【文档说明】江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.741 MB，由管理员店铺上传

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江西省高安中学2019—2020学年度上学期期中考试高一年级数学试题（A卷）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)1.已知集合A＝3(,),(,)xyyxBxyyx===，则A∩B的元素个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分

析】首先求解方程组3yxyx==，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3yxyx==，解得1,0,1x=−即3yx=和yx=的图象有3个交点()11−−，，()0,0，(11)

，，∴集合AB有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2.若两直线12,ll的倾斜角分别为与，则下列四个命题中正确的是（）A.若<，则两直线的斜率：k1<k2B.若=，则两直线的斜率：k1=k2C

.若两直线的斜率：k1<k2，则<D.若两直线的斜率：k1=k2，则=【答案】D【解析】【分析】由题意，两直线12,ll的倾斜角分别为与，斜率分别是12,kk，表示出斜率和角之间的关系，根据正切在[0,)之间的定义域和单调性的关系，即可作出判定，得到答案．【详解

】由题意，两直线12,ll的倾斜角分别为与，斜率分别是12,kk，所以12tan,tankk==，且,[0,)，根据正切在[0,)之间的定义域和单调性的关系，可得，对于A中，当(0,),(,)22，此时12kk，所以不正确；对于B中，当2=

=，此时斜率不存在，所以不正确；对于C中，当120,0kk，此时，所以不正确；对于D中，当12kk=，此时=，所以是正确的，故选D．【点睛】本题主要考查了斜率与倾斜角的关系，其中解答中正确理解直线的斜率与倾斜角的关系，合理运用

正切函数性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．3.平面向量a→与b→的夹角为45，()1,1a=，2b=，则3ab+等于()A.1362+B.25C.30D.34【答案】D【解析】【分析】通过题意可求得ab,从而2

33abab+=+,即可得到答案.【详解】由于()1,1a=,所以2a=,因此cos2abab==,因此222339634ababaabb+=+=++=,故选D.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，模的相关运

算，难度不大.4.已知直线230xy−−=的倾斜角为，则sin2的值是（）．A.14B.34C.45D.25【答案】C【解析】【详解】试题分析：2222sincos2tan4tan2,sin2sincos1tan5====++，选C.考点：二倍角公

式5.设{}na为等差数列,其前n项和为nS.若81126aa=+，则9S=()A.54B.40C.96D.80【答案】A【解析】【分析】由已知2a8＝a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6从而可得，a5＝6，代入等差数列的前n项和()19992a

as+=，然后利用利用等差数列的性质及所求的a5的值代入可求得答案．【详解】解：∵2a8＝a11+6由等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6从而可得，a5＝6由等差数列的前n项和可得，199599542aasa+===故选A．【点

睛】本题主要考查了等差数列的前n项和的求解，关键是由已知2a8＝a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6，求出a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质a1+a9＝2a5．灵活利用等差数列的性质是解得本题

的关键．6.已知直三棱柱111ABCABC−的所有棱长都相等，M为11AC的中点，则AM与1BC所成角的余弦值为()A.153B.53C.64D.104【答案】D【解析】【分析】取AC的中点N，连接1CN，则1//AMCN,所以异面直线AM与1BC所成角就是直线AM与1C

N所成角，在1BNC中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC的中点N，连接1CN，则1//AMCN,所以异面直线AM与1BC所成角就是直线AM与1CN所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,

22,3CNBCBN===，设直线AM与1CN所成角为，在1BNC中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos42522+−==，即异面直线AM与1BC所成角的余弦值为104，故选D．【点睛】本题主

要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.在ABC中，coscos2bCcBb+=，则ba=()A.2B

.12C.22−D.2【答案】B【解析】【分析】本题可以将cosC转化为2222abcab+−、cosB转化为2222acbac+−，通过化简得出2ab=，最后得出结果．【详解】coscos2bCcB

b+=，222222222abcacbbcbabac+−+−+=，22222ababa==，，即122bbab，==故选B．【点睛】解三角形的余弦公式：222cos2abcCab+−=．8.若,ab是函数2()(0,0)fxxpxqpq=−

+的两个不同的零点，且,,2ab−这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则pq+的值等于（）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得到,abpabq+

==，再由,,2ab−三个数列适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列出关于,ab的方程组，即可求解.【详解】由题意，若,ab是函数2()(0,0)fxxpxqpq=−+的两个不同的零点，可得,abpabq+==，因为0,0pq，可得

0,0ab，又,,2ab−三个数列适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得224baab=−=或224abab=−=，解得41ab==或14ab==，所以5,144pabq=+===，则9pq+=，

