【文档说明】贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三上学期开学考试 数学 Word版含解析.docx,共(19)页,1.204 MB,由小赞的店铺上传
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高三数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写
在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:高考全部内容.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数2iz=+
,则z=()A.2i−+B.2i−C.2i−−D.12i+2.已知集合2log2Axx=,1,1,3,5B=−,则AB=()A.1B.3C.1,3D.1,3,53.函数()sintanfxxx=+的最小正周期为()A2πB.π
C.2D.14.已知0.23a=,2ab−=,1ca=−,则()A.acbB.bcaC.cabD.cba5.如图,在直角梯形ABCD中,ABCD∥,ABBC⊥,且1AB=,3BC=,2DC=.将直角梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周,则所得旋转体的表面积为()A.
26π5π+B.3π5π+C.11πD.63π5π+6.已知()0,π,且π1cos43+=,则cos2=().A.429B.429C.79D.797.已知点()0,1P−关于直线10xy−+=对称的点Q在圆C:2240xymx+++=上,则m=()A.4B.
92C.4−D.92−8.已知函数()()ln11fxxax=−++,()()21gxax=+.当1x时,()()20fxgx+恒成立,则a的取值范围为()A.()0,1B.()1,+C.(0,1D.)1,
+二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若随机变量()B6,pX,且()5316PX==,则()A.12p=B.()2EX=
C.()217EX+=D.()3DX=10.已知0M,椭圆1C:2213xyM+=,2C:221xyM+=的离心率分别为1e,2e.若123ee=,则M的值可能为()A43B.123+C.213−D.1611.如图,平行六面
体1111ABCDABCD−的所有棱长均为2,AB,AD,1AA两两所成夹角均为60o,点E,F分别在棱1BB,1DD上,且12BEBE=,12DFDF=,则()A.A,E,1C,F四点共面B.1AA在1ACuuur方向上的投影向量为113AC.
C.103EF=D.直线1AC与EF所成角的余弦值为1515三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量()2,mx=,()4,3nx=+,若//mn,则x=______.13.()()4121xx+−的展开式中3x的系数为______.14.对于任意的,xy
R,函数()fx满足()()()()2fxyfxyfxfy++−=,函数()gx满足()()()gxygxgy+=.若()21f=−,()38g=,则()()2024gf=______.四、解答题:本题
共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABCV的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且222ababc++=.(1)求A的取值范围;(2)若()3sincosfxxx=+,且()()2fAfC=,求B值.16.已知奇
函数()32fxaxbxcx=++在2x=处取得极大值16.(1)求()fx解析式;(2)求经过坐标原点并与曲线()yfx=相切的切线方程.17.如图,在四面体ABCD中,2DADBDC===.若从直线DA,DB,DC,BC中任选两条,则它们互相垂直概率为12.(
1)证明:AD⊥平面BCD;(2)若四面体ABCD的体积为233,且BCBD,求直线AB与平面ADC所成角的正弦值.的的的18.已知双曲线1C:()222210,0yxabab−=的一个焦点与抛物线2C:28xy=的焦点
F重合,且1C被2C的准线l截得的弦长为233.(1)求1C的方程;(2)若过F的直线与1C的上支交于A,B两点,设O为坐标原点,求+OAOB的取值范围.19.已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为nS,若存在正整数k,使得对任意正整数n,均有2122nnnkakakaS
