【文档说明】重庆市西南大学附属中学2024届高三上学期11月模拟测试+数学+含解析.docx，共(16)页，1.245 MB，由小赞的店铺上传

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2024届高三11月模拟测试数学试题总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。1.已知集合2{|60},{|230}AxxxBxx=−−=+，则AB=（）A.3,32−B.3,32C.3,2−+D.()2,−

+2.若复数()()i1i2aa+−=−，Ra，则=a（）A.1−B.0C.1D.23.已知为锐角，π3sin35+=，则sin=（）A.34310−B.43310−C.34310+D.34310+−4.已知11

a=，21a=，1221nnnaaa−−++=（3n，*Nn），nS为其前n项和，则60S=（）A.30231−B.30431−C.30230−D.30430−5.2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹

备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A.1800B.1080C.720D.3606.对于两个函数()11e2thtt−=与()()1ln2122gtt

t=−+，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为1t，2t，则21tt−的最小值为（）A.1−B.ln2−C.1ln3−D.12ln2−7.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B

分别在双曲线的左、右两支上，0AFFB=，3BFFC=，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.103B.102C.52D.2338.已知曲线32399yxxx=−−++与曲线121xyx−=+交于点()()()

11222,,,,,,nnnAxyAxyAxy，则()1niiixy=+=（）A.16−B.12−C.9−D.6−二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。9.已知函数()π2sin23f

xx=+，把()fx的图象向左平移π3个单位长度得到函数()gx的图象，则（）A.()gx是奇函数B.()gx的图象关于直线π4x=−对称C.()gx在π0,2上单调递增D.不等式()0gx的解集为π,,Zππ2πkkk

++10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A.可能取到数字4B.中位数可能是2C.极差可能是4D.众数可能是211.如图，圆锥SO的底面

圆O的直径4AC=，母线长为22，点B是圆O上异于A，C的动点，则下列结论正确的是（）A.SC与底面所成角为45°B.圆锥SO的表面积为42πC.SAB的取值范围是ππ,42D.若点B为

弧AC的中点，则二面角SBCO−−的平面角大小为45°12.曲线C是平面内与两个定点1(0,1)F，2(0,1)F−的距离的积等于32的点P的轨迹，则下列结论正确的是（）A.曲线C关于坐标轴对称B.点P到原点距离的最大值为102C.12FPF△周长

的最大值为26+D.点P到y轴距离的最大值为22三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。13.若5π1sin123−=，则πcos26+的值为14.二项式612xx−展开式的常数项为.15.已知数列1,1naa=，对任意正整数k，2

1ka−，2ka，21ka+成等差数列，公差为2k，则100a=.16.设Ra，函数()21,02,0xxfxxaxx−=−+，若函数(())yffx=恰有3个零点，则实数a的取值范围为.四、解答题：共70分。17.（10分）在ABC中，角A，B

，C所对的边分别为a，b，c，且()3sincosabCC=+.(1)求B；(2)已知23BC=，D为边AB上的一点，若1BD=，π2ACD=，求AC的长.18.（12分）已知等比数列na的各项均为正数，前n项和为nS，若()*1212nnna

aan+++=N，5121S=.(1)求数列na的通项公式；(2)若lnnnnbaa=+，求数列nb的前n项和nT.19.（12分）图1是由正方形ABCD和正三角形ADE组成的一个平面图形，将ADEV沿AD折起，使

点E到达点P的位置，Q为PC的中点，如图2.(1)求证：AP//平面QBD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAD与平面QBD夹角的余弦值.20.（12分）某校20名学生的数学成绩()1,2,,20ixi=和知识竞赛成绩()1,2,,20iyi=如下表：学生编号i1

2345678910数学成绩ix100999693908885838077知识竞赛成绩iy29016022020065709010060270学生编号i11121314151617181920数学成绩ix75

747270686660503935知识竞赛成绩iy4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是75x=，知识竞赛成绩的平均值是90y=，并且()20216464iixx=−=，()2021149450iiyy=−=，()()20121650iiixxyy=−−=.(1

)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；(2)设*NN，变量x和变量y的一组样本数据为(),1,2,,iixyiN=，其中()1,2,,ixiN=两两不相同，()1,2,,iyiN=两两不相同.记ix在

