【文档说明】山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，511.290 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前怀仁市大地学校2023-2024学年度下学期期末考试高二数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人

的不同的选派方法数为A．7B．12C．18D．242．下列求导运算正确的是（）A．ππsinsincossin66xx−=−B．()2(31)231xx+=+C．()22xx=D．()21logln2xx=3．二项式821xx−

展开式的常数项为A．70−B．70C．358−D．3584．相关变量,xy的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11ybxa=+，相关系数为1r；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22ybxa=+，

相关系数为2r.则A．1201rrB．2101rrC．1210rr−D．2110rr−5．已知函数()fx的导函数为()fx，()fx的图象如图所示，则()fx的图象可能是A．B．C．D

．6．设随机变量X的分布列为()12iPXia==，1,2,3i=，则a的值为A．87B．78C．716D．167.7.已知函数()()+−+−=1,231,22＞xxaxaxxxf是定义在R上的增函数，则a的取值范围是A．[1,

3)B．[1,2]C．[2,3)D．(0,3)8.已知函数()xf的图象在x轴上方，对∀𝑥∈R，都有()()()122fxfxf=+，若()1−=xfy的图象关于直线𝑥=1对称，且𝑓(0)=1，

则𝑓(2023)+𝑓(2024)+𝑓(2025)=A．3B．4C．5D．6二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分）9．两个具有线性相关

关系的变量的一组数据()()()1122,,,,,nnxyxyxy，下列说法正确的是A．相关系数r越接近1，变量,xy相关性越强B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好C．相关指数2R越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D

．若x表示女大学生的身高，y表示体重则20.64R表示女大学生的身高解释了64%的体重变化10．对于函数ln()xfxx=，下列说法正确的有A．()fx在ex=处取得最小值1eB．()fx在ex=处取得最大值1eC．()fx有两个不同零点D．(2)(π)(3)f

ff11．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“

取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是A．A，B是对立事件B．事件B，D相互独立C．()1635PD=D．()135PCD=第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．一名

老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为．13．已知函数()32fxxaxb=++在2x=−时取得极大值4，则ab+=．14．设𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的偶函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥

)=e𝑥，则不等式𝑓(𝑥)≥𝑓2(𝑥−1)的解集为．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2+2𝑚−2)𝑥𝑚2−7（𝑚∈𝑍）

的定义域为𝑅，且在[0,+∞)上单调递增．(1)求m的值；(2)∀𝑥∈[1,2]，不等式𝑎𝑓(𝑥)−3𝑥+2>0恒成立，求实数a的取值范围16．（15分）已知函数()2ln22afxxxx=−−．(1)当2a=

时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(2)若函数()fx在)2,+上单调递增，求实数a的取值范围．17.（15分）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，值域为(0,+∞)，且对任意𝑚，𝑛∈𝑅，都有𝑓(𝑚+𝑛)=𝑓(

𝑚)𝑓(𝑛)．𝜑(𝑥)=𝑓(𝑥)−1𝑓(𝑥)+1．(1)求𝑓(0)的值，并证明𝜑(𝑥)为奇函数．(2)若𝑥>0，𝑓(𝑥)>1，且𝑓(3)=4，证明𝑓(𝑥)为𝑅上的增函数，并解不等式𝜑(

𝑥)>1517．18．（17分）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段（单位：岁）[15,25)[25,3

5)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]被调查的人数101520m255赞成的人数612n20122(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在[35,45)的概率为15，求出表格中m，n的值；(2)若从年龄在[45,55)

的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（17分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人

工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：(2)将年龄

不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i）完成下列22列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年非青年合计喜欢20不喜欢60合计200（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机

抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．参考数据：()2Pk0.1000.0500.

010k2.7063.8416.635一、单选题1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（）A．7B．12C．18D．24【答案】B【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解.【详解】从4名男生

与3名女生中选两人，其中男女各一人，由分步计数原理，可得不同的选派方法数为4312=种.故选：B.2．（23-24高二上·福建南平·期末）下列求导运算正确的是（）A．ππsinsincossin66xx

−=−B．()2(31)231xx+=+C．()22xx=D．()21logln2xx=【答案】D【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项.【详解】πsinsi

ncos0cos6xxx−=−=，()()2(31)2313621xxx+=+=+，()22ln2xx=，()21logln2xx=.故选：D.3．（23-24高二上·辽宁·期末）二项式821xx−

展开式的常数项为（）A．70−B．70C．358−D．358【答案】D【分析】由82181C2kkkkTx−+=−，令820k−=得出k后代入计算即可得.【详解】88218811CC,0,1,2,,822kkkkkkkTxxkx−−+=