故选C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及等差数列和等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用一元二次方程的根和系数的关系和等差、等比数列的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题.9.已知函数()fx是定

义在12,mm−上的偶函数，12,0,xxm，当12xx时，()()()12120fxfxxx−−，则不等式()()12fxfx−的解集是（）A.11,3−B.11,23−C.10,3D.10

,2【答案】C【解析】【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出m，再根据偶函数的对称性和题设给的0,xm的增减性解题即可【详解】()fx是定义在12,mm−上的偶函数，120mm−+=，解得1m

=，()fx的定义域为1,1−又12,0,1xxQ，当12xx时，()()()12120fxfxxx−−()fx在0,1x单调递减，再由偶函数的对称性可知()()11,11221,112xfxfxxxx−−−−−，解得10,3x

答案选C【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略()fx所有括号中的取值都必须在定义域内10.已知函数()cos24fxx=+，将()yfx=的图象上所有

的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是()A.34B.38C.516D.316【答案】D【解析】【详解】将()yfx=的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得函数π()c

os44fxx=+的图象；再把所得的图象向右平移||个单位长度，可得函数ππcos4()cos4444yxx=−+=+−的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得ππ4π42k−=+，即ππ416k=−−

，kZ，当1k=−时，则的一个值是3π16．故选D．11.正数,ab满足191ab+=，若不等式2418abxxm+−++−对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3,)+B.(,3]−C.(,6

]−D.[6,)+【答案】D【解析】【分析】先用基本不等式求+ab的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值.【详解】190,0,1abab+=，1999()1010216babaababababab+=

++=+++=…当且仅当3ab=，即4,12ab==时，“=”成立，若不等式2418abxxm+−++−对任意实数x恒成立，则241816xxm−++−，即242xxm−++对任意实数x恒成立，2242(2)66xxx−++=−−+6m实数m的取值范围

是[6,)+.故选D.【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立.12.已知球O是正三棱锥ABCD−的外接球，底边3BC=，侧棱23AB=，点E在线段BD上，且3BDDE=，过点E作球O的截面，则所得

截面圆面积的取值范围是（）A.5,44B.2,4C.9,44D.11,44【答案】B【解析】【分析】设BCD的中心为1O，球O的半径为R，连接11,,,ODODOEOE，可得223(3)RR=+−，可得R的值，过点E作圆

O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】解：如图，设BCD的中心为1O，球O的半径为R，连接11,,,ODODOEOE，则02211123sin603,33ODAOADDO===−=，在1RtDOO中，223(3)RR=+−，解得

2R=，3,2BDBEDE==，在1DEO中，0134232cos301OE=+−=，22112OEOEOO=+=过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为222(2

)2−=，最小面积为2．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4．故选B【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)

13.已知函数()2()lg2fxxax=−+在区间(2,)+上单调递增，则实数a的取值范围是______.【答案】(,3−【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a的取值范围.【详解】要使()

fx在()2,+上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22yxax=−+对称轴在2x=的左边，并且在2x=时，二次函数的函数值为非负数，即2222220aa−+，解得3a.即实数a的取值

范围是(,3−.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.14.记不等式组(2)(3)0,0xyxyx−+表示的平面区域为D，则圆221xy+=在区域D内的弧长为________．【答案】4【解析】【

分析】根据不等式组，画出可行域和圆的曲线，求得两条直线夹角，进而求得区域内的弧长．【详解】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示()tantantan1tantan−−=+1123111123−−==+−所以两条直线形成的夹角为4所以圆221xy+=在区

域D内的弧长为4l=【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，圆方程曲线，应用正切函数的差角公式时注意角的符号，属于中档题．15.已知等差数列na的公差0d,且1313,,aaa成等比数列,若11,naS=为数列na的前n项和,则2245

nnSa++的最小值为____________.【答案】4【解析】依题意：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．可得221,nnanSn=−=,则()22(2)421622412162

445222nnnnSnnannn+−++++===++−++++,当且仅当n=2,等号成立.故答案为4点睛：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．16.已知函数()fx满足(1)(1)fxfx−+=+

，且(1)(1),()fxfxxR+=−,当0,1x时，()21xfx=−，若曲线()yfx=与直线(1)ykx=−有5个交点，则实数k的取值范围是_________.【答案】1111,,4664

−−【解析】【分析】由题意，可得()()()111fxfxfx−+=+=−知()fx是周期为2的函数，且图象关于1x=对称，利用()yfx=与()1ykx=−的图象，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得()()11fxfx+=−+，可得()()2fxfx=+，()fx