+++,则称{𝑎𝑛}为“k型”数列.(1)若0nac=,且{𝑎𝑛}为“k型”数列,求k的最小值;(2)若{𝑎𝑛}为“3型”数列,且()0,11,2,,iain=,设nS的所有可能值个数为()Tn,证明:()20241112iiT=.高三数学试卷注
意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写
在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:高考全部内容.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数2iz=+,则z
=()A.2i−+B.2i−C.2i−−D.12i+【答案】B【解析】【分析】利用共轭复数的定义计算即可.【详解】因为2iz=+,所以2iz=−.故选:B2.已知集合2log2Axx=,1,1,
3,5B=−,则AB=()A.1B.3C.1,3D.1,3,5【答案】C【解析】【分析】由对数函数的定义域与单调性可求得集合A,再结合交集的概念即可得答案.【详解】因为()2log2
0,4Axx==,所以1,3AB=.故选:C.3.函数()sintanfxxx=+的最小正周期为()A.2πB.πC.2D.1【答案】A【解析】【分析】由正弦函数与正切的函数的周期即可直接判断.【详解】因为函数sinyx=与tanyx=的最小正周期分别为2
π,π,所以()fx的最小正周期为2π.故选:A.4.已知0.23a=,2ab−=,1ca=−,则()A.acbB.bcaC.cabD.cba【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的性质判定
大小即可.【详解】由指数函数的性质易得0.20331a==,所以00221a−=,10a−,故cba.故选:D5.如图,在直角梯形ABCD中,ABCD∥,ABBC⊥,且1AB=,3BC=,2DC=.将直角梯形
ABCD绕BC所在的直线旋转一周,则所得旋转体的表面积为()A.26π5π+B.3π5π+C.11πD.63π5π+【答案】C【解析】【分析】由圆台的表面积公式求解即可.【详解】由题可知,该旋转体为上底面半径11r=,下底面半径22r=,母线长2l=的圆台,则该圆台的表面积()221212π11
πSrrrlrl=+++=.故选:C.6.已知()0,π,且π1cos43+=,则cos2=()A.429B.429C.79D.79【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式结合角的余弦值确
定角的范围计算即可.【详解】因为()0,π,π1cos043+=,所以πππ,442+,则2ππ22sin1cos443+=−+=,则πππππ42cos2cos2sin22sincos424449
=+−=+=++=.故选:A7.已知点()0,1P−关于直线10xy−+=对称的点Q在圆C:2240xymx+++=上,则m=()A.4B.92C.4−D.92−【答案】B【解析】【分析】设(),Qa
b利用点关于线对称列方程求得Q坐标,代入圆方程计算即可.【详解】设(),Qab,则110011022baab+=−−+−−+=,解得2a=−,1b=.因为Q在C上,所以41240m+−+=,解得92m=.故选:B8.已知函数()
()ln11fxxax=−++,()()21gxax=+.当1x时,()()20fxgx+恒成立,则a的取值范围为()A.()0,1B.()1,+C.(0,1D.)1,+【答案】D【解析】【分析】令()()()2hxfxgx=+
,利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可.【详解】令()()()()()222ln2121hxfxgxxaxaxax=+=−++++,则()()()()2112212xaxhxaaxxx−−=−++=
.若0a,则()0hx在)1,+上恒成立,则()hx在)1,+上单调递减,则()()10hxh=,不符合题意.若01a,则当11,xa时,()0hx,()hx单调递减,则()()10hxh=,不符合题意.若1a
,则()0hx在)1,+上恒成立,则()hx在)1,+上单调递增,即()()10hxh=,符合题意.故a的取值范围为)1,+.故选:D【点睛】思路点睛:通过构造函数()()()2hxfxgx=+,直接求
导含参讨论函数的单调性,结合端点值,排除1a的情况即可.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若随机变量()B6,pX,且()5316PX==,则()A.12p=B.()2EX=C.()217EX+=D.()3DX=【答案】AC【解析】【分析】利用二项分布的性质及期望、方差公式计算一一判定选项即可.【详解】因为()B6,pX,所以()()333653C116PXp