−=−=，令820k−=，即4k=，故445817035C2168T=−==，即展开式的常数项为358.故选：D.4．相关变量,xy的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y

bxa=+，相关系数为1r；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22ybxa=+，相关系数为2r.则（）A．1201rrB．2101rrC．1210rr−D．2110rr−【答案】D【详解】由散点图得负相关，所以12,0rr，因为

剔除点()1021,后，剩下点数据更线性相关性更强，则r更接近1，所以2110rr−.故选：D.5．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数()fx的导函数为()fx，()fx的图象如图所示，则()fx的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【

分析】根据导数的图象变化，判断函数()fx的图象的变化情况，结合选项，即可得答案.【详解】由()fx的图象可知0x时，()0fx，且()fx的值随x的增大逐渐减小，此时()fx的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓，当0x时，()0fx

，且()fx的值随x的增大逐渐增大，此时()fx的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，结合选项，符合()fx的图象特征的为选项D中图象，故选：D6．设随机变量X的分布列为()12iPXia==，1,2,3i=，则a的值为（）A．87

B．78C．716D．167【答案】A【详解】由题意111()1248a++=，87a=．故选：A．7.已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑎𝑥,𝑥≤1(3−𝑎)𝑥+2,𝑥>1是定义在𝑅上的增函数

，则𝑎的取值范围是（）A．[1,3)B．[1,2]C．[2,3)D．(0,3)【解题思路】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在𝑥=1时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.【解答过程】因为�

�(𝑥)={−𝑥2+2𝑎𝑥,𝑥≤1(3−𝑎)𝑥+2,𝑥>1是定义在𝑅上的增函数，所以{−2𝑎−2≥13−𝑎>0−1+2𝑎≤3−𝑎+2，解得1≤𝑎≤2.故选：B.8（2024·贵州毕节·三模）已知函数𝑓(𝑥)的图象在x轴上方，对∀𝑥∈R，都有𝑓(𝑥+2)⋅𝑓

(𝑥)=2𝑓(1)，若𝑦=𝑓(𝑥−1)的图象关于直线𝑥=1对称，且𝑓(0)=1，则𝑓(2023)+𝑓(2024)+𝑓(2025)=（）A．3B．4C．5D．6【解题思路】先由函数𝑦=𝑓(𝑥−1)的图象关于直线𝑥=1对称，得函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于直线�

�=0对称，即函数是偶函数，可得𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)．再把𝑥+2代入，可得函数周期为4，求得𝑓(1)=2，𝑓(3)=2，即可求解．【解答过程】因为𝑦=𝑓(𝑥−1)的图象关于直线𝑥=1对称，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=0对称，即函数𝑦=𝑓(𝑥)是偶

函数，故有𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)．因为∀𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥+2)⋅𝑓(𝑥)=2𝑓(1)，所以𝑓(𝑥+4)⋅𝑓(𝑥+2)=2𝑓(1)，所以𝑓(𝑥+2)⋅𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+4)⋅𝑓(𝑥+2)，又函数𝑓(𝑥

)的图象在x轴上方，所以𝑓(𝑥)≠0，所以𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)，即函数𝑦=𝑓(𝑥)的周期为4．当𝑥=1，可得𝑓(3)⋅𝑓(1)=2𝑓(1)，所以𝑓(3)=2，当𝑥=−1，可得𝑓(−1+2

)⋅𝑓(−1)=2𝑓(1)，所以𝑓(−1)=2，所以𝑓(1)=2，所以𝑓(2023)+𝑓(2024)+𝑓(2025)=𝑓(3)+𝑓(0)+𝑓(1)=2+1+2=5.故选：C．二、多

项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分9．两个具有线性相关关系的变量的一组数据()()()1122,,,,,nnxyxyxy，下

列说法正确的是（）A．相关系数r越接近1，变量,xy相关性越强B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好C．相关指数2R越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D．若x表示女大学生的身高，y表示体重则20.64R表示女大学生的身高解释了64%的体重变化【答案

】ACD【详解】对于A，相关系数r越接近1，相关性越强，故A正确；对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数2R或相关系数r判定，故B错误；对于C，决定系数2R越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确；对于D，根据2R的实际意义可得，20

.64R表示女大学生的身高解释了64%的体重变化，故D正确．故选：ACD．10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）对于函数ln()xfxx=，下列说法正确的有（）A．()fx在ex=处取得最小值1eB．

()fx在ex=处取得最大值1eC．()fx有两个不同零点D．(2)(π)(3)fff【答案】BD【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可.【详解】定