1,2,,nxnN=中的排名是第iR位，iy在1,2,,nynN=中的排名是第iS位，1,2,,iN=.定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量x的排名和变量y的排名的样本

相关系数.（i）记iiidRS=−，1,2,,iN=.证明：()221611NiidNN==−−；（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.注：参考公式与参考数据.()()()(

)12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−；()()211216nknnnk=++=；646414945031000.21.（12分）动点P与定点(3,0)F的距离和它到直线43:3lx=的距离的比是常数32，记点

P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知(0,1)M，过点(2,1)N−的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线MA，MB分别与x轴交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.22.（12分）已知函数()()2ln1fxxaxa=−+R.(1)讨论

函数()fx的零点个数；(2)已知函数()()2eeaxgxxa=−R，当2e0ea时，关于x的方程()()fxgx=有两个实根()1212,xxxx，求证：1211eexx−−.（注：e2.

71828=是自然对数的底数）2024届高三11月模拟测试数学试题参考答案123456789101112DACBBBBBABBDACABC解析：1.由题意知：26023Axxxxx=−−=−，32302Bxxxx=+=−，所以：

()2,AB=−+，故D项正确.2.解：由题意，∵()()()222i1ii+ii21i220iaaaaaaa+−=−−=+−=−=−+，∴22210aa=−−=，解得：1a=−.3.因为π3sin35+=所以2ππ4cos1

sin335+=−+=，当π4cos35+=时，ππππππsinsinsincoscossin333333=+−=+−+31433430525210−=−=，为锐角，不合

题意，舍去；当π4cos35+=−时，ππππππsinsinsincoscossin333333=+−=+−+31433430525210+=+=，满足题意；所以sin=34310+.4.由1221nnnaaa

−−++=（3n，*Nn）可得()11212222112nnnnnnaaaaaa−−−−−++=++=++，已知11a=，21a=，所以1213aa++=，即11nnaa−++是一个以3为首项，2为公比的等比数列，所以21132

nnnaa−−++=，即2*1321(2,)Nnnnnnaa−−+=−，012321aa+=−，234321aa+=−，456321aa+=−，L，585960321aa+=−，()0258601260322230Saaa=+++=+++−3

0301433043114−=−=−−，5.①恰有2个部门所选的旅游地相同，第一步，先将选相同的2个部门取出，有24C6=种；第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有36A120=种，根据分步计数原理可得，方法有6120720=种；②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有46A

360=种，根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有7203601080+=种.6.12t，112()eetht−−=，210t−，()gt的值域是(,)−+，设12()()htgtm

==，则12em−，11etm−=，1ln1tm=+，2ln(21)2tm−+=，2211e22mt−=+，所以22211111eln1eln2222mmttmm−−−=+−−=−−，设12211()eln(e)22xfxxx−−=−−，211()e2xf

xx−=−，设()()Fxfx=，则2211()e2xFxx−=+0，()fx是增函数，又(2)0f=，因此12e2x−时，()0fx，()fx递减，2x时，()0fx，()fx递增，所以min1

1()(2)ln2ln222fxf==−−=−，所以21tt−的最小值是ln2−，7.由题设(c,0)F，令(,)Amn且ma−，(,)Cxy，则(,)Bmn−−，且22221mnab−=①，由222(,)(,)0AFFBcmnmcnmcn=−−−−−=−+

=，即222mnc+=②，由4333(,)(,)3xcmBFFCcmnxcyyn=+=+=−=，即(43,3)Ccmn+，又C在双曲线上，则2222(43)91cmnab+−=③，由①得：22221nmba=−，代入③并

整理得：22230cmca++=，由①②及222+=abc得：224222222222mbanbcmmaac=−=−=−，所以22222224(2)9189camcaca+==−，即22242222275(25)()0cacac

aca−+=−−=，显然22ac，则22251022ceea===.8.令()32399fxxxx=−−++，则()()()()3231131919122fxxxxxx−=−−−−+−+=−+−，()()()()3231131919122fxxxxxx−−=−

−−−−−+−−+=−−，()()114fxfx−+−−=−，()fx\关于()1,2−−中心对称；()2131232111xxyxxx−++−===−++++，121xyx−=+关于()1,2−−中心对