p==−=,整理得()114pp−=,解得12p=,则()1632EX==,()()21217EXEX+=+=,()1136222DX==.故选:AC10.已知0M,椭圆1C:2213xyM+
=,2C:221xyM+=的离心率分别为1e,2e.若123ee=,则M的值可能为()A.43B.123+C.213−D.16【答案】AB【解析】【分析】分别根据12,CC椭圆方程,结合分类讨论思想得出21e,22e,再由12
3ee=得出M的等量关系式,求解即可得出答案.【详解】若1M,则21313MeM−=,221MeM−=,则31333MMMM−−=,解得43M=.若113M,则21313MeM−=,221eM=−,则31333
MMM−=−,解得123M+=或123M−=(舍去).若103M,则2113eM=−,221eM=−,1333MM−=−,方程无解.故选:AB.11.如图,平行六面体1111ABCDABCD−的所
有棱长均为2,AB,AD,1AA两两所成夹角均为60o,点E,F分别在棱1BB,1DD上,且12BEBE=,12DFDF=,则()A.A,E,1C,F四点共面B.1AA在1ACuuur方向上的投影向量为113
ACC.103EF=的D.直线1AC与EF所成角的余弦值为1515【答案】ABD【解析】【分析】在1AA上取点H,使得12=AHHA,可得四边形1AHBE、四边形11HFCB为平行四边形,求出1//AECF,可判断A;对1
1ACABADAA=++两边平方求出1AC,再由投影向量的定义可判断B;由EF的线性运算后再平方可判断C;由向量的夹角公式计算可判断D.【详解】对于A,在1AA上取点H,使得12=AHHA,连接11,,,AECFEFBH,因为11,//=AHBEAHBE,所以四边形1AHBE为平行四边形,
可得1=AEBH,因为1111,==HFBCHFBC,所以四边形11HFCB为平行四边形,可得11//BHCF,所以1//AECF,可得A,E,1C,F四点共面,故A正确;对于B,因为平行六面体棱长均为2,AB、AD、1AA两两所成夹角均为60o,所以11ACABADAA=++
,则2222111122224ACABADAAABADABAAADAA=+++++=,则126AC=,()211111111111243AAABAAADAAACAAACACACACAC++==,故
B正确;对于C,111121333EFAFAEADDDABBBABADAA=−=+−−=−+−,22221111224029339EFABADAAABADABAAADAA=++−+−=,则2103EF=,故C不正确
;对于D,故()1111138153ABADAAABADAAACEFACEF++−+−=12211214281533331581581533ABADAAABAAADAA−+−−+−===−,故直线1AC与EF所成角的余弦值为
1515,D正确.故选:ABD.【点睛】关键点点睛:求向量模长解题的关键点是先对所求向量进行线性运算,再平方计算.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量()2,mx=,()4,3nx=+,若//mn,则
x=______.【答案】3【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标表示计算即可.【详解】因为//mn,所以()2340xx+−=,解得3x=.故答案为:313.()()4121xx+−的展开式中3x的系数为______.【答案】8【解析】【分析】由题意利用二项式展开式
的通项公式可得答案.【详解】由二项式定理可得()()4444011Ciiiixx−=−=−,该展开式中3x系数为()1141C−,2x的系数为()2241C−,故()()()()444121121+−−−=+xxxxx的展开式中3x的系数为:()()1212441C21C8−+−=
.故答案:8.的为14.对于任意的,xyR,函数()fx满足()()()()2fxyfxyfxfy++−=,函数()gx满足()()()gxygxgy+=.若()21f=−,()38g=,则()()2024gf=______.【答案】2【解析
】【分析】利用赋值法先判定()fx的周期性,化()()()()20240gfgf=,再利用赋值法计算即可.【详解】令0y=,得()()()220fxffx=,则()01f=或()0fx=(与()21f=−矛盾舍去).令1xy==,得()(
)()220210fff+==,则()10f=,则()()110fxfx++−=,则()()4fxfx+=,则()()202401ff==.又因为()()()gxygxgy+=,所以()()()()332118gggg===
