【文档说明】重庆市育才中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.885 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选

择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1abkc==−=，若()2abc+∥，则k=（）A.1B.1−C.14−D.14【答案】C【解析】【分析】求

出2ab+的坐标，根据()2abc+∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,abk==−，所以()()()1,021,12,2akkb=+−=−+，因为()2//abc+，()2,1c=，所以()11220k−−=，解得1

4k=−故选：C.2.已知是第二象限角，则点tan,sin22P位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】已知是第二象限角，求2和2终边所在位置，判断tan2和sin2的符号，确定点tan,sin22P所

在象限.【详解】是第二象限角，则()π2ππ2πZ2kkk++，()ππππZ422kkk++，2的终边在一三象限，tan02，()π4π22π4πZkkk++，2的终边在三四象限和y轴非负半轴，sin20

，则点tan,sin22P位于第四象限.故选：D3.如图，60C是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C原子在空间进行排列时，形成

一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180满足：233153coscoscoscos0222

2++−+−=，式中,,,分别为杂化轨道中,,,spdf轨道所占的百分数.60C中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,df轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为2.28sp，它表示参与杂化的,sp轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个6

0C中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57−B.2520,57C.2512,57−D.2512,57【答案】C【解析】【分析】设60C中的凸32面体结构中共有x个五边形，y个六边形，列方程即可求解

,xy，再根据所给公式求出cos.【详解】设一个60C中的凸32面体结构中共有x个五边形，y个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603xy+=，又因为32xy+=，解得12,20xy==，所以共有

12个正五边形；又因为12.28,,03.283.28====，所以12.28cos03.283.28+=，解得25cos57=−，故选：C.4.已知175sincos,π,π134+=−，则sincos−=（）A.213B.213−C.713D.713

−【答案】C【解析】【分析】根据5π,π4，sincos＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sincos,sincos,sincos2sincos131313+=−+=++=，212

02sincos13=，()222224949sincos2sincos,sincos1313+−=−=，5π7π,,sincos,sincos0,sincos413−−=＞＞；故选：C.5.已知非零向量,ab满足()

()()()7,2211abababab−⊥−+⊥−，则sin,ab=（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7abab−⊥−，则()()22787

0ababaabb−−=−+=，①()()2211abab+⊥−，则有()()22221127220ababaabb+−=−−=，②78①-②，得2292250ab−=，则有5ab=，代入①式，2222540cos,70bbabb−+=，解得4cos,5ab=，由,

0,πab，得3sin,5ab=.故选：A6.已知1.5241,log3,sin12abc===，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.bcaC.cabD.acb【答案】D【

解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】1.51212a=；443log3log224b==；2221ππ3=sinsin1sin2434c==；所以acb故选：D7.如图，在梯形ABCD中，1

12ADDCAB===且,ABADP⊥为以A为圆心AD为半径的14圆弧上的一动点，则()PDPBPC+的最小值为（）A322−B.332−C.342−D.352−【答案】B【解析】.【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A为原点，AB为x轴，

AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A，()2,0B，()1,1C，()0,1D，设()πcos,sin02P，得()cos,1sinPD=−−，()2cos,sinPB=−

−，()1cos,1sinPC=−−，则()()()cos,1sin32cos,12sinPDPBPC+=−−−−222cos3cos2sin3sin1=−+−+π332sin4=−+由π02，当π4=时，()PDPBPC+有最小值332−

.故选：B8.设函数()()2sin1(0)fxx=+−，若对任意实数(),fx在区间0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（）A.810,33B.10,43

C.144,3D.1416,33【答案】B【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin1yx=−在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin1yx=−在y轴右侧靠近坐标原点

处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为为任意实数，故函数()fx的图象可以任意平移，从而研究函数()fx在区间0,π上的零点问题，即研究函数2sin1yx=−在任意一个长度为π0π−=的区间上的零点问题，令2

sin1yx=−0=，得1sin2x=，则它在y轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6，5π6，13π6，17π6，25π6，L，则它们相邻两个零点之间距离分别为2π3，4π3，2π3，4π3，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3，相邻五个零点之间的距离为4

π，所以要使函数()fx在区间0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππ，解得1043.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,abc均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,abbc∥∥，则ac∥

B.若acab=，则bc=C.()()abcabc=D.若ab且ac⊥，则()0cab+=【答案】AD【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A，由向量数量积的定义可判断B，根据数量积及共线向量的概念可判断C，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A，在同一平面内的向

量,,abc均为非零向量，若//ab且//bc，则//ac，即A正确；对B，若acab=，则cos,cos,acacabab=，又0a，所以cos,cos,babcac=，因为,bc与a的夹角不一定相等，所以bc=不一定成立，即B错误；的对C，因为()abc

