【文档说明】湖南省长沙市周南中学2025届高三第一阶段考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.438 MB，由小赞的店铺上传

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长沙市周南中学2025届高三第一阶段考数学试卷一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在下列区间函数()sinfxx=单调递减的是（）A.π0,2B.π,π2C.3ππ,

2D.3π5π,22【答案】B【解析】【分析】作出函数()sinfxx=的图象，结合图象，即可求解.【详解】根据正弦函数sinyx=的图象，作出函数()sinfxx=的图象，如

图所示，可得函数()sinfxx=区间π,π2上单调递减.故选：C.2.已知随机变量X服从()22,N，若(3)0.4PX=，则(1)PX=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【

答案】C【解析】【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】由随机变量X服从()22,N，可得2=，即正态分布区间的图象关于2x=对称，因为(3)0.4PX=，根据正态分布曲线的对称性，可得(1)(3)0.4PX

PX==.故选：C.3.在平面直角坐标系xOy中，以点()2,0为圆心且与直线2yx=+相切的圆的标准方程为（）A.22(2)22xy−+=B.22(2)8xy−+=在C.22(2)8xy++=D.22(2)16xy−+=【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用点到直线的

距离公式求得圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解.【详解】由圆心(2,0)到直线20xy−+=的距离22202221(1)d−+==+−，即所求圆的半径为22r=，所以所求圆的标准方程为22(2)8xy−+=.故选：B.4.若双

曲线22122:1(00)xyCabab−=，的离心率为3，则双曲线222:yCb−221xa=的离心率为（）A.324B.433C.√3D.3【答案】A【解析】【分析】根据已知双曲线的离心率得出,ab的关系,再

求双曲线2C的离心率.【详解】因为双曲线1C的离心率22123abea+==,所以228ba=，所以双曲线2C的离心率222293284abeb+===.故选：A.5.已知数列{𝑎𝑛}，则“()2223nnnaaann−+

+=N，”是“数列{𝑎𝑛}是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先判断充分性：由已知可得22nnnnaaaa+−−=−，数列{𝑎𝑛}的

偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，举例可知数列{𝑎𝑛}不一定是等差数列，再判断必要性：数列{𝑎𝑛}是等差数列，可得222nnnaaa−+=+，可得结论.【详解】先判断充分性：22222,nnnnnnnaaaaaa

a−++−+=−=−，令()2nkk=N，则22222242,kkkkaaaaaa+−−=−==−数列{𝑎𝑛}的偶数项成等差数列，令()*21nkk=−N，则2121212331,kkkkaaaaaa+−−−−=−==−数列{𝑎𝑛}的奇数项

成等差数列，但数列{𝑎𝑛}不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，∴“()*2223,nnnaaann−++=N”不是“数列{𝑎𝑛}是等差数列”的充分条件；再判断必要性：若数列{𝑎𝑛}是等差数列，则22221122222nnnnnnn

nnnaaaaaaaaaa−+−+−+++=+=+=++，222nnnaaa−+=+，∴“()*2223,nnnaaann−++=N”是“数列{𝑎𝑛}是等差数列”的必要条件；综上，“()*2

223,nnnaaannN−++=”是“数列{𝑎𝑛}是等差数列”的必要不充分条件.故选：B.6.已知()sinm+=，tan2tan=，则()sin−=（）A.3mB.3m−C.3

mD.3m−【答案】A【解析】【分析】把()sinm+=展开，tan2tan=切化弦，两式联立解方程组解出2sincos3m=，1sincos3m=，再求()sin−。【详解】由()sinm+=得sincossincosm+=，由tan2t

an=得sincos2cossin=，联立两个方程得：2sincos3m=，1sincos3m=，所以()sinsincossincos3m−=−=。故选：A7.已知ABCV是边长为43的正三角形，点P是ABCV所在平面内的一点，且满足3APBPCP++=，则

AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.83【答案】C【解析】【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点P的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.【详解】法一：设ABCV的重心为G，则33APBP

CPAGBGCGGPGP++=+++=，3,1,APBPCPGP++==点P的轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，又2343432AG==，AP的最小值是13AG−=.法二：以AC所在直线为x轴，以AC中垂线为y轴建立直角坐标系，则()()()23,0,0,6,

