【文档说明】福建省泉州市泉港区第一中学2021届高三上学期12月月考试题 数学 含答案.doc，共(9)页，502.500 KB，由管理员店铺上传

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泉港区第一中学2020—2021学年第一学期12月月考高三数学试卷试卷满分（150分）考试时间（150分钟）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合1．已知集合0,1,234=M，，，2230=−−Nxxx，若=PMN，则P的

子集共有A．2个B．4个C．6个D．8个2．已知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的离心率为A．2B．3C．2D．随着坐标系的不同而变化3.已知复数()()11zaai=-++，则在复平面内，复数z对应的点不可能位于A.第一象限B.第二象限C.第

三象限D.第四象限4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，有下

列3个说法：①得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；②得到橘子最多的人个数是最少的3倍；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数恰好是这5人的所得橘子的平均数．其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．35．右边程序框图的功能是求出116+16+6的值，则框图中①、②两处应分别填写的是A．1,ia

B．1,6ia−C．1,iaD．1,6ia−6.几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．203B．7C．8D．2437．函数xxy||log2=的大致图像是（）ABCD8.“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦点在y轴上的椭圆的()A．充分而不必要

条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.设向量满足，2abab+=−=，则以,,abab−为边长的三角形面积最大值为A．1B．2C．3D．410.已知抛物线24=yx，焦点为F，过F的直线l和抛物线交于点A,B，和抛物线准

线交于点C，若2=CFBF，则AF的长度为A．3B．4C．5D．611.已知()sinfxx=的图像向左平移(0)个单位后得到函数()gx的图像.若544x，时，()()fxgx，则(

)()()hxfxgx=+的一个单调递增区间是（）A．344−，B．22−，C．344−，D．544，12.对任意)12,1,xx+，当21xx时，恒有()2211ln2xaxxx−，则实数a的取值范围是（）A.(),

2−B.()2,+C.(,2−D.)2,+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知sinxyx=在点M处的切线方程为+=xy，则点M的坐标为__________.14.设xy，满足的约束条件1010220

+−−−−+xyxyxy，则3=+zxy的最大值为__________.15.已知ABCBCD⊥平面平面,=2BC，BDCD⊥,=4ABAC+,则三棱锥-ABCD外接球表面积的最小值是__________.16.如果一个点是一个指

数函数和反函数对数函数的图像的交点，那么称这个点为“好点”。已知点(,1)Pab-是“好点”，则22ab+的最小值为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}na的公差d为1，且134,,aaa成等比数列.（Ⅰ）求数

列{}na的通项公式；（Ⅱ）设数列52nanbn+=+，求数列{}nb的前n项和nS.18．如图，在ABC中，2AB=，3cos24cos10BB++=，且点D在线段BC上．（Ⅰ）若34ADC=，求AD长；（Ⅱ）若AD为ABC角平分线，22ADCABDSS=，求A

BC的面积．19.正四面体ABCD−中，,,,,,EFGHMN分别是棱,,ABAC,,,CDBDBCAD的中点。（Ⅰ）求证：EFGHMND⊥平面平面（Ⅱ）记三棱锥MNCD−的体积为1V,几何体CGF

BHE−的体积为2V，求12VV20.已知抛物线:C22(0)ypxp=，点()()1,0Amm在曲线C上，它到准线的距离等于2.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)若,EF是抛物线C上的两个动点，直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，求证：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

21．（本小题满分12分）已知函数2()ln1fxxxx=−++（Ⅰ）求证：方程()0fx=有两不相等实根；（Ⅱ）是否存在k，使的()fx在区间,mn上的值域是,kknmnm−−，其中区间),1,mn+.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极

坐标系中，曲线1C的极坐标方程是244cos3sin=+，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线2C的参数方程为：{xcosysin==（为参数）.（1）求曲线1C的直角坐标方程与曲线2C的普

通方程；（2）将曲线2C经过伸缩变换'22{'2xxyy==后得到曲线3C，若M，N分别是曲线1C和曲线3C上的动点，求MN的最小值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知()()21fxxaxaR=−−+.（1）当1a=时，解不等式()2fx.（2）若不等式()2112fxxx

a+++−对xR恒成立，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分1.D2.A3.D4.D5.B6.A7.C8.C9.A10.B11.A12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.(),014.1315.3

16.12三、解答题：本大题共6小题，共70分（第一小题10分其他每题12分）（17）解：（1）解析：（Ⅰ）在等差数列{}na中，因为134,,aaa成等比数列，所以2314aaa=，即22111(2)3adaad+=+，解得2140add+=.因为1d=，所以14a=−，所以数列{}na的通项

公式5nan=−.……………5分Ⅱ）由（Ⅰ）知5nan=−,所以522nannbnn+=+=+.123231(2222)(123)2(12)(1)(1)221222nnnnnSbbbbnnnnn+=++++=+++++++++−++=+=+−−18.解：（1）由