是周期为2的函数，又由()()11fxfx+=−，则函数()fx的图象关于1x=对称，由当0,1x时，()21xfx=−,可画出函数()yfx=的图象，作出直线()1ykx=−的图象，如图所示，要

使得()yfx=与()1ykx=−有5个交点，则当0k时，()()511711kk−−,解得1164k，当k0时，()()311511kk−−−−，解得1146k−−，所以实数k的取值范围是1111,,4

664−−，故答案为1111,,4664−−.【点睛】本题主要考査了函数与方程的综合应用，着重考査了数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与

形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．三、解答题(本大题共6小题,

共75分,17题满分10分，其余满分12分)17.（1）已知直线1:210lxmy++=与()2:4120lmxmy+++=.若12ll//，求m的值.（2）已知圆C过()()2,2,2,6AB−两点，且圆心C在直线30xy+=，求圆C的方程.【答案】（1）12

−；（2）22412240xyxy++−+=.【解析】【分析】（1）由两直线平行的条件，建立关于m的方程，求出m的值；（2）设圆C方程为220xyDxEyF++++=，代入条件，建立关于,,DEF的方程组，解方程组即可.【详解】（1）因为12ll，所以22(1)402(1)0

mmmm+−=−+，解得12m=−.（2）设圆C方程为220xyDxEyF++++=，则圆C的圆心为(,)22DE−−又由圆C过(2,2),(2,6)AB−两点，且圆心C在直线30xy+=上，则有302282204026

0DEDEFDEF−−=−++=+++=，解可得4,12,24DEF==−=，则圆C的方程为22412240xyxy++−+=.【点睛】（1）考查两直线一般式的平行条件，直线1110AxByC++=与直线2220AxByC++=平行的条件为1221122100AB

ABBCBC−=−；（2）考查利用待定系数求圆的方程，是基础题.18.已知公差不为0的等差数列na的首项12a=,且1241,1,1aaa+++成等比数列．（1）求数列na的通项公式;（2）设*11,nnnbnNaa+=,求数列

nb的前n项和nS．【答案】(1)*31,nannN=−;(2)2(32)nnSn=+.【解析】【分析】（1）设数列na的公差为d,根据题意，求解3d=，即可得到数列na的通项公式；（2）由

（1）可得11111[]33132nnnbaann+==−−+，利用裂项相消法，即可求解.【详解】(1)设数列na的公差为d,则()*21,nandnN=+−.由1241,1,1aaa+++成等比数列,得()()()2214111aaa+=

++即()()23333dd+=+,得0d=(舍去)或3d=.所以数列na的通项公式为*31,nannN=−(2)因为()()111111313233132nnnbaannnn+===−−+−+所以()111111111111...325358331323232232

nnSnnnn=−+−++−=−=−+++【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项相消法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定

通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且//ADBC，其中25,2,242,ABPABCADACBDE==

===.（1）证明：平面PBD⊥平面PAC.（2）求点B到平面PDC的距离．【答案】（1）见解析；（2）6147【解析】【分析】（1）由题意结合已知数据，利用勾股数证得ACBD⊥，又由PA⊥平面,ABCD可得PABD⊥，从而证得BD⊥平面PA

C，再利用面面垂直的判定定理可得结论.（2）先求得PBDCV−,利用余弦定理及三角形面积公式求得PDCS，利用等体积转化根据PBDCBPDCVV−−=可得距离.【详解】（1）过点A作AHBC⊥交BC于点H.因为底面ABCD

是等腰梯形，且242BCAD==，所以2,32BHHC==在RtABH中，2220232AHABBH=−=−=，同理可得6AC=因为BEC△与DEA△相似，所以2AEDE==，所以222448AEDEAD+=+==，则ACBD⊥因为PA⊥平面,ABCDBD平面ABCD，所以PABD

⊥因为PA平面,PACAC平面PAC，且PAACA=，所以BD⊥平面PAC因为BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC（2）因为PA⊥平面ABCD，所以,PAACPAAD⊥⊥，因为2,22,6PAADAC===，所以23,210PDPC==在PDC中，因为23,210,25PD

PCCD===，所以20401232cos5225210PCD+−==，所以7sin5PCD=，则PDC的面积为117sin21025214225PCCDPCD==设点B到平面PDC的距离为h，则三棱锥BP

CD−的体积2143hV=因为1142322832PBDCVV−===，所以21483h=，解得6147h=故点B到平面PDC的距离为6147【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了点面距离的求法，等体积转化是解决此类问题

