【文档说明】辽宁省恒仁满族自治县第二高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 含答案.doc，共(8)页，1.402 MB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年度（上）高二期末考试高二年级数学试卷满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设点A在x轴上，点B

在y轴上，AB的中点是(21)P−，，则AB等于（）A．5B．42C．25D．210【答案】C【解析】设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝224(2)2025.+−

==2．经过()3,2M与(6,2)N两点的直线的方程为（）A．2x=B．2y=C．3x=D．6x=【答案】B【解析】由,MN两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线的方程为2y=.3．在空间中，设m

，n为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是A．若//m且//，则//mB．若⊥，m，n，则mn⊥C．若m⊥且//，则m⊥D．若m不垂直于，且n，则m必不垂直于

n【答案】C【解析】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α且α∥β

，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．4．已知过点P(2,2)的直线与圆22(1)5xy−+=相切,且与直线10axy−+=垂直,则a=（）A．12−B．1C．2

D．12【答案】C【解析】设过点(2,2)P的直线的斜率为k，则直线方程(22)ykx−=−，即220kxyk−+−=，由于和圆相切，故2|22|51kkk+−=+，得12k=−，由于直线220kxyk−+−=与直线10axy−+

=，因此112a−=−，解得2a=，故答案为C.5．已知圆4)(22:1=+−ymxC，圆)3(822:2222−=−++mmmyxyxC，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离【答案】D【解析】将两圆方程分

别化为标准式得到圆4)(22:1=+−ymxC;圆,则圆心,半径,两圆的圆心距,则圆心距大于半径之和,故两圆相离.因此，本题正确答案是:D.6．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点P为棱AB中点，则过点P与1DB垂直的平面截正方体1111ABCDABCD−所

得的截面面积为（）A．63B．43C．33D．23【答案】C【解析】过点P与1DB垂直的平面被正方体1111ABCDABCD−截得的截面是以111111,,,,,ABBCCCCDDAAA中点,,,,,PQRSTU为顶点，边长为2的正六边形，1BD⊥平面11ABC，面平面11ABC

//平面PQRSTU，1BD⊥平面PQRSTU，且面积为33，故选：C.7.如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为A.2B.3C.2D.5【答案】B【解析】【详解】连A

E,∵△CBD是等腰Rt△,∴BE⊥CD且BE=1，AB⊥底面BCD,∴AB⊥BE，由勾股定理，222123AEABBE=+=+=，AE3=.故选：B．8、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若6AB=，则点B到平面ACE的距

离等于（）A.5B.6C.362D.3故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)

，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A．1B．0C．2D．-1【答案】AB【解析】当AB与CD斜率均不存在时，2,11mmm=+=故得m=0，此时两直线平行；此时AB∥CD，当kAB=kCD时，1

2mmm+=，得到m=1，此时AB∥CD.故选AB．10.等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是()A．(6,4)B．(2,0)C．(4,6)D．(0,2)【答案

】BC11.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为2240xyx+−=.若直线()1ykx=+上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是()A．1B．2C．3D．4【答案】AB【解析】222240(2)4

xyxxy+−=−+=，P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P，圆点C，两切点构成正方形22=PC即22(2)8xy−+=，P在直线()1ykx=+上，圆心距220221kkdk−+=+，计算得到2222k−，故答案选

AB12．如图，设E，F分别是正方体1111ABCDABCD−的棱DC上两点，且2AB=，1EF=，其中正确的命题为（）A.三棱锥11DBEF−的体积为定值B.异面直线11DB与EF所成的角为60C.11DB⊥平面1BEFD.直线11DB与平面1BEF所成

的角为30°【答案】AD【解析】【分析】A.利用1111DBEFBDEFVV−−=，三棱锥11DBEF−的体积为定值，正确B.利用平移法找异面直线所成的角，11//EFDC，11DB和11DC所成的角为45，

所以异面直线11DB与EF所成的角为45，故B错误C.若11DB⊥平面1BEF，则线11DB与EF所成的角为90，而异面直线11DB与EF所成的角为45，故C错误D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面1BEF的一个法向量，再求平面1BEF的一个法向

量和11DB的方向向量的夹角，正确【详解】解：对于A，111111131111212232323DBEFBDEFDEFVVSBCEFDD−−=====V故三棱锥11DBEF−的体积为定值，故A正确对于B，11//EFDC，11DB和

11DC所成的角为45，异面直线11DB与EF所成的角为45，故B错误对于C，若11DB⊥平面1BEF，则11DB⊥直线EF，即异面直线11DB与EF所成的角为90，故C错误对于D，以D为坐标原点，分布以1,,DAD

CDD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设()0,,0Ea，则()0,1+,0Fa，()12,2,2B，()10,0,2D()()()1112,2,2,0,1,0,2,2,0EBaEFDB=−==设平面1BEF的法向量为(),,,nxyz=则()()()()1,

,2,2,20,,0,1,00nEBxyzanEFxyz=−===，即00yxz=+=令1z=−，则()1,0,1n=−()()1111111,0,12,2,01cos,2222nDBnDBnDB−===11,60

nDB=所以直线11DB与平面1BEF所成的角为30°，正确故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分，第二空3分13、已知点A（x,5）关于点（1，y）的对称点是（-2，-3），则点P（x，y）到原点的距离是.【答案】1714．若直线()()22224