义域为,()0x+，易得21ln()xfxx−=，令()0fx，(e,)x+,令()0fx，(0,e)x，故()fx在(0,e)单调递增，在(e,)+单调递减，则()fx的最大值为1(e)ef=，故A错误，B正确，令()0fx=，解得1x=

，可得()fx只有一个零点，故C错误，易知ln22ln2ln4(2)(4)244ff====，且结合单调性知(4)(π)(3)fff，即(2)(π)(3)fff成立，故D正确.故选：BD11．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完

全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（

）A．A，B是对立事件B．事件B，D相互独立C．()1635PD=D．()135PCD=【答案】ABD【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独

立事件，故B错误；对于C，()()()()()()()PDPAPDAPBPDBPCPDC=++21111213233422212121575757CCCCCCC16CCCCCC35=++=，故C正确；对于D，()()()1112332157CCC9CC35PCDPCPDC===，故D错误.

故选：ABD三、填空题12．（23-24高二上·陕西渭南·期末）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为．【答案】24【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占

位，结合排列列式计算即得.【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有33A种方法，再把老师插入中间的两个间隙中有12A种方法，而两名女生的排列有22A种方法，所以不同站法的种数为312322AAA24=.故答案为：2413．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数()32fxx

axb=++在2x=−时取得极大值4，则ab+=．【答案】3【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.【详解】由题意可知()232fxxax=+，因为函数()32fxxaxb=++在2x=−时取得极大值4，所以()(

)248421240fabfa−=+−=−=−=，解之得30ab==，检验，此时()()32fxxx=+，令()00fxx或<2x−，令()002fxx−，即()fx在()(),2,0,−−+上单调递增，在()2,0−上单调递减，即30ab=

=满足题意，故3ab+=.故答案为：314．设𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的偶函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=e𝑥，则不等式𝑓(𝑥)≥𝑓2(𝑥−1)的解集为[23,2].【解题思路】根据偶函数的性质求出函数在𝑥<0时的解析式，即可得到𝑓(𝑥)=e|𝑥|，则不等式�

�(𝑥)≥𝑓2(𝑥−1)，即e|𝑥|≥(e|𝑥−1|)2，再根据指数函数的性质得到|𝑥|≥2|𝑥−1|，解得即可.【解答过程】因为𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的偶函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=e𝑥，设𝑥<0，则−𝑥>0，所以𝑓(−𝑥)=e−𝑥，又𝑓(−𝑥

)=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)=e−𝑥(𝑥<0)，15．（13分）已知幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2+2𝑚−2)𝑥𝑚2−7（𝑚∈𝑍）的定义域为𝑅，且在[0,+∞)上单调递增．(1)求m的值；(2)∀𝑥∈[1,2]，不等式𝑎𝑓(𝑥)−3𝑥+2>

0恒成立，求实数a的取值范围【解题思路】（1）根据幂函数的性质求解即可.（2）首先根据题意转化为∀𝑥∈[1,2]，𝑎>3𝑥−2𝑥2=3(1𝑥)−2(1𝑥)2恒成立．再利用换元法求解即可.【解答过程】（1）𝑚2

+2𝑚−2=1⇒𝑚=1或𝑚=−3，又因为函数𝑓(𝑥)在[0,+∞)上单调递增，𝑚=1，𝑓(𝑥)=𝑥−6（舍），𝑚=−3，𝑓(𝑥)=𝑥2.（2）∀𝑥∈[1,2]，𝑎𝑥2−3𝑥+2>0恒成立，∀𝑥∈[1,2

]，𝑎>3𝑥−2𝑥2=3(1𝑥)−2(1𝑥)2恒成立．令𝑡=1𝑥∈[12,1]，𝑔(𝑡)=3𝑡−2𝑡2，则𝑔(𝑡)在区间[12,34]上单调递增，在区间[34,1]上单调递减，𝑔(𝑡)max=𝑔(34)=98，故𝑎>98

．16．（15分）（23-24高二上·河北沧州·期末）已知函数()2ln22afxxxx=−−．(1)当2a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(2)若函数()fx在)2,+上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】(1)30xy+=(2)3,4−−

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）函数()fx在)2,+上单调递增，可得当2x时，()120xfxax=−−恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函

数的最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当2a=时，()2ln2xfxxx=−−，则()122xxfx=−−，∴()13f=−，()13f=−，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()331yx+=−−，即30xy+=．（2）由题意得当2x时，()120xfxax=−−