称；()()()2369331fxxxxx=−−+=−+−，当()(),31,x−−+时，()0fx；当()3,1x−时，()0fx¢>；()fx\在()(),3,1,−−+上单调递减，在()3,1−上单调递增，()fx极小值为()3272727918f−=−−

+=−，极大值为()1139914f=−−++=；当()1,x−+时，321yx=−++单调递减，且3221yx=−+−+，当1x=时，31214112y=−+=−+；作出()fx与121xyx−=+在1x−时的图象如下图所

示，由图象可知：()fx与121xyx−=+在()1,−+上有且仅有两个不同的交点，由对称性可知：()fx与121xyx−=+在(),1−−上有且仅有两个不同的交点，()()()()()4123412341122222iiixyxxxxyyyy=+=+++++++=−+−

12=−.9.A选项，()()2sin22sin22sin23πππ23gxxxx=++=+=−，由于()gx的定义域为R，且()()()2sin2sin2gxxxgx−=−−==−，故()gx为奇函数，A正确；B选项，ππ2sin242g−=−−=

，故()gx的图象关于直线π4x=−对称，B正确；C选项，π02,x时，2,π0x，其中sinyz=−在0,πz上不单调，故()2sin2gxx=−在π02,x上不单调，故C错误；D选项，()0g

x，则sin20x，则Zππ2,,πxkkk+，故,,Z22πππkkxk+，D错误.10.设这5个数字为12345,,,,xxxxx，对于A：若取到数字4，不妨设为14x=，则2345425xxx

x++++=，可得23456xxxx+++=，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为231xx==，则这5个数字的方差()()()()()222222123451222225=−+−+−+−+−sxxxxx()()()22216

421212155−+−+−=，不合题意，故A错误；对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为11x=，若极差是4，这最大数为5，不妨设为25x=，则这5个数字的平均

数()()123453451115255=++++=++++=xxxxxxxxx，则3454++=xxx，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差()()()()()2222221121252121222155=

−+−+−+−+−=s，不合题意，故C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD正确；11.对于A，因为SO⊥面ABC，所以S

CO是SC与底面所成角，在RtSOC△中，圆锥的母线长是22，半径2rOC==，则22cos222OCSCOSC===，所以SCO=45，则A正确；对于B，圆锥SO的侧面积为42πrl=，表面积为42π

+4π，则B错误；对于C，当点B与点A重合时，0ASB=为最小角，当点B与点C重合时π2ASB=，达到最大值，又因为B与A，C不重合，则π0,2ASB，又2πSABASB+=，可得ππ,42SAB，则C正确；对于D，如图所示，，取

BC的中点D，连接OD，SD，又O为AC的中点，则//ODAB，因为ABBC⊥，所以BCOD⊥，又SO⊥面ABC，BC面ABC，所以BCSO⊥，又SOODO=，BC⊥面SOD，故BCSD⊥，所以SDO为二面角SBCO−−的平面

角，因为点B为弧AC的中点，所以22AB=，122ODAB==，则tan2SOSDOOD==，则D错误.12.设(),Pxy，由123||||2PFPF=，得22223(1)(1)2xyxy+−++=，整理得22224(1)169xyy++

−=，若点00(,)xy在曲线C上，显然00(,)xy−，00(,)xy−都满足方程，即点00(,)xy−，00(,)xy−也在曲线C上，因此曲线C关于坐标轴对称，A正确；由22229162(1)2(1)yxyy+=+++，得22(21)(25)0yy+−，

解得252y，当且仅当0x=时取等号，因此点P到原点O的距离22295910||41414242POxyy=+=+−+−=，于是当250,2xy==时，点P到原点距离取得最大值102，B正确；显然12FPF△的周长为121222226PFPFPFPF+++=+

，当且仅当126||||2PFPF==时取等号，C正确；由曲线C的方程22224(1)169xyy++−=，得2229414xyy=+−−，当212x时，22914142yy+−−，即2293442yy++，两边平方解得201y，即当曲线C的点(,)Pxy满足201y

时，点P到y轴距离2||2x，D错误.13.79−14.6015.500116.(1,0)−13.由5π1sin123−=，得225π5π17cos212sin1261239−=−−=−=

，所以π5π5π7cos2cos2πcos26669+=+−=−−=−.14.612xx−展开式的通项为()()366621661C2C21rrrrrrrrTxxx

