【文档说明】河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期10月月考试题+数学+含答案.docx，共(10)页，175.545 KB，由小赞的店铺上传

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2022级高二上学期10月考试数学试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知直线𝑙1:(𝑎−1)𝑥+2𝑦+1=0与直线𝑙2:3𝑥+𝑎𝑦−1=0平行，则𝑎等于（）A．3或—2B．—2C．3D．22．已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的实轴长为4

，其焦点到渐近线的距离为√3，则该双曲线的离心率为（）A．√52B．√72C．√3D．√53．已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎7+𝑎13=4π，则tan(𝑎2+𝑎12)的值为（）A．−√3B．√3C．−√33D．√334．已知𝐹

1、𝐹2分别是双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠𝐹1𝑃𝐹2=60°，𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=√3𝑎𝑐，则双曲线的离心率为（）A．1+

√52B．√3+12C．√3D．25．实数𝑥,𝑦满足𝑥2+𝑦2+2𝑥=0,则𝑦−1𝑥−1的取值范围是（）A．[0,43]B．(−∞,0]∪[43,+∞)C．[−1,13]D．(−∞,−1]∪[13,+∞)6．在空间四边形𝑂𝐴𝐵𝐶中，

𝐸,𝐹分别是𝑂𝐴,𝐵𝐶的中点，𝑃为线段𝐸𝐹上一点，且𝑃𝐹=2𝐸𝑃，设𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐，则下列等式不成立的是（）A．𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

=12𝑏⃗+12𝑐B．𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=−16𝑎+16𝑏⃗+16𝑐C．𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=−13𝑎+13𝑏⃗+13𝑐D．𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑎+16𝑏⃗+16𝑐7．已知抛物线𝑦2=4√5𝑥,

𝐹1,𝐹2分别是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点𝐹1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠𝐹1𝐹2𝐴=𝜋4，则双曲线的标准方程为（）A．𝑥210−𝑦2=1B．𝑥2−𝑦216=1C．

𝑥2−𝑦24=1D．𝑥24−𝑦2=18．已知过椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)左焦点F且与长轴垂直的弦长为3√2，过点𝑃(2,1)且斜率为-1的直线与𝐶相交于𝐴,𝐵两点，若𝑃恰好是𝐴𝐵的中点，则椭圆𝐶上一点𝑀到𝐹的

距离的最大值为（）A．6B．2√2+3C．2√3+3D．3√2+3二、多选题9．下列说法正确的是（）A．直线√3𝑥+𝑦+1=0的倾斜角为120°B．经过点𝑃(2,1)，且在𝑥,𝑦轴上截距互为相

反数的直线方程为𝑥−𝑦−1=0C．直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦+2−𝑚=0恒过定点(1,−2)D．直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑎𝑦+1=0,𝑙2:(𝑎−1)𝑥−(𝑎+1)𝑦−4=0，𝑙1⊥𝑙2，则𝑎=−3或010．已知双曲线𝐶:𝑥29−𝑦216=1的焦点分

别为𝐹1,𝐹2，则下列结论正确的是（）A．渐近线方程为3𝑥±4𝑦=0B．双曲线𝐶与椭圆𝑥225+𝑦29=1的离心率互为倒数C．若双曲线𝐶上一点𝑃满足|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2|，则△𝑃𝐹1𝐹2的周长为2

8D．若从双曲线𝐶的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为611．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点，则以下四个结论正确的是（）A．𝐴𝐷1//𝑃𝑄B．𝐴1𝐷⊥𝑃𝑄C．直线B1Q与

AD1所成角的余弦值为3√1010D．Q到平面AB1P的距离为√6212．已知F是抛物线𝑦2=4𝑥的焦点，P是抛物线𝑦2=4𝑥上一动点，Q是⊙𝐶:(𝑥−4)2+(𝑦−1)2=1上一动点，则下列说法

