【文档说明】四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.206 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-0953a0a21b698a038f3268cc8648674c.html

以下为本文档部分文字说明：

四川省自贡市蜀光中学高2023级高二上10月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.图中的直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk，则有（）A.123kkkB.123kkk

C.132kkkD.312kkk【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.【详解】由图象可得，1320kkk，故选：C2.从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的

样本，则抽取数学教师的人数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】直接利用分层抽样的定义和方法即可求解.【详解】从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则应抽取

的数学教师人数是246324168=++人.故选：C.3.若直线210xay++=与直线220xy+−=互相垂直，则实数a的值是（）A.1B.－1C.4D.－4【答案】B【解析】【分析】直接利用两直线垂直

时系数的关系求解即可.【详解】由题可知，220a+=，解得1a=−.故选：B4.如图，在边长为1的正方体1111ABCDABCD−中，若点M是侧面11BCCB的中心，以1,,DCDADD为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则D

M=（）A.111,,22−B.111,,22−C.111,,22−D.111,,22【答案】D【解析】【分析】利用向量坐标的分解式，将DM用基底表示出来，即可得到向量的坐标.【详解】由题意得M为

1CB的中点，所以()()11111112222DMDCCMDCCBCCDCDADDDCDADD=+=++=++=++，故111,,22DM=．故选：D5.某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其

中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（）A.116B.18C.14D.12【答案】C【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案．【详解】如图，由树状图可知，

共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果，所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为41164=，故选：C．6.设A为圆2220xyx+−=上的动点，PA是圆的切线且||1PA=，则P点的轨迹方程是（）A.22(1)4xy−+=B.22

(1)2xy−+=C.22yx=D.22yx=−【答案】B【解析】【分析】圆2220xyx+−=可化为22(1)1xy−+=，由题意可得圆心(1,0)，半径是1，又因为PA是圆的切线且||1PA=，可得2PC=，从而得出P点的轨迹方程．【详

解】圆2220xyx+−=可化为22(1)1xy−+=，由题意可得圆心(1,0)到P点的距离为2，所以点P在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是22(1)2xy−+=．故选：B．【点睛】本题考查圆的切线性质，圆的标准方程及圆的定义，属

于基础题．7.如图，在四棱锥EABCD−中，EC⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为底面ABCD的中心，P为CE的中点，且1ECBC==，则点O到直线DP的距离为（）A.1010B.3010C.55D.105【答案】B【解析】【分析】由题先建立空间直角坐标系，接着求出DO和直线DP的单

位方向向量DPDP，再由空间中的点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()0,1,0,0,0,0DC−，111,,0,0,0,222OP−

，所以111,,0,0,1,222DODP==，则2510,1,52DPDP=，故点O到直线DP的距离为222151130252510DPDODODP−=−=−=.故选：B.8..

已知点(,)Pxy为直线240lxy++=：上的动点，过P点作圆22:(1)1Cxy+−=的切线PA，PB，切点为,AB，则PAB周长的最小值为（）A.4545+B.55+C.45+D.425+【答案】A【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点P到

圆心C的最短距离，从而得出切线长,PAPB、进而求出PAB的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值.【详解】设圆心(0,1)C到直线240xy++=的动点(,)Pxy的距离为PC，根据点到直线距离公式，22014521PC++=+.因为PA，PB是圆

C的切线，所以21PAPBt==−（其中5tPC=）.又因为PAC是直角三角形，由勾股定理可得221PAPC=−，即21PAt=−.PAB的周长为PAPBAB++.因为AB是圆C的弦，且PAC和PBC△全等，所以ACPBCP=.根据三角形面积公式，11222PACABSPArPC==

（其中r是圆的半径），可得212ABtt−=，所以221tABt−=，则PAB的周长2222211212121(5)tttttt−−+=−+−.因为221yt=−与2121yt=−均在[5,)+上单调递增，所以当5t=时，PAB周长取得最小值

.最小值为244524455+=+.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设m，n是不同的直线，,是不同的平面，则下列命题错误

的是（）A.若//,//m，则//mB.若//,mnm，则n平行于内的无数条直线C.若,mmn⊥⊥，则//nD.若,m⊥⊥，则//m【答案】ACD【解析】【分析】根据线面位置关系、判定定理及性质即可判断.【详解】对于A，因为//,/

/m，所以m或//m，故A错误；对于B，因为//,mnm，所以//n或n，所以n平行于内的无数条直线，故B正确；对于C，若,mmn⊥⊥，则n或//n，故C错误；对于D，若,m