的常用方法，属于中档题.20.在平面四边形ABCD中，已知34ABC=，ABAD⊥，1AB=．（1）若5AC=，求ABC的面积；（2）若25sin5CAD=，4=AD，求CD的长．【答案】（1）12

；（2）13.【解析】【分析】（1）在ΔABC中，由余弦定理，求得2BC=,进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解10sinBCA10=，再在ΔABC中，利用正弦定

理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在ΔABC中，222ACABBC2ABBCCOSABC=+−即251BC2BC=++2BC2BC40+−=,解得BC2=.所以ΔABC1121SABBCsinABC122222===.（2）因为025BA

D90,sinCAD5==,所以25cosBAC5=，5sinBAC5=,πsinBCAsinBAC4所以=−()2cosBACsinBAC2=−22551025510=−=

.在ΔABC中，ACABsinABCsinBCA=,ABsinABCAC5sinBCA==.222CDACAD2ACADcosCAD=+−所以5516254135=+−=所以CD13=.【点睛】本

题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正

弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.21.已知向量(sin3cos,1)mxx=−，2(2sin,4cos)nxx=，函数()fx=mn．（1）当[0,]2x时，求()fx的值域；（2）若对任意[0,]2x，2()

(2)()20fxafxa−+++，求实数a的取值范围．【答案】（1）[1,4]（2）(,2]−【解析】【分析】（1）根据向量数量积，得到函数()fx表达式，利用倍角公式、降幂公式，化简得()2cos233fxx=++

，根据自变量x的范围，求()fx的值域．（2）利用换元法，令()tfx=，转化成关于t的一元二次不等式．通过分离参数，结合基本不等式，求参数的取值范围．【详解】（1）()222sin23sincos4cosfxxxxx=−+222cos23sincosx

xx=+−3cos23sin2xx=+−2cos233x=++当0,2x时，42,333x+，1cos21,32x+−，所以()fx的值域为1,4．（2

）令()tfx=，0,2x，由（1）得1,4t，问题等价于()2220tata−+++，1,4t恒成立，当1t=时，aR；当1t时，()111att−+−，(1,4t恒成立，因为(1,4

t，()()11121211tttt−+−=−−，当且仅当2t=时，等号成立，所以()111tt−+−的最小值为2，故2a，综上，实数a的取值范围为(,2−．【点睛】本题考查了利用降幂公式、倍角公式对三角函数式化简、求值，利用换元

法、基本不等式等、分离参数法等解不等式，综合性强，属于中档题．22.对于定义域为R的函数()yfx=，部分x与y的对应关系如下表：x2−1−012345y023201−02（1）求{[(0)]}fff；（2）数列n

x满足12x=，且对任意nN，点1(,)nnxx+都在函数()yfx=的图像上，求124nxxx+++；（3）若()sin()yfxAxb==++，其中0A，0，0，03b，求此函数的解析式，并求(1)(2)(3)fffn+++(n

N)．【答案】(1)2;(2)4n;(3)32n−.【解析】试题分析：(1)()()()()0312ffffff==−=；(2)()1212xxfx==()()()()3243545120312

fxfxxfxxfxxx======−===周期为12444nxxxn+++=；(3)由题意得()()()()()()()()121122{2,1,0333204ffAbff−=======()fx=2cos163xT+=()()12f

f++()()()34)+566ffff++=（()()()3,2123{32,21nnkfffnnnk=+++=−=+.试题解析：(1)()()()()0312ffffff==−=(2)()()()11212,20,nnxxfx

xfxf+=====()323,xfx==()431,xfx==−()542xfx==51xx=,周期为4,所以124nxxx+++=4n.(3)由题意得()()()()()()()()121122{033204ffff−====由()()(

)()12sinsinsincos0−+=−+=又0sin0cos0=而02=从而有()2332{23{2cos13020AbAcosAAcosbbAA

AAcosb+=+−=+==−−+−=+=222422302.1AAAAAb−+−+===1cos2=03=()2cos13fxx=+此函数的最小正周期为6,()()603ff==()()()()()1234)+566ffffff++++=（1)当2nk=()*

kN时.()()()()()()123126fffnfffk+++=+++()()()12663kfffkn=+++==.2)当21nk=−()*kN时.()()()()()()()()()12312662616fffnfffkfkfkfk+++

=+++−−−−−()()()12656532kfffkn=+++−=−=−.【点睛】本题考查函数的解析式、复合函数、数列的通项公式和三角函数，涉及函数与方程思想、分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第二小题通过计算发

现数列的周期性，并利用周期性解题；第三小题通过待定系数法求得2,1,3Ab===，从而()2cos13fxx=+，再利用周期性结合分类讨论思想进行求解.