨迹为曲线C，不经过点A的直线l与曲线C相交于,EF两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是13−，求证：直线l恒过定点.【答案】（1）P的轨迹方程为(

)22133xyx+=，即点P的轨迹是除去()()3,0,3,0−两点的椭圆（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设点P的坐标为(),xy，把点P满足的条件用坐标表示，列出方程，再化简即可得轨迹方程，再结合轨迹方程说明点P的轨迹.（2）设()()1

122,,,ExyFxy，对直线EF有无斜率分情况讨论.当直线EF有斜率时，设直线EF：ykxb=+，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x一元二次方程，利用韦达定理，可得12xx+与12xx，结合13AEAFkk=−

，确定,kb的关系，可确定直线EF所过的定点.【小问1详解】设点P的坐标为(),xy，因为点A的坐标是()3,0−，所以直线AP的斜率()33APykxx=−+，同理，直线BP的斜率()33BPyk

xx=−，由已知，有()13333yyxxx=−+−，化简，得点P的轨迹方程为()22133xyx+=，即点P的轨迹是除去()()3,0,3,0−两点的椭圆.【小问2详解】设()()1122,,,ExyFxy如图：的①当直线l斜率不存时，可知1221,

xxyy==−，且有22111111131333AEAFxyyykkxx+=−==−++，解得10x=或13x=−，当13x=−时，则直线l经过A点，与题意不符，舍去，故110,1xy

==，此时直线l为0x=，②当直线l斜率存在时，设直线:lykxb=+，则()()()()()2212121212121212121213333333AEAFkxbkxbkxxkbxxbyykkxxxxxxxxxx+++++====−++++++

++.联立直线方程与椭圆方程2213ykxbxy=++=，消去y可得：()222316330kxkbxb+++−=，根据韦达定理可得：2121222633,3131kbbxxxxkk−−+==++，所以222222223361313

13363333131bkbkkbbkkbkbkk−−++++=−−−++++，即()()()22222222336311,33363331kbkbbkbkbk−−++=−−−++整理得：222231233bkbkbk−=−−+，所以

230bkb−=，则0b=或3bk=，当3bk=时，则直线():3lykx=+恒过A点，与题意不符，舍去，故0b=，直线l恒过原点()0,0，结合①②可知，直线l恒过原点()0,0，原命题得证.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，

考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题.在