23,0ABC−，设(),,3PxyAPBPCP++=，即()()22323023363xy+−−+−=，化简得22(2)1xy+−=，点P的轨迹方程为22(2)1xy+−=，设圆心为G，()0,2G，由圆的性质可知当AP过圆心时AP最小，又()222234AG=+=

，故AP得最小值为1413AG−=−=.故选：C.8.已知等比数列na的公比为q，前n项积为nT，若1256a=，且*Nn，8n，均有8nTT，则q的取值范围是（）A.483722−−，B.887

7112222−−−−，，C.43122−，D.4837112222−−−−，，【答案】D【解析】【分析】应用等比数列通项公式及项的性质计算解不等式即可.

【详解】当0q时，注意到675890,,,0TTTTT，，因此8589TTTT，，即667818911111aaaaqaaq，，，解得43122q−−−，;当0q时，

则8789TTTT，，即7818911111aaqaaq，，，解得87122q−，，则q的取值范围为4837112222−−−−，，.故选：D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给

出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.已知12zz，,为复数，则下列说法正确的是（）A2111zzz=B.若12zz+表示12zz+的共轭复数，则1212zzzz+=+C.若120zz=，则

10z=或20z=D.若22120zz+=，则120zz==【答案】ABC【解析】【分析】设()12i,i,,,Rzabzcdabcd=+=+，根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】设()12i,i,,,Rzabzcdabcd

=+=+，对于A中，由()()222111iizzabababz=+−=+=，所以A正确；对于B中，因为1212()()i,()()izzacbdzzacbd+=+−++=+−+，所以1212zzzz+=+，所以B正确；..对于C中，由()()12ii()()izzabcdacbdadbc=

++=−++，若120zz=，可得00acbdadbc−=+=，可得0ab==或0cd==，所以C正确；对于D中，取121,izz==，可得2212110zz+=−=，所以D错误.故选：ABC.10.如图，已知二面角l−−的棱l上有AB，两点，CAClD⊥

，，，BDl⊥，若222ACABBDCD====，，则（）A.直线𝐴𝐵与𝐶𝐷所成角的余弦值为45B.二面角l−−的大小为60oC.三棱锥ABCD−的体积为23D.直线𝐶𝐷与平面所成角的正弦值为64【答案】A

BD【解析】【分析】根据异面直线所成角、二面角、线面角定义，在图形中作出直线AB与CD所成角、二面角平面角、直线CD与平面所成角，结合已知条件计算判断各项正误.【详解】过点A作//AEBD，且AEBD=，连接CEDE，，如图，则四边形ABDE是平

行四边形，即//DEAB且DEAB=，CDE是直线𝐴𝐵与𝐶𝐷所成角或其补角，因为AClBDl⊥⊥，，则,DEAEDEAC⊥⊥，而,,AEACAAEAC=平面AEC，的所以DE⊥平面AEC，CE

平面AEC，所以DECE⊥，则cosCDE=22DEABCDCD==，所以45CDE=，故A正确；因为BDl⊥，即AEl⊥，又ACl⊥，则CAE是二面角l−−的平面角，又CEDE=2=，结合2A

EAC==，即ACE△是等边三角形，所以60CAE=，故B正确；因为DE⊥平面,AECDE，则平面⊥平面AEC，在平面AEC内过点C作COAE⊥于点O，于是得CO⊥平面3,32COAC==，而11232233ABDABCDCABDABDSABBDVVCOS−−=====

，，故C不正确；连接DO，因为CO⊥平面，则CDO是直线𝐶𝐷与平面所成角，36sin422COCDOCD===，故D正确.故选：ABD11.已知()fx是定义在)0,+上的单调递增且图象连续不断的函数，若),0,xy+，恒有()()()()()1fxfyfxyfxfy

++=+成立，设12xx0，则（）A.()00f=B.)()000,,1xfx+=C.()()121222fxfxxxf++D.()()121222fxfxxxf++【答案】AD【解析】【分析】对于A：令0y=，结合单调性分析即可判

断；对于B：假设存在0x使得()01fx=，分析可知()fx恒等于1，结合单调性分析判断；对于CD：利用反证法证明)()0,,1xfx+，结合基本不等式分析可得()()()()()121221212fxfxfxxfxfx