⊥⊥，则m或//m，故D错误.故选：ACD.10.已知点()()1,0,1,0AB−，若圆()()2221221xaya−++−−=上存在点M满足3MAMB=，则实数a的值为（）A.2−B.1−C

.2D.0【答案】BD【解析】【分析】设点(),Mxy，由平面向量数量积的坐标表示可得M的轨迹方程为224xy+=，结合圆与圆的位置关系即可得解.【详解】设点(),Mxy，则()()1,,1,MAMBxyxy=−−−=−+−，所以()()2113MAM

Bxxy=−−−++=，所以M的轨迹方程为224xy+=，圆心为()0,0，半径为2，由此可知圆()()2221221xaya−++−−=与224xy+=有公共点，又圆()()2221221xaya

−++−−=的圆心为()21,22aa−+，半径为1，所以()()22121223aa−++，解得112a−故选：BD.【点睛】解决本题的关键是求出点M的轨迹方程和转化问题为圆与圆的位置关系，细心

计算即可得解.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为1AA的中点，点F满足()11101AFAB=，则（）.A.当0=时，1AC⊥平面BDFB.任意0,1，三棱锥FBDE−的体积是定值C.存在0,1，使得AC与平面BDF所成的角为π3D.当23

=时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19【答案】ACD【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，0=时，F与1A重合，故只需验证1AC⊥面1BDA是否成立即可，对于B，由11AB不与平面BD

E平行，即点F到面BDE的距离不为定值，由此即可推翻B，对于C，考虑两种极端情况的线面角，由于F是连续变化的，故AC与平面BDF所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D，求出平面BDF的法向量，而显然球心坐标为()1,1,1O，求出球心到平面BD

F的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积.【详解】如图所示建系，()()()()()110,0,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2DBAAC，所以()()()112,2,0,2,0,2,2,2,2DB

DAAC===−，从而111440,440ACDBACDA=−+==−+=，所以111,ACDBACDA⊥⊥，又11,,DBDADDBDA=面1BDA，所以1AC⊥面1BDA，0=时，F与1A重合，平面BDF为平面

1BDA，因为1AC⊥面1BDA，1AC⊥平面BDF，A对.11AB不与平面BDE平行，F到面BDE的距离不为定值，三棱锥FBDE−的体积不为定值，B错.设面1BDA法向量为()1111,,nxyz=，则1111111220220nDBxynDAxz=+=

=+=，令11x=，解得111,1=−=−yz，即可取()11,1,1n=−−，而()2,2,0AC=−，所以AC与平面BDF所成角的正弦值为11146cos,3223ACnACnACn===，又()()12,2,0,0,0,2BDBB=−−=，所以1440,0ACBDAC

BB=−==，所以1,ACBDACBB⊥⊥，又11,,BDBBBBDBB=面1DBB，所以AC⊥面1DBB，当F在1A时，AC与平面BDF所成角的正弦值为6332，此时AC与平面BDF所成角小于π3，当F在1B时，AC与平面BDF

所成角为ππ23，所以存在0,1使AC与平面BDF所成角为π3，C正确.()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2DBF，设平面BDF的法向量为()0220,,,,22200nDBxynxyzxyznDF

=+==++==，不妨设1x=，则()()1,1,1,1,1,2,2,0yznAC=−=−=−−=−.23=，则42,,23F，平面BDF的法向量11,1,3n=−−，显然球心

()1,1,1O，的O到面BDF的距离1191919ODndn===，外接球半径44432R++==，截面圆半径的平方为2225619rRd=−=，所以256ππ19Sr==，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心

到截面BDF的距离，由此即可顺利得解.三、填空题:本题共小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()2,4,5,4,,abxy==，分别是直线12ll､的方向向量，若12//ll，则xy+=___

________．【答案】18【解析】【分析】由空间中两直线平行的向量关系即可求解.【详解】12//ll，//ab，所以存在实数，使得ba=，则4245xy===，解得2=，8x

=，10y=.18xy+=.故答案为：18.13.直线l过点()1,1且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______．【答案】0xy−=或20xy+−=【解析】【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案.【详解】当直线l过原点时，斜率为10110−=−，则

方程为yx=；当直线l不过原点时，由题意方程可设1xyaa+=，代入()1,1，可得111aa+=，解得2a=，则方程为20xy+−=.故答案为：0xy−=或20xy+−=.14.已知10xy++=，则()2222+－2－2＋2＋－2＋xyxyxy的最小值