−−−+=−=−，取3602r−=，解得4r=，常数项为()44646C2160−−=.15.因为11a=，对任意正整数k，21ka−，2ka，21ka+成等差数列，公差为2k，所以21214kkaak+

−−=当21nk=−时，可得()()()()()()2131532121321148412112nkkknaaaaaaaaknakk−−−+==+−+−++−=++++−=−+=−，当2199,50kk−==时，2100250250125025025012505001a

aa−==+=−++=所以当100n=时，1005001a=16.设()tfx=，当0x时，()|1|fxx=−，此时0t，由()0ft=，得1t=，即()|1|1fxx=−=，解得0x=或2x=，即(()

)yffx=在[0,)+上有2个零点；若0a，2()2fxxax=−+，其图象对称轴为xa=，函数()yfx=的大致图像如图：则此时2()20fxxax=−+，即0t，则()0ft，即()0ft=无解，则()tfx=无零点，此时(())yffx=无零点，不符合题意；

故需a<0，此时函数()yfx=的大致图像如图：由()0ft=得1t=或ta=，要使得函数(())yffx=恰有3个零点，需满足(())yffx=在(,0)−上有一个零点此时()fxa=只有一个解，故只需1t=与函数()tfx=在y轴左侧图象无交

点，则需22()21faaa=−+，解得11a−，结合a<0，可得(1,0)a−，17.（1）∵()3sincosabCC=+，根据正弦定理得，()sinsin3sincosABCC=+，即sincoscossin3sinsinsincosBCBCBCBC+=+，所以

cossin3sinsinBCBC=，因为sin0C，所以cos3sinBB=，所以3tan3B=，因为()0,πB，所以π6B=.（2）因为23BC=，1BD=，π6B=，根据余弦定理得22232cos112212372CDBCB

DBCBDB=+−=+−=，∴7CD=.∵π2BDCA=+，∴πsinsincos2BDCAA=+=.在BDC中，由正弦定理知，sinsinBCCDBDCB=，∴2371cos2A=，∴21cos7A=，π0,2A，所以27sin7A=∴si

n23tancos3ACDAAAC===，∴212AC=.18.（1）设na的公比为()0qq，因为1212+++=nnnaaa，即212nnnaqaqa+=，且0na，可得2120qq+−=，解得3q=或4q=−（舍去）.又因为(

)5151312113aS−==−，解得11a=，所以1113nnnaaq−−==.（2）由（1）可得：()131ln3nnbn−=+−，所以()()012112333331231ln3nnnTbbbbn−=++++=++

+++++++−()()1311ln313ln31322nnnnnn−−+−−=+=−，所以()311ln32nnnnT−+−=.19.（1）证明：连AC交BD于点O，连OQ.由ABCD为正方

形知O为AC中点，又Q为PC中点，故APOQ∥，又AP平面BDQ且OQ平面BDQ，所以//AP平面BDQ.（2）取AD中点H，连PH，由PAD为等边三角形得PHAD⊥.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面,ABCDADPH=平

面PAD，所以PH⊥平面ABCD，以D为原点，,DADC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设2AB=，则()()()131,0,3,2,2,0,0,2,0,,1,22PBCQ，()1

32,2,0,,1,22DBDQ==，平面PAD就是坐标平面xDz，故可取其法向量()10,1,0n=，设平面QBD一个法向量为()2,,nxyz=uur，即2200DBnDQn==，则22013022xyxyz+=

++=，令3x=，则3,1yz=−=，得()23,3,1n=−，记平面PAD与平面QBD夹角为，则12121221coscos,7nnnnnn===，所以平面PAD与平面QBD夹角的余弦值为217.20.1）由题意，

这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为()()()()2020202221650216500.7031000646414950−−==−−iiiiiiixxyyrxxyy；（2）（i）证明：因为iR和iS都是1，2，L，

N的一个排列，所以11(1)2NNiiiiNNRS==+==，2211(1)(21)6NNiiiiNNNRS==++==，从而iR和iS的平均数都是12NRS+==.因此，()22222111112NNNNNiiiiiiiiiRRRRRRRNR=====