++++，构建函数()221xgxx=+，结合()gx的单调性可知()()121222fxfxxxgfg++，即可得结果.【详解】令0y=，得()()()()()0010fxffxfxf++=+，即()()2010ffx−=，因为()f

x在区间)0,+上单调递增，所以()fx不恒等于1，故()00f=，故A正确;若存在0x使得()01fx=，则()()()0111fxfxxfx++==+，则()fx恒等于1，与()fx单调递增矛盾，故)()0,,1xfx+，故B错误；若存在1x，使得()11fx

，因为()fx的图象连续不断，所以()()11,001fxf=，故存在2x，使得()21fx=，与上述()1fx矛盾，综上)()0,,1xfx+，所以1212xxf+，而()()()()()()()()()1212122

1212112fxfxfxfxfxxfxfxfxfx+++=+++，当且仅当()()12fxfx=时取等号，又()12xxfx，单调递增，故不取等号，即()()()()()121221212fxfxfxxfxfx++++，当0y

x=时，有()()()2221fxfxfx=+，即()12122122212xxffxxxxf++=++，当)0,1x时，令()221xgxx=+，则()()2,0,11gxxxx=

+，因为()1,0,1yxxx=+单调递减且0y，所以()()2,0,11gxxxx=+单调递增，所以()1gx，又()00g=，所以)())220,1,0,11xxgxx=+，且在区间)0,1上单调递增，因为()()()()()()()1212121212221212

22221122xxffxfxfxfxxxgffxxgxxfxfxf++++==+=++++，，所以()()121222fxfxxxgfg++

，所以()()121222fxfxxxf++，故C错误，D正确.故选：AD【点睛】方法点睛：1.对于抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件推证函数的性质，根据函数的性质解决

问题；2.比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)12.在等差数列na中，若3926aa+=，则373aa+=____________________・【答案】

52【解析】【分析】根据等差数列的通项公式计算即可.【详解】根据题意，设等差数列na的公差为d,若3926aa+=,则有3933626aaaad+=++=,则()3733333441252aaaadad+=++=+=.故答案为：52.13.已知1F、2F是椭圆

()222210+=xyabab的左、右焦点，P是椭圆上的一点，且213PFPF=，1232OPFF=，则椭圆的离心率e等于______.【答案】54##154【解析】【分析】利用已知条件和椭圆的定义求出1PF、2PF，由平面向量的线性运算可得出1

22PFPFPO+=，2112FFPFPF=−，利用平面向量数量积的运算性质可得出a、c的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：由已知条件和椭圆的定义可得121232PFPFPFPFa=+=，可得132aPF=，

22aPF=，因为O为12FF的中点，则120OFOF+=，因为11PFPOOF=+，22PFPOOF=+，所以，122PFPFPO+=，又因为2112FFPFPF=−，所以，()()()2222222112121242POFFPFPFPFPFPFPF+=++−=+，

即()22229434244aacc+=+，即45ca=，解得54cea==.故答案为：54.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次

式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.14.已知集合BC，是集合A的真子集且BC=，如果,,aAbBcC，使得=+abc，其中,0,1，

则称BC，是集合A的一组有序基底集，记为(),BC.已知1,2,3,4A=，且(),BC为A的一组有序基底集，则集合B中的元素之和小于4的概率为___________________________

.【答案】922【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，满足集合1,2,3,4A=的基底集可以为：()1,2,3,4，()

1,2,4,3，()1,3,4,2，()2,3,4,1，()1,2,3,4，()1,3,2,4，()1,4,2,3，()1,2,3，()1,2,4，()1,2,3，()1

,4,2，共有11组；再把每组中的两个集合调换位置，此时也是11组，综上可得，共计22组，其中满集合B中元素之和小于4的有9组，所以概率为922.故答案为：922.四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.数列na中，12a=，记123n

nTaaaa=，nT是公差为1的等差数列.（1）求na的通项公式；（2）令2nnnnab=，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）1+=nnan（2）332nnnS+=−【解析】【分析】（1）根据题意，由等差数

列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.【小问1详解】当1n=时，112Ta==所以()1111nTTnn=+−=+所以1231naaaan=+当2n时，1231naaaan−=所以()12nnan

n+=又12a=符合1+=nnan所以1+=nnan.【小问2详解】由（1）得12nnnb+=所以231234122222nnnnnS−+=+++++①所以234112341222222nnnnnS++=+++++②①-②得234112111112222