正确的有（）A．|𝑃𝐹|的最小值为1B．|𝑄𝐹|的最小值为√10C．|𝑃𝐹|+|𝑃𝑄|的最小值为4D．|𝑃𝐹|+|𝑃𝑄|的最小值为√10+1三、填空题13．圆心在直线𝑥−𝑦−4=0上，且过两圆𝑥2+�

�2−4𝑥−6=0和𝑥2+𝑦2−4𝑦−6=0的交点的圆的方程为.14．在棱长为4的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F分别为棱𝐴𝐴1，𝐵𝐵1的中点，G为棱𝐴1�

�1上的一点，且𝐴1𝐺=𝜆(0<𝜆<4)，则点G到平面𝐷1𝐸𝐹的距离为．15．已知抛物𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝑄⃗⃗⃗⃗⃗，则P到准线l的距离为.16．已知𝐹1,𝐹2是椭圆𝐸:𝑥2�

�2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左，右焦点，𝐸上两点𝐴,𝐵满足3𝐴𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹2𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,|𝐴𝐹1|=2|𝐴𝐹2|，则𝐸的离心率为．四、解答题17

．已知两圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−6𝑦−1=0和𝑥2+𝑦2−10𝑥−12𝑦+𝑚=0．求(1)𝑚取何值时两圆外切？(2)当𝑚=45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．18．记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前n项和，已知𝑆𝑛=2(𝑎𝑛−2�

�+1).(1)证明：数列{𝑎𝑛2𝑛}是等差数列；(2)设k为实数，且对任意𝑛∈N∗，总有𝑘>𝑆𝑛−2𝑎𝑛，求k的最小值.19．四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是边长为2的菱形，∠𝐷𝐴𝐵=60°，对角线AC与BD相交于点O，𝑃𝑂⊥底面ABCD

，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；(2)证明：𝑂𝐸//平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．20．如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中

，𝑃𝐴⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．𝑃𝐴=𝐴𝐵=𝐴𝐷=2，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐵𝐶=4，点𝑀为𝑃𝐶中点，点𝐸为𝐵𝐶边上的动点（Ⅰ）求证：𝐷𝑀//平面𝑃𝐴𝐵．（Ⅱ）是否存在点𝐸，使得二面

角𝑃−𝐷𝐸−𝐵的余弦值为23？若存在，求出线段𝐵𝐸的长度；若不存在，说明理由．21．已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为−45.(1)求椭圆𝐶的离心率；(2)已知椭圆

𝐶的左､右顶点分别为𝐴,𝐵，且|𝐴𝐵|=6，点𝑀是𝐶上任意一点（与𝐴,𝐵不重合），直线𝑀𝐴,𝑀𝐵分别与直线𝑙:𝑥=5交于点𝑃,𝑄,𝑂为坐标原点，求𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗.22．已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2

𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为2√33，且焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线𝐶的方程；(2)若动直线𝑙与双曲线𝐶恰有1个公共点，且与双曲线𝐶的两条渐近线分别交于𝑃，𝑄两点，𝑂为坐标原点，证明：△𝑂𝑃𝑄的面积为定值.数学答案1C2B3A4A5A6C7C8

D9AC10CD11ABD12AC13．(𝑥−3)2+(𝑦+1)2=1614．4√5515.516．√5517.(1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：(𝑥−1)2+(𝑦−3)2=11,(𝑥−5)2+(𝑦−6)2=61−𝑚(𝑚<61)

，则圆心分别为𝑀(1,3),𝑁(5,6)，半径分别为√11和√61−𝑚，当两圆外切时，满足√(5−1)2+(6−3)2=√11+√61−𝑚⇒𝑚=25+10√11；（2）当𝑚=45时，有√61−𝑚=4，则4−√11<√(5−1)2+(6−3)2<4+√11，所以两圆相交，则

两圆的公共弦所在直线的方程为：𝑥2+𝑦2−2𝑥−6𝑦−1−(𝑥2+𝑦2−10𝑥−12𝑦+45)=0，即4𝑥+3𝑦−23=0，圆心𝑀(1,3)到直线4𝑥+3𝑦−23=0的距离𝑑=|4+9−23|√42+32=2，所以公共弦长𝑙=2√11−4=2√7．1