恒成立，∴2212111axxx−=−−≤在2x时恒成立，∵2x，则1102x，由于二次函数()211yt=−−在1(0]2,上单调递减，∴当112x=时，2min1234xx−=−，∴34a−，即实数a的取值范围是3,4−−．17.（15分

）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，值域为(0,+∞)，且对任意𝑚，𝑛∈𝑅，都有𝑓(𝑚+𝑛)=𝑓(𝑚)𝑓(𝑛)．𝜑(𝑥)=𝑓(𝑥)−1𝑓(𝑥)+1．(1)求𝑓(0)的值，并证明𝜑(𝑥)

为奇函数．(2)若𝑥>0，𝑓(𝑥)>1，且𝑓(3)=4，证明𝑓(𝑥)为𝑅上的增函数，并解不等式𝜑(𝑥)>1517．【解题思路】（1）赋值法令𝑚=𝑛=0，可得𝑓(0)；由𝑓(𝑥)给定性质，证明𝜑(−𝑥)=−𝜑(

𝑥)即可.（2）证明𝑓(𝑥)的单调性，再由单调性解不等式.【解答过程】（1）令𝑚=𝑛=0，得𝑓(0)=𝑓(0)𝑓(0)，又函数𝑓(𝑥)的值域为(0,+∞)，∴𝑓(0)=1．∵𝑓(0)=𝑓(−𝑥+𝑥)=𝑓(−𝑥)𝑓(𝑥)，∴𝑓(−𝑥)=1𝑓

(𝑥)，∴𝜑(−𝑥)=𝑓(−𝑥)−1𝑓(−𝑥)+1=1𝑓(𝑥)−11𝑓(𝑥)+1=1−𝑓(𝑥)1+𝑓(𝑥)=−𝜑(𝑥)，∴𝜑(𝑥)为奇函数．（2）任取𝑥1<𝑥2，𝑥1,𝑥2∈𝑅．𝑓(

𝑥1)−𝑓(𝑥2)=𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2−𝑥1+𝑥1)=𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2−𝑥1)𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥1)[1−𝑓(𝑥2−𝑥1)]．∵𝑥1<𝑥2，∴𝑥2−𝑥1>0．∵当𝑥>0时，𝑓(𝑥)>

1，∴𝑓(𝑥2−𝑥1)>1，∴1−𝑓(𝑥2−𝑥1)<0．又函数𝑓(𝑥)的值域为(0,+∞)，∴𝑓(𝑥1)[1−𝑓(𝑥2−𝑥1)]<0，即𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，∴𝑓(𝑥)为𝑅上的增函数．由𝜑(𝑥)=1517，即𝑓(𝑥)

−1𝑓(𝑥)+1>1517，化简得𝑓(𝑥)>16．∵𝑓(3)=4，∴16=𝑓(3)𝑓(3)=𝑓(6)，∴𝑓(𝑥)>𝑓(6)．又𝑓(𝑥)为𝑅上的增函数，∴𝑥>6，故𝜑(𝑥

)>1517的解集为{𝑥|𝑥>6}．18．（17分）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段（单位：岁）[15,25)[25,35)[

35,45)[45,55)[55,65)[65,75]被调查的人数101520m255赞成的人数612n20122(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在[35,45)的概率为15，求出表格中m，n的值；(2)若从年龄在[45,55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进

行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】(1)25m=，13n=(2)分布列见解析；期望为165【详解】（1）因为总共抽取100人

进行调查，所以10010152025525m=−−−−−=，因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在)35,45的概率为1525nn=+，所以13n=．（2）从年龄在)45,55中按分层抽样

抽取10人，赞成的抽取2010825=人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X的可能取值为2，3，4.则2282410CC2(2)C15PX===，3182410CC8(3)C15PX===，4082410CC1(4)C3PX===．所以X的分布列为X234P2158

1513所以()28116234151535EX=++=.19．（17分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否

喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：(2)将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i）完成下列22列联表，并判断是否有

95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年非青年合计喜欢20不喜欢60合计200（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的

概率.参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．参考数据：()2Pk0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】(1)

45(2)（i）列联表见解析；有；（ii）1114【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在40岁以下的居民所占比例为()100.010.0250.030.65++=，年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65100.020.

85+=，所以75%分位数位于4050［，）内，由0.750.654010450.850.65−+=−，所以，样本数据的75%分位数为45；（2）（i）由题知，22列联表为：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计1

5050200根据列联表中的数据，可得：()22200903060206.0613.841.1505011090−=所以，有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取3864=人，非青年居民应抽取2人．设从

中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X，()316248CC43C7PX===，()4648C34C14PX===，所以()()()1133414PXPXPX==+==，所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为1114．