222nnnnS++=+++++−1111142111212nnn−+−+=+−−1311222nnn++=−−所以332nnnS+=−.16.如图，四棱台1111ABCDABCD−的底面为菱形，14,3,60ABDDBAD===，点E

为BC中点，11,21DEBCDE⊥=．（1）证明：1DD⊥平面ABCD；（2）若112AD=，求平面11ACE与平面ABCD夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）21313【解析】【分析】（1）连接D

E、DB，即可证明⊥BC平面1DDE，从而得到1BCDD⊥，再由勾股定理逆定理得到1DDDE⊥，即可证明1DD⊥平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】连接DE、DB，因为四边形ABCD为菱形，60BAD=所以BDC是边长为4的正三角形，因为E为BC中

点，所以DEBC⊥，23DE=，又因为11,DEBCDEDEE⊥=，1,DEDE平面1DDE，所以⊥BC平面1DDE，又1DD平面1DDE，所以1BCDD⊥，又121DE=，13DD=，23DE=，所以22211DDDEDE+=，所

以1DDDE⊥，又因为,,DEBCEDEBC=平面ABCD，所以1DD⊥平面ABCD.【小问2详解】因为直线1,,DADEDD两两垂直，以D为原点，1,,DADEDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,4,0,

0,0,23,0,2,23,0,2,0,3DAECA−，所以()()11113,3,0,2,23,32ACACEA==−=−设平面11ACE的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则1113302233

0nACxynEAxyz=−+==−+=，即343yxxz==，令3x=，得33,4yz==，所以()3,33,4n=，由题意知，()0,0,1m=是平面ABCD的一个法向量，设平面11A

CE与平面ABCD的夹角为，则()2224213cos133334mnmn===++，所以平面11ACE与平面ABCD夹角的余弦值为21313.17.已知ABCV中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，且()sinbAC−

=()sincBA−.（1）证明:2222bca+=；（2）若ABCV的面积为√3，求a的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）应用两角差公式计算后结合余弦定理得出结论；（2）先应用面积公式结合余弦定理，最

后结合基本不等式得出最小值即可.【小问1详解】依题意，()()sinsincossincossinsincossincosBACCACBAAB−=−，即()()22sinsincossinsincossincossinsinsinBCAABCCBABCA=+=+=，22222cosabc

Abca==+−故2222abc=+.【小问2详解】1sin32SbcA==，故23sinbcA=，又由余弦定理得22cosabcA=，故243tanaA=，又2222221cos2442bcabcbcAbcbcbc+−+===，故π

0,3A，从而24343a=，即2a，当2bc==时等号成立，则a的最小值为2.18.若存在常数(0)kk，使得对定义域D内的任意()1212xxxx，，都有()()1212fxfxkxx−−

成立，则称函数()fx在其定义域D上是"k-利普希兹条件函数".（1）判断函数𝑓(𝑥)=1𝑥是否是区间)1+，上的"1-利普希兹条件函数"？并说明理由；（2）已知函数()3fxx=是区间0(0)

aa，上的"3-利普希兹条件函数"，求实数a的取值范围;（3）若函数()fx为连续函数，其导函数为()fx，若()(),fxKK−，其中01K，且()01f=.定义数列()11:0nnnxxxfx−==，，证明:()11nfxK−.【答案】（1）是的，

理由见解析（2）(0,1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义只需证明()()1212fxfxxx−−即可判断；（2）将不等式变为关于12,xx的不等式,结合定义域即可求得参数；（3）先根据导函数得出函数得最大值，多次应用新定

义结合累加法即可得出答案.【小问1详解】依题意，)()()1212121212111,1,xxfxfxxxxxxx+−=−=−，，注意到)12,1,xx+，因此121xx，从而1211xx，故()()121212121fxfxxxxxxx−=−−，即()fx是区间)