为______【答案】25【解析】【分析】由两点距离公式可将()2222+－2－2＋2＋－2＋xyxyxy转化为(),Pxy到()1,1A，()2,0B的距离和，先求得()1,1A关于直线10xy++=的对称点()2,2C−−，则BC即为距

离和的最小值，由距离公式求BC即可.【详解】()()()()xyxyxyxyxy=−−+22222222+－2－2＋2＋－2＋1+1－2＋，设(),Pxy在直线10xy++=上，点()1,1A，()2,0B，则()()221+1PAxy−−=，()222+xyPB

−=，则()xyxyxyPAPB=+2222+－2－2＋2＋－2＋,如图，A关于直线对称点为C，则PAPB+的最小值即为线段长BC，设()11,Cxy，则()11111110221111xyyx++++=−−=−−，解得112

2xy=−=−，即()2,2C−−，故()()22222025BC=−−+−−=，所以()xyxyxyPAPBBC=+=222225+－2－2＋2＋－2＋，故答案为：25四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥PABCD−中

，底面ABCD是边长为1正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设ABa=，ADb=，cAP=.的的（1）试用,,abc表示向量BM；（2）求BM的长.【答案】（1）111222bac−+（2）62【解析】【分析】利用空间向量基本定理用基底表示B

M；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【小问1详解】()1122BMBCCMADCPADCBBAAP=+=+=+++111111222222ADADABAPbac=−−+=−+【小问2详解】

22222111111111222444222BMbacbacabcbac=−+=++−+−11111131021214422222=++−+−=，所以62BM=，则BM

的长为62.16.在RtABC△中，90BAC=，BC边上的高AD所在直线的方程为220xy−+=，A的平分线所在直线的方程为0y=，点B的坐标为()1,3.（1）求直线BC的方程；（2）求直线AC的方程及点C的坐标.

【答案】（1）250xy+−=（2）直线AC的方程为：2yx=−−，(7,9)C−【解析】【分析】（1）根据垂直的位置关系，算出直线BC的斜率为2−，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线BC的方程；（2）由BC边的高所在直线方程和0y=，解出(2,0)A−，从而得

出直线AB的方程．由直线AC、AB关于直线0y=对称，算出AC方程，最后将AC方程与BC方程联解，即可得出点C的坐标．【小问1详解】由于AD所在直线的方程为220xy−+=，故AD的斜率为12，BC与AD互相垂直，直线BC的斜率为2k=−，结合()1,3B

，可得BC的点斜式方程：32(1)yx−=−−，化简整理，得250xy+−=，即为所求的直线BC方程．【小问2详解】由220xy−+=和0y=联解，得(2,0)A−由此可得直线AB方程为：023012yx−+=−+，即2yx=+，AB，AC关于

角A平分线x轴对称，直线AC的方程为：2yx=−−，直线BC方程为25yx=−+，将AC、BC方程联解，得7x=，9y=−，因此，可得C点的坐标为(7,9)−．17.某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天

从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为)3,5，)5,7，)7,9，…，)17,19，19,21九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；（2）

据统计，在样本数据)3,9，)9,15，15,21的会员中体检为“健康”的比例分别为15，13，35，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.【答案】（1）14.5（2）

0.38【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和总体百分位数的定义直接求解即可.（2）设任取的会员数据在)3,9，)9,15，15,21中分别为事件1A，2A，3A，先求出对应概率，即可求解体检为“健康”的概

率.【小问1详解】解：（1）由于在)3,13的样本数据比例为：0.010.020.120.170.230.55++++=∴样本数据的70%分位数在)13,15内∴估计为：0.70.5513214.50.750.55−+=−.【小问2详解】（2）设任取的会

员数据在)3,9，)9,15，15,21中分别为事件1A，2A，3A，∴()10.010.020.120.15PA=++=，()20.170.20.230.6PA=++=，()30.170.060.020.25PA=++=设事件A=在该地区工会会员中任取一人体检为“健康”()1130

.150.60.250.38535PA=++=.18.已知圆22:6Oxy+=．（1）求过点(2,2)−且与圆O相切的直线的方程；（2）若点(6,0),,ABC圆O上两点，①若,,ABC共线，求OBC△的面积最大

值及此时直线AB的方程；②若直线BC斜率存在，且直线AB与AC斜率互为相反数，证明：直线BC经过定点．【答案】（1）232yx=+；（2）①3，1160xy−=；②证明见解析.【解析】【分析】（1）判断给定点在圆上，求出经过切点的半径所在直线的斜率即可求解出切线方程.（2）①利用三角形面积