与c共线，()abc与a共线，所以()()abcabc=不一定成立，即C错误；对D，若//ab且ac⊥，则cb⊥，()0cabcacb+=+=，即D正确.故选：AD．10.函数()()sin0,0,2πfxAxA=+

的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2=B.7π,012−为函数()fx的一个对称中心点C.117π,π63为函数()fx的一个递增区间D.可将函数cos2x向右平移1π6个单位得到()fx

【答案】ABD【解析】【分析】根据函数图像可求出A、、值，可得()fx的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A=，2ππ2π36T=−=，则2π

2π==，故A正确；又π16f=，所以ππ22π(Z)62kk+=+，又π2，所以π6=，所以()πsin26fxx=+，对于B，当7π12=−x时，7π7ππsin2012126f−=−+=，所以函数图象关于点7

π,012−对称，故B正确；的对于C，由πππ2π22π,Z262kxkk−+++，可得ππππ,Z36kxkk−++，令2k=，可得5π13π36x，所以117π,π63不是函数()fx一个递增区间，故C错误；对于D，将函数

cos2x向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos2sin2sin263326yxxfxxx=−=−=−+=+=，故D正确.故选：ABD.11.已知()(),fxgx分别是定义在R上的奇函数和偶函

数，且()()exfxgx+=，则下列说法中正确的有（）A.()01g=B.22()()1fxgx−=C.()()()22fxfxgx=D.若()()20fmfm++，则1m−【答案】ACD【解析】【分析】()(),fxgx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，由()()

exfxgx+=可得()()exfxgx−−+=，可解出ee()2xxgx−+=，ee()2xxfx−−=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),fxgx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足()()exfxgx+=可得()()exfxgx−−+−=，即()()

exfxgx−−+=，与()()exfxgx+=联立，可得ee()2xxgx−+=，ee()2xxfx−−=，()00ee20122g+===，A选项正确；2222eeee22()()1224xxxxfxgx−

−−+−−−=−==−，故B选项错误；()22ee22xxfx−−=，()()22eeeeee22222xxxxxxfxgx−−−−+−==，()()()22fxfxgx=，C选项正确；函数ee()2xxfx−−=是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增

，若()()20fmfm++，则()()()2fmfmfm+−=−，有2mm+−，所以1m−，D选项正确.故选∶ACD．12.已知两个不相等的非零向量,ab，两组向量12345,,,,xxxxx和12345,,,,yyyyy均由

3个a和2个b排列而成，记1122334455min,SxyxyxyxyxyS=++++表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S有3个不同的值B.22min22Saabb=++C.若//ab，则minS与b无关D.若2m

in||2||,4||abSb==，则ab⊥【答案】AD【解析】【分析】求出S的三种结果，得出minS，对选项进行分析得出答案.【详解】,(1234.5iixyi=，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455Sxy

xyxyxyxy=++++可能情况有三种︰22132Sab=+；2222Saabb=++；234Saba=+，故A选项正确；()222221223220SSSSababababab−=−=+−+−=−.则S中最小为234S

aba=+，即2min4Saba=+，B选项错误；若//ab则2min4Saba=+与b有关，故C选项错误；若2ab=，222min4444Sabaabbb=+=+=，有0ab=，则ab⊥，D选项正确.故选：AD．第II卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点

(1,2)A，点(4,5)B，若2APPB=，则点P的坐标是________．【答案】P（3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),Pxy，代入2APPB=得()()1,224,53,3xyxyxy−−=−−==()3,3P考点：向量的坐标运

算14.已知()2023πsin2023π2sin2−=+，则2sin2cos+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan2=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次

式即得.【详解】由()2023πsin2023π2sin2−=+，得sin2cos=−，则cos0，所以tan2=-，所以22222cos2sincos12tan143sin2cossincostan1415++−+====−+++

.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()fx=__________.①()fx不是常数函数②()1fx+为奇函数③()()22fxfx+=−【答案】cos2x（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函

数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x=，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f=，函数解析式可以为()πcos2fxx=（答案不唯一）．故答案为：πcos2x（答案不唯一）．16已知函数()11ππ

cos2cos,,2222fxxxx=−−−.（1）()fx的值域为__________.（2）设()()3sin4cosgxaxx=+，若对任意的1ππ,22x−，总存在20,πx，使得()()12fxgx

=，则实数a的取值范围为__________.【答案】①.5,14−−②.15,,416−−+【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()gx的值域包含()fx的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()2