1,+上的"1一利普希兹条件函数".【小问2详解】依题意，12,0,xxa，均有()()12123fxfxxx−−，不妨设21xx，则()()212133fxfxxx−−，即()()221133fxxfxx−−，设()()333pxfxx

xx=−=−，则()px单调递减，故()2330,0,pxxxa=−恒成立，即2033a，因此(0,1a.【小问3详解】因为()(),fxKK−，设()()gxfxKx=+，则()()0gxfxK=+，故()gx为单调递增函数，则12xx，恒有()()12

gxgx，即()()()()()11221221fxKxfxKxfxfxKxx++−−，设()()hxfxKx=−，则()()0hxfxK=−，故ℎ(𝑥)为单调递减函数，则12xx，恒有()

()12hxhx，即()()()()()11222121fxKxfxKxKxxfxfx−−−−，综上可知，()()1212fxfxKxx−−，则()()()212121fxfxKxxKxKfxK−

−===，当2n时，()()()()2111212nnnnnnnnfxfxKxxKfxfxKxx−−−−−−−−=−−()()2112121nnnKfxfxKxxK−−−==−−=，则()()()()()()()()112211nnnnnfxfxfxfxfxf

xfxfx−−−=−+−++−+()()()()()()()1211221111111nnnnnnnKfxfxfxfxfxfxfxKKKKK−−−−−−−+−++−+++++=−−，综上可知，()11nfxK−.【点睛】关键点点睛：

第（3）问先根据导函数得出函数得最大值，多次应用新定义结合累加法即可得出答案.19.已知F为抛物线2:4Exy=的焦点，过点()02，的直线l与抛物线E交于AB，两点，抛物线E在AB，两点处的切线交于点L.（1）设()00,Pxy是抛物线E上一点，

证明:抛物线E在点P处的切线方程为002xxyy=−，并利用切线方程求点L的纵坐标的值;（2）点C为抛物线E上异于AB，的点，过点C作抛物线E的切线，分别与线段ALBL，交于MN，.(i)若LMLALNLB==，，求

+的值；(ii)证明:FAFBFCFLFMFN++++【答案】（1）证明见解析，2−（2）(i)1；(ii)证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求得点P处的切线方程，再联立方程组，得到8ABxx=−，结合切线的性质，得到2ABLxxx+=，和()BAAB

BAxxyxyxy−=−，进而求解；(2)(i)设()()()CCMMNNCxyMxyNxy，，，，，，由(1)的,,LMN的坐标，结合向量的坐标表示，进而求得+的值；(ii)由抛物线性质得到244AxFA+=，同理224444CBx

xFBFC++==，，利用两点间的距离公式，求得FL，和FMFN，，结合均值不等式，即可得证.【小问1详解】由题意，曲线24xy=，可得2xy=，则00|2xxxy==，点𝑃(𝑥0,𝑦0)处的切线方程为000()2xyxxy=−+，即200022xxyxy

=−+，因为2004xy=，代入可得002xyxy=−，设(,),(,),(,)AABBLLAxyBxyLxy，联立方程组224ykxxy=+=，整理得2480xkx−−=，可得8ABxx=−，又由切线方程可知，抛物线在

点,AB处的切线分别为,22ABABxxyxyyxy=−=−，消去y可得2ABLxxx+=，消去x可得()BAABBAxxyxyxy−=−，即2224()4ABBAABBAABLBABAxyxyxxxxxxyxxxx−−====−−−.小问2详解】(i)设()()()CCMMNNCxyMxy

Nxy，，，，，，由(1)可知242424ACACBCBCABABxxxxxxxxxxxxLMN+++，，，，，，由LMLA=可知22CBCBABAABxxxxxxxxx

−−+=−=−，由LNLB=可知22CACAABBBAxxxxxxxxx−−+=−=−，故()1CBCACBCAABBAABxxxxxxxxxxxxxx−−−−−+=+==−−−.(ii)由抛物线性质可知，2414AAxF

Ay+=+=，同理224444CBxxFBFC++==，，又()()()22222211144244ABABLLABxxxxFLxyxx+=+−=+−=++，同理可得，()()()()222211444444ACBCFMxxFN

xx=++=++，，由均值不等式可知，()()()()22222244441244244162ABABABxxxxFAFBxxFL+++++=+=++=，同理22FAFCFMFBFCFN++，，但取等条件222222ABBCACxxxxxx===，，不同时成立，因此FA

FBFCFLFMFN++++，证毕.【【点睛】结论点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则

可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线

方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.