−=−+=−2(1)(21)(1)64NNNNN+++=−(1)(1)12NNN+−=，同理可得()21(1)(1)12NiiNNNSS=+−−=，由于21Niid=()()()2211NNiiiiiiRSRRSS===−=−−−

()()22112NNiiiiRRSS===−+−−()()1NiiiRRSS=−−()()1(1)(1)2212NiiiNNNRRSS=+−=−−−，所以()()()()()22112221

11(1)(1)161221(1)(1)112NNiiiNiiiNNiiiiiNNNRRSSddNNNNNRRSS=====+−−−−===−+−−−−.（ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是0.91，答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的

异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关.如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系.21.（1）设点(,)Pxy，依题意可得22

(3)32433xyx−+=−，所以()222343343xyx−+=−，化简得2244xy+=，即E的方程为2214xy+=.（2）如图所示：设直线AB的方程为1(2)ykx−=+，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy，联立方程组

2221440ykxkxy=+++−=，可得222(14)8(21)16160kxkkxkk+++++=，则2228(21)4(14)(1616)kkkkk=+−++()()()2222644416441640kkkkkkk=++−++=−，由韦达定

理有1228(21)14kkxxk−++=+，12216(1)14kkxxk+=+，且由求根公式有()()2221222642214bbkxxaaak−+−−−=−==+−，直线MA的方程为1111yyxx−=+，111Cxxy=−，同理221Dxxy=−，∵11

21=++ykxk，2221=++ykxk，∴1212()yykxx−=−，21122112()(2)2(2)2(2)()DCxxxxxxkxkxkxx−−=−=−+−+++，∴()12121122ACB

DACDBCDDCSSSCDyyxxyy=+=+=−−221212121212()()2(2)2()4()xxxxxxxxxx−−==+++++，又121222216(1)16(21)42()44141414kkkkxxxxkkk+++++=−+=+++

，且()()2221222642214bbkxxaaak−+−−−=−==+−，所以()221221212226414()1616164412()4414(4)()14ACBDkkxxkSxxxxkkkk−+−−=====++++−+−+，当且仅当12k=−时

，四边形ACBD的面积最大，最大值为4.22.（1）由已知函数()fx的定义域为()0,+，由()2ln10fxxax=−+=，得2ln1xax+=，令函数()()212ln12ln,xxuxuxxx+−==，当0ex时，()0ux，函

数()ux在()0,e上单调递增，当ex时，()0ux，函数()ux在()e,+单调递减，所以()max22e()eeeuxu===，因为0112ln12ln0,lim,lim0exxxxuxx→→+++=→−=，可知函数()ux的图象如下

所示：所以当2eea时，函数()fx的零点个数为0个，当0a或2eae=时，函数()fx的零点个数为1个，当2e0ea时，函数()fx的零点个数为2个.（2）由题设方程()()fxgx=，即22ln1eeaxxaxx−+=−，所以222

lnee2lne1lneeaxxaxxxx+=++=+，令()exxx=+，得()()2lneaxx=，又()1e0xx=+在R上恒成立，所以()x在R上单调递增，所以2lneaxx=，即12lnaxx=+，由已知，方程12lnaxx=+有两个实

根()1212,xxxx，即12lnxax+=有两个实根()1212,xxxx，由（1）得121eexx.令122112111,0eettttxx==，所以1112222ln,2ln,atttattt=−=−令()2ln(0)httttt=−，

所以()hta=有两个实根12,tt，先证122ett+.因为()12lnhtt=−−，令()0ht，解得10et，令()0ht，解得1et，所以()ht在10,e上单调递增，在1,e+上单调递减，要证122ett+，即证

122ett−，因为()12121,,eeettht−在1,e+上单调递减，只需证()122ehtht−，即证()222ehtht−.令()()210eeFththtt=−−，()()22212ln12ln22lne

eeFththttttt=+−=−−−−−=−−−，因为22210eeettttt−=−+，令()2210eetkttt=−+，可知函数()kt在10,e上单调递增，所以21

0eett−，所以2ln1ett−−，所以222ln0ett−−−，即()0Ft在10,e上恒成立，所以()Ft在10,e上单调递增，所以()10eFtF=，所以

()222ehtht−成立，即()122ehtht−成立，又12121,eeett−，且()ht在1,e+上单调递减，所以122ett−，所以122ett+，即

12112exx+，所以21121exx−，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com