21115cos2coscoscos1cos2224fxxxxxx=−−=−−=−−，由,22ππx−，有cos0,1x，则当1cos2x=时，()fx有最小值54−，当cos0x=或cos1x=时，()fx有最大值1−，所以()fx的值域为5,14

−−.()15,14fx−−，()()()3sin4cos5singxaxxax=+=+，其中3cos5=，4sin5=，π0,2，20,πx，2,π+x+，因为对任意的1ππ,22x−，总

存在20,πx，使得()()12fxgx=，所以()1fx的值域是()2gx的值域的子集，0a=时()0gx=不合题意，0a时，当π+x+=，()gx有最小值，则有()455sin545+4πaaa

=−=−−，解得516a，此时π2x+=时，()gx有最大值50a，0a时，当π2x+=，()gx有最小值，则有π55sin524aa=−，解得14a−≤，此时π+x+=时，()gx有最大值40

a−，则实数a的取值范围为15,,416−−+.故答案为：5,14−−；15,,416−−+.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡

相应的位置上.17.已知平面向量,,abc满足()()π2,0,1,,R,,3abcatbtab===−=.（1）求b在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b与c的夹角.【答案】（1）1,02

（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）catb=−，两边同时平方，c最小时，求得1t=，b与c的夹角即b与ab−的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1ab==，设aea

=，b在a上的投影向量为11cos,122beabee==，所以b在a上的投影向量的坐标为1,02.【小问2详解】2222222()22cos,catbatabtbatababtb=−=

−+=−+2242(1)33ttt=−+=−+（1t=时等号成立），则c最小时，cab=-，所以()22cos,cos,0babbabbaabbbcbabbabbab−−−====−−−，因为0,π

,bc所以当c最小时，b与c的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos,sin,,,332222abcab====−=，13332222cos,

013bcbcbc+===，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆的交点为()11,Axy，角π6+终边与单位圆的交点为()22,Bxy.（1）若π0,2

，求12xy+的取值范围；（2）若点B的坐标为122,33−，求点A的坐标.【答案】（1）3,32（2）223261,66A−+.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,AB的坐标，根据三角恒等变换用表示12xy+，结合正弦函数性质求

其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos,sin6363+=−+=，根据两角差正弦和余弦公式求cos,sin可得点A的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos,sin,cos,sin66AB

++，所以12π31cossincossincos622xy+=++=++1213π3sincos3sin223xy+=+=+

，由π0,2，可得ππ5336π,+，所以π1sin,132+，所以12xy+的取值范围是3,32.【小问2详解】由122,33B−

，得π1π22cos,sin6363+=−+=，ππππππcoscoscoscossinsin666666=+−=+++，13221223

cos32326−=−+=ππππππsinsinsincoscossin666666=+−=+−+，22311261sin32326+=−−=，所以点A的坐

标为223261,66−+.19.已知平面向量,OMON不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),xy，使得OPxOMyON=+.（1）证明：,

,PMN三点共线的充要条件是1xy+=；（2）如图，ABC的重心G是三条中线,,ADBECF的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定

理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AGyAByAE=−+，AGAD=，进而23AGAD=，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,PMN三点共线，不妨设MPyMN=，可得()OPOMyONOM−=−，()1OPyOMyON

=−+，又OPxOMyON=+，所以1xy=−，得1xy+=，得证；充分性：,1OPxOMyONxy=++=，()1OPyOMyON=−+，即()OPOMyONOM−=−，MPyMN=，又MP与MN有公共点M，所以,,PMN三点共线；所以,,PMN三点共线的充要条件是

1xy+=；【小问2详解】法一（向量法）ABC的重心G是三条中线,,ADBECF的交点，可设()1AGyAByAE=−+，111222ADABACABAE=+=+，因为,,AGD三点共线，可设AGAD=，则()1yAB

yAE−+2ABAE=+，所以12yy−==，解得23y==，所以23AGAD=，G为AD的三等分点，同理可证G为,BECF的三等分点，重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF，

,EF为,ACAB的中点，1//,2EFBCEFBC=，12EFFGEGBCGCGB===，所以13FGEGFCEB==，同理可得13EGDGEBDA==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量23sincos,sin,cos,sin22222xxxxx

ab=+=−，函数()fxab=.（1）求函数()fx的单调增区间和对称轴；（2）若关于x的方程()0fxm−=在0,2上有两个不同的解，记为,.①求实数m的取值范围；②证

明：()2cos12m−=−.【答案】（1）ππ22,2,Z33ππkkk−+，对称轴为3ππ，Zxkk=+（2）①)3,2；②证明见解析【解析】分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()fx，利用整体代入法计算出单调增区间