,则()12g=,从而()()()202412gfg==.故答案为:2【点睛】思路点睛:抽象函数的性质问题通常用赋值法,通过巧妙赋值先判定()fx的周期性,再利用赋值法计算函数值即可.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABCV的内
角A,B,C的对边分别为a,b,c,且222ababc++=.(1)求A的取值范围;(2)若()3sincosfxxx=+,且()()2fAfC=,求B的值.【答案】(1)π0,3(2)π4【解析】【分析】(1)由余弦定理可求出C可得答案;(2)由
两角和的正弦展开式化简()fx,再由()()2fAfC=及A的范围求出A可得答案.【小问1详解】由余弦定理可知2221cos222abcabCabab+−−===−.因为()0,πC,所以2π3C=,则A的取值范围为π0,3;【
小问2详解】()π3sincos2sin6fxxxx=+=+.由()()2fAfC=,得ππ2ππ2sin2sin2sin66362AC+=+=+=,由(1)可知π0,3A,所以πππ,662A+
,则ππ64A+=,解得π12A=,则ππ4BAC=−−=.16.已知奇函数()32fxaxbxcx=++在2x=处取得极大值16.(1)求()fx的解析式;(2)求经过坐标原点并与曲线()yfx=相切的切线方程.【答案】(1)()312fxxx=−+(2)12yx=【
解析】【分析】(1)先由()fx是奇函数求得0b=,再结合()fx在2x=处取得极大值16构成方程组即可求得a和c,则解析式可求;(2)先设切点坐标为()3000,12xxx−+,再结合导数的几何意义即可求出切线方程.【小问1详解】因为()fx是奇函数,
所以𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥),即3232axbxcxaxbxcx−+−=−−−,则0b=,从而()3fxaxcx=+,()23fxaxc=+.因为()fx在2x=处取得极大值16,所以()()2120,28216,facfac=+=
=+=解得1,12,ac=−=经检验知此时()fx在2x=处取得极大值,故()312fxxx=−+.【小问2详解】由(1)可设切点坐标为()3000,12xxx−+,则()200312fxx=+−,切线方程为()()32000012312yxxxxx+−=−+−.因为
切线经过坐标原点,所以33000012312xxxx−=−,解得00x=,故经过坐标原点并与曲线𝑦=𝑓(𝑥)相切的切线方程为12yx=.17.如图,在四面体ABCD中,2DADBDC===.若从直线DA,DB,DC,BC中任选两条,则它们互相垂直的概率为12.(1)证明:AD⊥平面BC
D;(2)若四面体ABCD的体积为233,且BCBD,求直线AB与平面ADC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)64【解析】【分析】(1)由直线DA,DB,DC,BC中任选两条,它们互相垂直的概率为12可得
ADBC⊥,ADBD⊥,ADCD⊥,结合线面垂直的判定定理即可得证;(2)由四面体的体积为可得2π3BDC=,过点B作BHCD⊥,垂足为H,证明BAH为直线AB与平面ADC所成的角即可求得答案.【小问1详解】证明:从直线DA,DB,DC,BC中任选两条,不同的选法共有24C6=种,因为它
们互相垂直的概率为12,所以互相垂直的直线有3对.又DBDC=,所以BC与BD,CD均不垂直.若DBDC⊥,则AD恰与BC,BD,CD的其中两条垂直,不妨设ADBD⊥,ADCD⊥,则AD⊥平面BCD,则ADBC⊥,不符合题意.若DB与
DC不垂直,则ADBC⊥,ADBD⊥,ADCD⊥,BDCDD=,,BDCD平面BCD,则AD⊥平面BCD,符合题意,故AD⊥平面BCD.【小问2详解】解:设BDC=,则1423sin333ABCDBCD
VSAD===△,解得3sin2=,则π3=或2π3=.若π3=,则BCD△为正三角形,则BCBD=,不符合题意.若2π3=,则BCBD,符合题意.如图,过点B作BHCD⊥,垂足为H.因为AD⊥平面BCD,BH平面BCD,所以ADBH⊥,ADCDD=,,A
DCD平面ADC,所以BH⊥平面ADC.连接AH,则BAH为直线AB与平面ADC所成的角.sin3BHDB==,2222ABDADB=+=则36sin422BHBAHAB===,故直线AB与平面A
DC所成角的正弦值为64.18.已知双曲线1C:()222210,0yxabab−=的一个焦点与抛物线2C:28xy=的焦点F重合,且1C被2C的准线l截得的弦长为233.(1)求1C的方程;(2)若过F的直线