450−+−+=aaxaya的倾斜角是4，则实数a是_______________.【答案】23−【解析】因为直线()()22224450−+−+=aaxaya的倾斜角是4，所以直线()()22224450−+−+=aaxaya的斜率为t

an14=，因此()()22222221()(2424540444)()aaxaaaayaaa−=−−−−=+−−−−，2244033aaa−−==−或2a=（舍）15．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则

B与D之间的距离为________．【答案】10216、已知直线12+=xy与圆22210xyaxy++++=交于A、B两点，直线20mxy++=垂直平分弦AB，则m的值为____________，弦AB的长为____________.16、12，

855四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17题10分18—22题每题12分17.已知直线l过点P(4,1),(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的

方程.【解析】(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0.(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-.∴1-4k=24-

-,解得k=或k=-2.∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.18．在直角坐标系xOy中，已知圆22:460Cxyxym+−−+=与直线:10lxy+−=相切，（1）求实数m的值；（2）过点()3,1的直线与

圆C交于M､N两点，如果23MN=，求OMON.【详解】解:（1）圆C的方程可化为()()222313xym−+=−−，圆心()2,3C，半径13rm=−，其中13m，因为圆C与直线l相切，故圆心()2,3C到直线l的距离等于半径，即2223

11311m+−=−+，解得5m=；（2）当直线MN斜率不存在时，其方程为3x=，此时圆心()2,3C到直线MN的距离1d=，由垂径定理，22227MNrd=−=，不合题意；故直线MN斜率存在，设其方程为()13ykx−=−，

即310kxyk−−+=，圆心()2,3C到直线MN的距离2222331211kkkdkk−−++==++，由垂径定理，222MNrd=−，即()222831kk+−=+，解得12k=，故直线MN的方程为1122yx=−，代入圆

C的方程，整理得2530330xx−+=，解得1152155x−=，2152155x+=，于是1111515225yx−=−=，2211515225yx+=−=，这里()11,Mxy，()22,Nxy)，所

以12127OMONxxyy=+=.19.在平面直角坐标xOy中，圆22:4Oxy+=与圆22:(3)(1)8Cxy−+−=相交与PQ两点．（I）求线段PQ的长．（II）记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，

求MNC面积最大时的直线NM的方程．【解析】（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为330xy+−=．点（0，0）到直线PQ的距离310d=，2331024510PQ=−=（Ⅱ）2MC=，22NC=.1sin2sin2MNCSMCNCMCN

MCN==当90MCN=时，MNCS取得最大值．此时MCNC⊥，又1CMk=则直线NC为4yx=−+．由224(3)(1)8yxxy=−+−+−=，()1,3N或()5,1N−当点()1,3N时，3MNk=−，此时MN的方程为360xy+

−=．当点()5,1N−时，13MNk=−，此时MN的方程为320xy+−=．∴MN的方程为360xy+−=或320xy+−=．20．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝π2，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2．(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求异面直线AB1

与BC1所成的角．[解](1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1．因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．(2)建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1

(2,0,2)，B1(0,0,2)，因此AB1→＝(0，－2,2)，BC1→＝(2,0,2)．所以cos〈AB1→，BC1→〉＝AB1→·BC1→|AB1→||BC1→|＝0＋0＋422×22＝12，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，

则cosθ＝12，由于θ∈0，π2，故θ＝π3．21．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，1ABBC==，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．（1）证明：CD⊥平面PAC；（2）若PAAD=，求点B到平面PAC的距离．【解析

】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又PC⊥CD，PAPCP=，PA平面PAC，PC平面PAC，∴CD⊥平面PAC.（2）由已知得45BACCAD==，所以

2AC=且由（1）可知CDAC⊥，由勾股定理得2ADPA==∵PA⊥平面ABCD∴13PABCABCVSPA−==1112323=，且1122222PACSPAAC===∴1233BPACPACVhSh−==，由PABCBPACVV−−=，得

2133h=∴22h=即点B到平面PAC的距离为2222．如图所示，正四棱锥PABCD−中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为62．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD

与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）60；（2）2105；（3）点F为AD的四等分点.【解析】（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连,M

OMP，则PMO为二面角的平面角，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，6tan2PAO=，设2,2ABaAOa==，3tan2POAOPAOa==，tan3POPMOMO==，∴60PMO=．（2）连,//OEOEPD，OEA为

异面直线PD与AE所成的角．因为,AOBDAOPO⊥⊥，BDPOO=，所以AO⊥平面PBD.OE平面PBD，所以AOOE⊥.∵22115224OEPDPODOa==+=,∴210tan05AOAEOE==。（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．因为BCMN⊥，BCPN⊥，M

NPNN=，故BC⊥平面PMN，因BC平面PBC，故平面PMN⊥平面PBC，又,60PMPNPMN==，故PMN为等边三角形，所以MGPN⊥，由MG平面MGPN⊥，故BCMG⊥因为BCPNN=，所

以MG⊥平面PBC.取AM的中点F，∵//EGMF，∴12MFMAEG==，∴四边形EGMF为平行四边形，所以//MGEF∴EF⊥平面PBC．即F为四等分点