和对称轴；（2）根据()fx范围求实数m的取值范围；根据,是()0fxm−=两个不同解可知()()ff=，根据图象可得2π23−=−，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()π23sincosc

ossinsin3sincos2sin222226xxxxxfxxxx=++−=+=+，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z26233kxkkZkxkk−++−

+此时函数()fx单调递增，函数()fx单调递增区间为ππ22,2,Z33ππkkk−+.令πππ62xk+=+得()ππ,Z3xkk=+，所以函数()fx的对称轴为()ππ,Z3xkk=+；【小问2详解】①π0,2x，ππ2π,

663x+，由图象分析得()fxm=，有两个不同的解，则3ππsin1,32sin2266xx++，)3,2m.【②因为,是方程π2sin6xm+=的两个根，所以ππ2sin,2sin66mm+=+=

，由图象分析得，2π2π2π,,2333+==−−=−，()2222πππcoscos2cos22sin121133622mm−=−=−+=+−=−=−.2

1.已知Ra，函数()()22log3fxxxa=−+.（1）若函数()fx的图象经过点()3,1，求不等式()1fx的解集；（2）设2a，若对任意3,4t，函数()fx在区间,1tt+上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.【答案】（1）{01

xx∣或23}x；（2）)4,+.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log3fxxxa=−+可求出a，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log3fxxxa=−+在区间,1tt+上单调

递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252att−+−对任意3,4t恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log3331fa=−+=，解得2a=，即()()22log32fxxx=−+由()()222log32

1log2fxxx=−+=，可得22320322xxxx−+−+，解得01x或23x，所以不等式()1fx的解集为{01xx∣或23}x；【小问2详解】因为()()22log3fxxxa=−+是复合函数，设()23pxxxa=−+，()2log()fxp

x=，因为3,4t，()23pxxxa=−+在区间,1tt+单调递增，()2log()fxpx=单调递增，故函数()fx在区间,1tt+上单调递增，又2a，所以()223390pxxxaaa=−+−+=，所以()()maxmin()1,()fxftfxft=

+=，由题意，()()11ftft+−，即()()2222log(1)31log23ttatta+−++−+，对任意3,4t恒成立，故()()22(1)3123ttatta+−++−+，对任意

3,4t恒成立，整理得：252att−+−，令()252gttt=−+−，3,4t，只需max()gta即可，因为()252gttt=−+−的对称轴为52t=，图象是开口向下的抛物线，故()252gtt

t=−+−在3,4t上单调递减，故()max()34gtg==，所以4a，即a的取值范围是)4,+.22.设n次多项式()()1211210,0nnnnnnTxaxaxaxaxaa−−=+++++，若其满足()coscosnTn=，

则称这些多项式()nTx为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos1=−可得切比雪夫多项式()2221Txx=−.（1）求切比雪夫多项式()3Tx；（2）求sin18的值；（3）已知方程38610xx−−=在()1,1−上有三个不同的根，记为123,,xxx，求

证：1230xxx++=.【答案】（1）()3343Txxx=−（2）51sin184−=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos表示cos3，由此可得()3Tx；（2）由诱导公式可得cos54sin36=，根据（1

）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18；（3）方法一：由已知314302xx−−=，设cosx=，由（1）可求，再根据两角和差余弦公式证明1230xxx++=；方法二：由已知()()()3123

143402xxxxxxxx−−=−−−=，根据整式性质可得1230xxx++=.【小问1详解】因为()cos3cos2cos2cossin2sin=+=−所以()()2232cos32c

os1cos2sincos2coscos21coscos=−−=−−−所以3cos34cos3cos=−，所以()3343Txxx=−；【小问2详解】因为cos54sin36=，所以34cos183cos182si

n18cos18−=，又cos180，所以24cos1832sin18−=，所以()241sin1832sin18−−=即24sin182sin1810+−=，因为sin180，解得51sin18,4−=（514−−舍去）；【小问3详解】由题意，314302

xx−−=，法一：设cosx=，代入方程得到3114cos3cos0cos322−−==，解三角方程得ππ32π,32π,Z33kkk=+=−+，不妨取123π5π7π,,999=

==，123π5π7ππ4π2πcoscoscoscoscoscos999999xxx++=++=−+，而4π2π3ππ3πππcoscoscoscoscos9999999+=++−=，综上1230xxx++=.法二：令()()()3123

143402xxxxxxxx−−=−−−=即()()323123122313123144302xxxxxxxxxxxxxxxxx−+++++−=−−=依据多项式系数对应相等得到1230xxx++=.综上1230xxx++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、

新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.