8．(1)（1）数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛=2(𝑎𝑛−2𝑛+1)，则𝑆𝑛+1=2(𝑎𝑛+1−2𝑛+1+1)，于是𝑎𝑛+1=𝑆𝑛+1−𝑆𝑛=2(𝑎𝑛+1−2𝑛+1+1)−2(𝑎𝑛−2𝑛+1)=2𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛−2𝑛+1，即�

�𝑛+1=2𝑎𝑛+2𝑛+1，因此𝑎𝑛+12𝑛+1=𝑎𝑛2𝑛+1，而𝑎1=𝑆1=2(𝑎1−1)，解得𝑎1=2，所以数列{𝑎𝑛2𝑛}是首项𝑎12=1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知𝑎𝑛2𝑛=1+(𝑛−1)×1=𝑛，即�

�𝑛=𝑛⋅2𝑛，于是𝑆𝑛−2=2(𝑎𝑛−2𝑛)=(𝑛−1)2𝑛+1，因此𝑆𝑛−2𝑎𝑛=(𝑛−1)2𝑛+1𝑛⋅2𝑛=2−2𝑛，而恒有2−2𝑛<2成立，所以不等式𝑘>2−2𝑛恒成立时，𝑘≥2，即𝑘的最小值为2.19.(1）

由题意，𝑃𝑂,𝑂𝐶,𝑂𝐵两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵=60°，所以𝐵𝐷=2𝑂𝐵=2,在Rt△𝐴𝑂

𝐵中𝑂𝐴=√𝐴𝐵2−𝑂𝐵2=√3，因为𝑃𝑂⊥底面ABCD，所以PB与底面ABCD所成的角为∠𝑃𝐵𝑂=60°，所以𝑃𝑂=𝑂𝐵⋅tan60°=√3，则点A、B、D、P的坐标分别是𝐴(0,−√3,0

),𝐵(1,0,0),𝐷(−1,0,0),𝑃(0,0,√3)，E是PB的中点，则𝐸(12,0,√32)，于是𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(32,0,√32)，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√3,√3).设𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，则有cos𝜃

=32√94+34√3+3=√24.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为√24；（2）连接𝑂𝐸，∵𝐸,𝑂分别是𝑃𝐵,𝐵𝐷的中点，∴𝐸𝑂//𝑃𝐷，∵𝐸𝑂⊄平面PAD，𝑃𝐷⊂平面PAD，∴𝐸𝑂//平面PAD.因

为𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√3,√3)，𝐴𝐷→=(−1,√3,0),设平面PAD的法向量𝑛→=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑥+√3𝑦=0𝑛⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=

√3𝑦+√3𝑧=0，令𝑥=√3，则𝑦=1,𝑧=−1，所以𝑛→=(√3,1,−1)，又𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(32,0,√32)，则点E到平面PAD的距离𝑑=|𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛→||𝑛→|=|3√32−√32|√3+1+1=√3

√5=√155.20．（Ⅰ）因为𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝐴⊥𝐴𝐷，𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，又𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，所以𝑃𝐴，𝐴𝐵，𝐴𝐷两两垂直．以𝐴为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所

示．则𝑃(0,0,2)，𝐵(2,0,0)，𝐷(0,2,0)，𝐶(2,4,0)点𝑀为𝑃𝐶中点，故𝑀(1,2,1)故𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,1)，又𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,2)，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2

,0,0)所以𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗所以𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗为共面向量，𝐷𝑀⊄平面𝑃𝐴𝐵，所以𝐷𝑀//平面𝑃𝐴𝐵．（Ⅱ）设𝐸(2,𝑎,0)，0

<𝑎<4依题意可知平面𝐵𝐷𝐸的法向量为𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,2)，𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,2)，𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2,𝑎−2,0)设平面𝑃𝐷𝐸的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⋅

𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑦+2𝑧=0𝑛⃗⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥+(𝑎−2)𝑦=0，令𝑧=1，则𝑛⃗=(2−𝑎2,1,1)．因为二面角𝑃−𝐷𝐸−𝐵的余弦值为23，所以|cos⟨𝐴𝑃⃗⃗⃗

⃗⃗,𝑛⃗⟩|=|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗||=23，即22×√(2−𝑎2)2+1+1=23，解得𝑎=1或𝑎=3．所以存在点𝐸符合题意，当𝐵𝐸=1或𝐵𝐸=3时，二面角𝑃−𝐷𝐸−𝐵的余弦

值为23．21．（1）根据题意可得椭圆𝐶的上顶点的坐标为(0,𝑏)，左､右焦点的坐标分别为(−𝑐,0),(𝑐,0)，由题意可知𝑏𝑐⋅(−𝑏𝑐)=−45，即𝑏2=45𝑐2，又𝑎2=𝑏2+𝑐2，所以𝑎2=95𝑐2，即𝑐2𝑎2=59,

𝑐𝑎=√53，可得椭圆𝐶的离心率𝑒=√53.（2）由|𝐴𝐵|=6，得2𝑎=6，即𝑎=3,𝑐=√5,𝑏=2，所以椭圆𝐶的方程为𝑥29+𝑦24=1.如图所示：设𝑀(𝑥0,𝑦0)，则𝑥029+𝑦02

4=1，即𝑦02=36−4𝑥029，又𝐴(−3,0),𝐵(3,0)，则直线𝑀𝐴的方程为𝑦=𝑦0𝑥0+3(𝑥+3)，直线𝑀𝐵的方程为𝑦=𝑦0𝑥0−3(𝑥−3)；因为直线𝑀�

�,𝑀𝐵分别与直线𝑙:𝑥=5交于点𝑃,𝑄，可得𝑃(5,8𝑦0𝑥0+3),𝑄(5,2𝑦0𝑥0−3)，所以𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(5,8𝑦0𝑥0+3)⋅(5,2𝑦0𝑥0−

3)=25+16𝑦02𝑥02−9=25+16(36−4𝑥02)9(𝑥02−9)=25−649=1619.即𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1619.22．（1）设双曲线𝐶的一个焦点为𝐹(𝑐,0)，一条渐近线的方程为𝑏𝑥−𝑎

𝑦=0，所以焦点到渐近线的距离为𝑏𝑐√𝑎2+𝑏2=𝑏=1.因为𝑒=𝑐𝑎=2√33，所以𝑎=√3，𝑐=2，所以双曲线𝐶的方程为𝑥23−𝑦2=1.（2）证明：当直线𝑙的斜率不存在时，直线𝑙的方程为𝑥=±√3，又渐近线方程为：𝑦=±√33𝑥，此

时|𝑃𝑄|=2，𝑆△𝑂𝑃𝑄=12×√3×2=√3.当直线𝑙的斜率存在时，不妨设直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑚，且斜率𝑘≠±√33，联立方程组{𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥23−𝑦2=1,得(1−3𝑘2)𝑥2−6�

�𝑘𝑥−3𝑚2−3=0，由Δ=36𝑚2𝑘2+4(1−3𝑘2)(3𝑚2+3)=0，得3𝑘2=𝑚2+1，联立方程组{𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑦=√33𝑥,得𝑥=−√3𝑚√3𝑘−1.不妨设直线𝑙与𝑦=√33𝑥的交点为𝑃，则�

�𝑃=−√3𝑚√3𝑘−1.同理可求𝑥𝑄=−√3𝑚√3𝑘+1，所以|𝑃𝑄|=√1+𝑘2×|𝑥𝑃−𝑥𝑄|=2√3|𝑚|√𝑘2+1|1−3𝑘2|.因为原点𝑂到直线𝑙的距离𝑑=|𝑚|√𝑘2+1，获得更多资源请扫码加入

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