3cos24cos10BB++=，可得23cos2cos10BB+−=，所以1cos3B=或cos1B=−（舍去）所以22sin3B=因为34ADC=，所以4ADB=由正弦定理可得：sinsinABA

DADBB=，所以83AD=（2）AD为ABC角平分线，22ADCABDSS=2AB=，所以42AC=由余弦定理2222cosACABBCABBCB=+−可得6BC=或143BC=−（舍去）所以1sin2ABCSABBCB=

=122264223=19.证明：（Ⅰ）连接AM,则=AMMD又NAD为中点，所以MNAD⊥在ACD中，FGAD∥，因此MNFG⊥,同理可证MNEF⊥,且FGEFG=所以MNEFGH⊥平面，又MNMND平面所以EFGHMND⊥平面平面（Ⅱ）记正四面体

ABCD−的体积为V，点ABCD到平面的距离为h所以11324NMCDMCDhVVVS−===又几何体CGFBHE−的体积为22VV=(也可切割求解)所以1212VV=20.（Ⅰ）由题意，122p+=,所以2p=，所以抛物线C

的方程为24yx=；（Ⅱ）因为()1,2A，设直线AE方程为:()12ykx=−+，代入24yx=得:()()2222244440kxkkxkk−−++−+=，设()(),,,EEFFExyFxy，因为点()1,2A在椭圆上，所以22441Ekkxk−+=,所以

2244Ekkxk−+=。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k−代k，可得2244Fkkxk++=，所以直线EF的斜率()()1212FEEFFEkxkxkxx−−+−−+

=−()21FEFEkxxxx−+−==−−，即直线EF的斜率为定值，其值为-1。21.解：（Ⅰ）()fx的定义域()0,+()()22221121'()xxxxfxxx−+−−++==令'()0fx=解得1x=，或12x=−（舍去）所以，当()0,1x，()0fx

，当()1,x+，()0fx，所以()fx的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+，故当1x=时，()fx取得最大值为()110f=．2222()()10feee−−−=−−，(2)ln210f=−所以必存在唯一的()21,

1xe−，唯一的()21,2x，使得12,xx为()0fx=的两根.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()fx在)1+，上为减函数而当),1,mn+，()fx在,mn上的值域是,kknmnm−−所以()(),kkfmmfnnmn=−=−，其中1mn≤，则()kfxxx

=−在)1,+上至少有两个不同的实数根，由()kfxxx=−得32=ln2kxxxxx−++，记()32=ln2xxxxxx−++，)1,x+，则()2=ln342xxxx−++，记()()2=ln342gxxxxx=−+

+，则()164gxxx=−+，因为)1,x+，所以()1640gxxx=−+所以()gx在)1,+上为增函数，即()x在)1,+上为增函数，而()1=3，()2=ln220−所以存在()01,2,x使得()00x=因此当()01,xx时，()0

x，当()0,xx+时，()0x，所以()x在()01,x上为增函数，在()0,x+上为减函数.因为()()42，所以当()()01kx<，32=ln2kxxxxx−++有两个不同实根所以存在k，使的()fx在区间,mn上的值域是,kknmnm

−−，其中区间),1,mn+.22.（1）21(1),02Ayyxxyy==−=2(1)2,2ByyxxRyy==−−+=02AByy=（2）由已知条件得(,)2,02Mxyyxax==+因为点(.)mnM所以2

nma=+2222(),02mnmammaam=+=+−对称轴ma=−若22aa−−即时，nmm随着增大而减小，124+44mnma==−当时最小，所以所以72;16aa=−−不满足若020aa−即-2时，14ma

nm=−=−2当时最小，所以-a所以11-0;22aaa==−又因为2，所以若00aa−即时，nmm随着增大而增大，0mnm=当时最小值为0，显然不合题意；综上12a=−22.（1）∵1C的极坐标方程是244cos3sin=+，∴4cos

3sin24+=，整理得43240xy+−=，∴1C的直角坐标方程为43240xy+−=.曲线2C：{xcosysin==，∴221xy+=，故2C的普通方程为221xy+=.（2）将曲线2C经过伸缩变换'

22{'2xxyy==后得到曲线3C的方程为22''184xy+=，则曲线3C的参数方程为22{2xcosysin==（为参数）.设()22cos,2Nsin，则点N到曲线1C的距离为422cos32sin245d+−=()241sin2

45+−=()24241sin5−+=42tan3=.当()sin1+=时，d有最小值242415−，所以MN的最小值为242415−.23．（1）当1a=时，等式()2fx，即2112xx−−+，等价于1{1212xxx−−

++或11{21212xxx−−−−或1{22112xxx−−−，解得23x−或4x，所以原不等式的解集为()2,4,3−−+；（2）设()()1gxfxxx=+−+2xax=−+，则(),

2{3,2aaxxfxaxax−=−，则()fx在,2a−上是减函数，在,2a+上是增函数，∴当2ax=时，()fx取最小值且最小值为22aaf=，∴2122

aa−，解得112a−，∴实数a的取值范围为1,12−.