与1C的上支交于A,B两点,设O为坐标原点,求+OAOB的取值范围.【答案】(1)2213yx−=(2))4,+【解析】【分析】(1)根据抛物线的几何性质,求解焦点F的坐标和准线方程,进而得到双曲线的焦点坐标,又由双曲线被抛物线准线截
得的弦长为233,可得双曲线的方程;(2)设ABl:2ykx=+,代入双曲线方程,利用根与系数的关系及韦达定理的应用,化简即可得OAOB+关于k的表达式,结合二次函数的性质即可求得OAOB+的取值范围.【小问1详解】由题可知,F的坐标为(0,
2),则224ab+=.易知l的方程为2y=−,不妨设l与1C相交于点(),2Mm−−,(),2Nm−,则22241mab−=,整理得4222241bmbaa=−=,则222323bMNma===,可得3,1,ab=
=故1C的方程为2213yx−=.【小问2详解】由题可知,直线AB的斜率一定存在,设ABl:2ykx=+,𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),则()11,OAxy=,()22,OBxy=.联立方程组222,1,3ykxyx=+
−=整理得()223410kxkx−++=,则12243kxxk−+=−,12213xxk=−()121221243yykxxk−+=++=−,()221212122312243kyykxxkxxk−−=+++=−.由A,B在x轴的上
方,所以1221203yyk−+=−,212231203kyyk−−=−,可得203k.()1212,OAOBxxyy+=++,则()()221212OAOBxxyy+=+++()()222222912144333kkkk+=
=+−−−.由203k,得21133k−−,则()2221214433kk+−−,故OAOB+的取值范围为)4,+.【点睛】方法点睛:解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,
非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值和范围问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.本题(2)就是用的这种思路,利用函数的性质求OAOB+的范围.19.已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为nS,若存在正整数k,使得对任意正整数
n,均有2122nnnkakakaS+++,则称{𝑎𝑛}为“k型”数列.(1)若0nac=,且{𝑎𝑛}为“k型”数列,求k的最小值;(2)若{𝑎𝑛}为“3型”数列,且()0,11,2,,iain
=,设nS的所有可能值个数为()Tn,证明:()20241112iiT=.【答案】(1)3(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据条件可先得出22nkkkn+++,取1n=得出2k,再利用指数函数的
性质适当放缩可证明3k=满足条件,从而得出结果;(2)先根据条件得出11a=,再设{𝑎𝑛}的前n项中有()1mmn项为1,其余项为0,利用适当放缩得出对任意()1mmn,均有{𝑎𝑛}“3型”数列,最后利用等比数列求和公式即可证明结论.【小问1详解】因
为0nac=,所以0nnSnanc==.又{𝑎𝑛}为“k型”数列,所以对任意正整数n,均有2122nnnkakakaS+++,即22nkkkn+++.当1n=时,2k.因为*kN,所以当3k=时,222222222nnk
kkn+++++++++=,从而2123332nnnaaaS+++,即{𝑎𝑛}为“3型”数列.故k的最小值为3.小问2详解】由题意可知2123332nnnaaaS+++,为【因为()0,11,2,,iain=,令
1n=,则1132aa,所以11a=,所以{𝑎𝑛}中至少有一项为1.设{𝑎𝑛}的前n项中有()1mmn项为1,其余项为0,则()10nSmnmm=+−=.不妨设()1212,,,11miiimaaaiiin==,则11i=,22i,…
,11mim−−,mim,从而1212333333miiim++++++,因为12212333333miiinnaaa+++=+++,所以21212333333322nmnna
aammS++++++=,则对任意()1mmn,均有{𝑎𝑛}为“3型”数列,故nS的所有可能值个数为n,即()Tnn=,从而()20241120242024202411111122111
22212iiiiT==−===−−,证毕.【点睛】思路点睛:第一问先由条件得出2k,再证明3k=符号题意即可;第二问,设数列{𝑎𝑛}中有m项为1,其余项为0,通过适当放缩证明1nm都符合题意,从而求得()Tn,
利用等比数列求和公式即可证明.