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【文档说明】吉林省长春市十一高中2020-2021学年高二下学期第三学程考试数学（理）试题含答案.doc，共(14)页，1.251 MB，由小赞的店铺上传
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数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，复数3-412ii+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象
限3.已知命题，，命题，，则下列为真命题的是（）A.B.C.D.4．研究表明，我国研制的新冠灭活疫苗，人体接种这种疫苗需要接种两次，间隔2~4周，接种完第一剂以后，7天开始普遍产生抗体，接种完第二剂28天以后，中和抗体阳转率或者叫阳性率均达百分之百．也就是说，按照规范的免疫程序接种两剂我国研
制的新冠灭活疫苗28天后，所有人都能产生足以抵抗新冠病毒的抗体，某研究所在500名志愿者身上进行了人体新冠灭活疫苗注射，接种完第一剂7天后发现这些志愿者均已经产生了稳定的免疫应答，这些志愿者的免疫反应蛋白M的数值X（
单位：/mgL）近似服从正态分布()225,N，且X在区间(10,40)内的人数占总人数的98%，则这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值不大于10mg/L的人数大约为（）A．5B．10C．50D．1005．有红色、
黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A．48B．72C．78D．846．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每
局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（）.A．13B．38C．37D．127．已知变量y关于变量x的回归方程为ln0.24ybx=+，其一组数据如下表所示：xe3e4e6e7ey12345若10ex=
，则y的值大约为（）A．4.94B．5.74C．6.81D．8.048.已知平面向量a，b的夹角为3，且对任意实数，abab−−恒成立，则:ab=（）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒
测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sinpf=，其中v为
测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，可近似计算0.02sin10.0004=+≈0.02，发出的激光波长为1500nm（91nm10m−=），某次检验中可测频移范围为99.50010（1/h
）至910.00010（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（）A．12B．13C．23D．5610.已知函数()fx的导函数为()'fx，e为自然对数的底数，对xR均有()()()'fxxfxxfx+成立，且()22=fe，则不
等式()2xxfxe的解集是A．(),e−B．(),e+C．(),2−D．11．已知nS是数列na的前n项和，若2021220210122021(12)xbbxbxbx−=++++，数列{}na的首项20211211122021,222n
nnbbbaaSS++=+++=，则2021S=（）A．12021−B．12021C．2021D．2021−12．对于函数()yfx=，若存在区间,ab，当,xab时，()fx的值域为,kakb，则称()yfx=为k倍值函数．若()lnfxxx=+
是k倍值函数，则k的取值范围为（）A．10,eB．1,e+C．11,1e+D．11,e++第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()fx为奇函数，当0x时，3()=2xfxexe−+则曲线()
yfx=在(1,(1))f处的切线方程是______.14.若34()2nxx−的展开式中第四项为常数项，则n=_______.15.我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类这三个专业中的
某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).16．已知F1，F2分别为双曲线x2﹣＝1的左、右焦点，过F2且倾斜角为θ的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1
F2的内切圆O1的半径为r1，△BF1F2的内切圆O2的半径为r2，圆O1的面积为S1，圆O2的面积为S2，则______________①．θ的取值范围是（，）②．直线O1O2与x轴垂直③．若r1+r2＝2，则|AB|＝6④．S1+S2的取值范围是[2π，）
三、解答题：本题共5小题,每题12分，共70分.17.设三角形的内角､､所对的边长分别是､､，且222sincossinsinsin1BCAAC+=−+.（1）求的大小；（2）若不是钝角三角形，求2ac的取值范围.18.如
图，在直三棱柱中，正方形边长为3，4BC=，，M是线段上一点，设．（1）若，证明：BD∥平面；（2）若二面角的余弦值为，求的值．19．国务院办公厅印发了《关于防止耕地“非粮化”稳定粮食生产的意见》，意见指出要切实稳定粮食生产，牢牢守住国家粮食安全的生命线.为了切实落实好稻谷､小麦､玉米三大谷物种
植情况，某乡镇抽样调查了A村庄部分耕地(包含永久农田和一般耕地)的使用情况，其中永久农田100亩，三大谷物的种植面积为90亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为10亩；一般耕地50亩，三大谷物的种植面积为30亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为20亩.（1）以频率代替概率
，求A村庄每亩耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率；（2）上级有关部门要恪促落实整个乡镇三大谷物的种植情况，现从本乡镇抽测5个村庄，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为A村庄每亩耕地(永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率.若抽测的村庄三大谷
物的种植情况符合要求，则为本乡镇记1分，若不符合要求，记-1分.X表示本乡镇的总积分，求X的分布列及数学期望；（3）目前在农村的劳动力大部分是中老年人，调查中发现，80位中老年劳动力中有65人种植三大谷物，其余种植棉､油､蔬菜等农作物；
20位青壮年劳动力中有15人种植需要技术和体力，短期收益大的棉､油､蔬菜等农作物，其余种植三大谷物.请完成下表，并判断是否有99.9%的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关？劳动力年龄层次种植情况合计种植三大谷物种植棉，油，蔬菜等中老年劳