公式可得90BOC=时，三角形面积最大，再结合点到直线距离公式求出直线AB方程；②设出直线BC方程，与圆的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算推理即得.【小问1详解】由22(2)(2)6−+=，得点(2,2)−在圆O上，则过

点(2,2)−的圆O半径所在直线斜率为22−因此所求切线斜率为2，方程为22(2)yx−=+，即232yx=+.【小问2详解】①显然直线AB的斜率存在且不为0，设方程为(6)ykx=−，而圆O半径为6，则OBC△的面积1||||sin3sin

32OBCSOBOCBOCBOC==，当且仅当90BOC=时取等号，此时圆心O到直线AB的距离2632d==，因此2|6|31kk=+，解得1111k=，直线AB：11(6)11yx=−，即1160xy−=，所以OBC△的面积最大值为3，直

线AB的方程为1160xy−=.是②设直线BC方程为ytxm=+，1122(,),(,)BxyCxy，由226ytxmxy=++=消去y得222(1)260txtmxm+++−=，则212122226,11tmmxxxxtt−+=−

=++，直线AB斜率111166ABytxmkxx+==−−，直线AC的斜率226ACtxmkx+=−，依题意，1212066ABACtxmtxmkkxx+++=+=−−，整理得12122(6)()120txxmtxxm+−+−=，即有2222(6)2(6)

12011tmtmmtmtt−−−−=++，化简得mt=−，经验证222(1)260txtmxm+++−=的0，因此直线BC：(1)ytx=−恒过定点(1,0)，所以直线BC经过定点.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，底面是边长为2的等边

三角形，12CC=，D，E分别是线段1ACCC、的中点，1C在平面ABC内的射影为D.（1）求证：1AC⊥平面BDE；（2）若点F为棱11AC的中点，求三棱锥FBDE−的体积；（3）在线段11BC上是否存在点G，使二面角GBDE−−的大小为π

4，若存在，请求出1CG的长度，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）12；（3）存在，436−.【解析】【分析】（1）通过几何图形的性质证明11,ACDEACBD⊥⊥，即可；（2）利用BD⊥平面DEF，并结合三棱锥的体积公式计算即可

；（3）根据二面角的定义结合（1）作出其平面角，解三角形即可.【小问1详解】如图所示，连接11,CDCA，由题意可知1CD⊥平面ABC，四边形11ACCA是菱形.BD平面ABC，1CDBD⊥，又D

是AC中点，ACB△是正三角形，ACBD⊥，又11,,ACCDDACCD=平面11ACCA，BD⊥平面11ACCA，1AC平面11ACCA，1BDAC⊥，在菱形11ACCA中，有11CAAC⊥

，而D，E分别是线段1ACCC、的中点，则1//DEAC，所以1DEAC⊥，,DEBDDDEBD=、平面DBE，1AC⊥平面DBE；【小问2详解】如图所示，由（1）可知，BD⊥11ACCA，BD⊥平面DEF，BD为三棱锥FBDE

−的高，12,2CCCA==，111,1,1,1CECDCECF====，又1C在平面ABC内的射影为D，1CDAC⊥，则1π3CCD=，12π3CCF=，1,3,2EDEFFD===，则222EDEFFD+=，DEF为直角三角形，11331222DEFSEFE

D===，113133322FBDEBDEFDEFVVSBD−−====.【小问3详解】如图，假设存在G点满足题意，取11AC的中点S，连接1BS，过G作1GMBS//交11AC于M，连接MD，易得1BSBDGM////，GM平面DBE，BD平面DBE，故//GM平面DB

E，又结合（1）的结论有,MDBDEDBD⊥⊥，故二面角GBDE−−为MDE∠，所以π4MDE=，如图，在菱形11ACCA中，作MVAD⊥，易得1180604575,3MDVMVCD=−−===，则1233tan75MVDVMC===−，易知1MGC为直角三角

形160MCG=，故11436cos60CMCG==−.【点睛】思路点睛：本题立体几何的求解可从以下方面入手：（1）证明线面垂直，要在该平面内找两条相交直线与已知直线垂直即可；（2）第二问关键在于求三棱锥FBDE−的高，通过构造线面垂直

来转化；（3）另一个关键在于求二面角的平面角，结合（1）的结论找出垂直关系解三角形即可.