动力青壮年劳动力合计附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.100.050.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.82820.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．
过点的直线与抛物线交于，两点．（1）若直线与圆：相切，求直线的方程；（2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．21.已知函数()2222()ln,()1ln(1)2
,fxaxxaxgxaxaxxaR=−+=−+−−.（1）当0a时，求函数()fx的单调区间；（2）若()()2fxgxax+恒成立，求实数a的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（2）已知点P（1，），曲线C1与C2相交于A，B两点，求||．23．已知函数()221fxxx=−++，xR.（1）求函数()fx的
图象与直线6y=围成区域的面积；（2）若对于0m，0n，且4mn+=时，不等式()fxmn恒成立，求实数x的取值范围.数学（理）试卷答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.题号123456789101112答案CDCAABCBAD
AC二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.2yexe=−14.【答案】515.508116．②③④三、解答题：本题共5小题,每题12分，共70分.17.【答案】（1）3；（2）[1,4].【详解】（1）因为222sincoss
insinsin1BCAAC+=−+所以222sinsinsinsinsinBACAC=+−由正弦定理，得所以又因为，所以；（2）因为，由，得：由正弦定理得当时，当时，所以.18.【答案】（1）证明见解析；（2）3=4．【详解】（1）连接交于点N，连接，则M，N分别为和的中点，∴；
∵BD平面，平面；∴平面；（2）以C为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，，，，设，其中；则，，，平面的法向量，平面的法向量；∴，．19．【答案】（1）45；（2）分布列答案见
解析，数学期望：3；（3）表格答案见解析，有99.9%的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关.【详解】解：（1）设事件M为“耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物”，则()90304100505PM+==+.所以A村庄每亩耕地种植三大谷物的概率为4.5（2）由（1）
知，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为45由题意知,X的所有可能取值为5,3,1,1,3,5−−−则()5415153125PX=−=−=，()4154443155625PXC=−=−=()232544321155625PXC=−=−=
()3235441281155625PXC==−=()445442563155625PXC==−=()55541024553125PXC===则该乡镇的总积分X的分布列为X-5-3-
1135P1312546253262512862525662510243125()()()()14325313125625625EX=−+−+−+128256102413536256253125++=（3）劳动力
年龄层次种植情况合计种植三大谷物种植棉､油､蔬菜等中老年劳动力651580青壮年劳动力51520合计70301002K的观测值2100(6515155)24.107.80207030k−=因为24.10710.828所以有99.9%的把
握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关.20.【答案】（1）；（2），理由见解析；【分析】【详解】（1）由题意知：且圆的半径为，圆心(0,0)O，即有在圆外，∴设直线为，则圆心到直线的距离，解之得：，
即直线的方程为.（2）由过的直线与抛物线交于，两点，与轴的交点为，即斜率存在且，设直线为，有，联立直线方程与椭圆方程，有，可得，设，，即有，，，，，由，，可得，，∴，即可得为定值21.【答案】（1）增区间为(0,)a，减区间为(,)a+；（2）[1,)+
.【详解】（1）由题意，函数22()lnfxaxxax=−+的定义域为(0,)+，且2222(2)()()2axaxaxaxafxxaxxx−+++−=−+==−，因为0a，可得02aa−，令()0fx，即(2)()0xaxa+−，解得0xa；令(
)0fx，即(2)()0xaxa+−，解得xa，所以()fx的增区间为(0,)a，减区间为(,)a+.（2）由()()2fxgxax+恒成立，即()2()0gxaxfx+−恒成立，设2()()2()(2)ln,(0)xgxaxfxaxaxxx=+−=+−−，只需函数
min[()]0x，由212(2)1(1)(21)()2(2)axaxaxxxaxaxxx+−−−+=+−−==，①当0a时，由于0x，故()0x，此时()x在(0,)+上递减，因此m
in[()]x不存在，故min[()]0x不成立；②当0a时，(1)(21)()axxxx−+=，因为1102a−，令()0x，即(1)(21)0axx−+，解得1xa；令()0x
，即(1)(21)0axx−+，解得10xa，所以()x的减区间为10,a，増区间为1,a+，所以2min111111[()](2)ln1lnxaaaaaaaa==+−−=
−−，由min[()]0x，即111ln0aa−−，可得11ln1aa−，令10ta=，可得ln1tt−，设()ln1,0mtttt=+−，可得1()10mtt=+，所以()mt在(0,)+上为单调
递增函数，又由(1)0m=，所以01t，即101a，解得1a，综上所述，当1a时，()()2fxgxax+恒成立，所以实数a的取值范围是[1,)+.22．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t得：．曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4co
sθ，根据转换为直角坐标方程为y2＝4x．（2）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为标准式为（t为参数），代入y2＝4x，得到：，所以，．故．23．【答案】（1）6；（2）)4,0,3−−+
.【解析】（1）由()3,14,123,2xxfxxxxx−−=+−与6y=围成的区域是ABC，如图所示，其中()2,6A−，()1,3B−，()2,6C，所以4AC=，B到直线AC的距离为3，故所求面积为14362ABCS==△
.（2）因为0m，0n，且4mn+=，所以22mnmn+，即4mn，若不等式()fxmn恒成立，则有()()maxfxmn，即()4fx，解不等式2214xx−++，可得134xx−−或1244xx−+
或234xx，解之得43x−或0x，所以实数x的取值范围为)4,0,3−−+.
