【文档说明】福建省厦门市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试+数学+含解析.docx，共(23)页，1.701 MB，由小赞的店铺上传

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福建省厦门第一中学2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷2023.09.01考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答

案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．I卷（预习检测）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．1.直线310xy++=的倾斜角是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π62.已知椭圆C：22214xya+=的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（）A.13B.12C.22D.13.已知双曲线2

221(0)4xybb−=的渐近线方程为30xy=，则b=A.23B.3C.32D.124若直线10xy−+=与圆22210xyxa+−+−=相切，则a等于（）A.2B.1C.2D.45.已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa=+，则4a=（）A.1

6B.8C.4D.2.6.已知抛物线22(0)ypxp=上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.4B.9C.10D.187.椭圆2212516xy+=的焦点为12,F

F，P为椭圆上一点，若1260FPF=，则12FPF的面积是.A.1633B.3233C.163D.3238.已知A．B．C是双曲线22221(0,0)xyabab−=上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC⊥且3||||AFCF=，则该双曲线的离心率是（

）A.102B.53C.173D.94二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．9.圆心在直线:230lxy−−=上，且经过点3(2,)A−，(2,5)B−−的圆的方程为________．10.已知点(2,2)A，(1,1)B−，若直线:0lkxy

k−−=与线段AB（含端点）相交，则k的取值范围为________．三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11.已知nS是等差数列na的前n项和，60a=，376aa+=.（1）求数列na的通项公式；（2）若0nS，求n的最小值.12.圆C的圆心为()2,0C，

且过点33,22A.（1）求圆C的标准方程；（2）直线:10lkxy++=与圆C交,MN两点，且2MN=，求k.13.已知ABC顶点()3,0A、()1,3B−−、()1,1C．（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；（2）求边BC的垂直平分线l的方程（3）求ABC面

积．的14.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与.CD当直线AB斜率为0时，弦AB长4．()1求椭圆的方程；()2若48.7ABCD+=求直线A

B的方程．Ⅱ卷（巩固检测）四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15已知(2,1)a=，(,1)bx=，且ab+与2ab−平行，则x等于（）A.10B.10−C.2D.2−16.已知向量(cos12

0,sin120)a=，(1,0)b=，则a在b上的投影向量为（）A.32b−B.12b−C.12bD.32b17.已知直四棱柱1111ABCDABCD−的棱长均为2，60BAD=.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BC

C1B1的交线长为（）A.π2B.2π2C.πD.218.已知O为ABC的外心，4AB=，6AC=，1469AOABAC=+，则ABC的面积为（）A.12B.123C.6D.63五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共1

0分．19.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为.2，4，则该棱台的对角面面积为_______．20.在

三棱锥PAOB−中，24PBOA==，PA⊥平面AOB，OAOB⊥，45POA=，则OA与BP所成角为__________.六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.在矩形ABCD中，2AB=，3BC=，E是AB中点，F是BC边上的三等分点（

靠近点B），AF与DE交于点M.（1）设ABa=，ADb=，请用a，b表示AF和DE；（2）求ME与MFuuuur夹角的余弦值.22.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，12AB=，O为1AB的中点，E、F在1AC上，1233EFAE

FC==.（1）试在直线1AB上确定点P，使得对于1FC上任一点D，恒有//PD平面AOE；（用文字描述点P位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知Q在直线1AA上，满足对于1FC上任一点D，恒有/

/QD平面AOE，P为（1）中确定的点，试求当1APQ△的面积最大时，二面角1PACQ−−的余弦值.的的福建省厦门第一中学2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷2023.09.01考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上

粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结

束后，将答题卡交回．I卷（预习检测）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线310xy++=的倾斜角是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】

D【解析】【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】由题意，直线的斜率为33k=−，设直线的倾斜角为()0π，即35πtan36=−=.故选：D.2.已知椭圆C：22214xya+=的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（）A.13B.12C.

22D.1【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程可知b值，根据焦点坐标得到c值，即可求出a代入离心率公式求解.【详解】由已知可得24b=，2c=，则2228abc=+=，所以22a=，则离心率22cea=

=．故选：C.3.已知双曲线2221(0)4xybb−=的渐近线方程为30xy=，则b=A.23B.3C.32D.12【答案】A【解析】【分析】由双曲线2221(0)4xybb−=的渐近线方程为2byx=，结合渐近线方程为3yx=，从而可得结果.【详解】因为双曲线2221(0)

4xybb−=的渐近线方程为2byx=，又渐近线方程为3yx=，所以3,232bb==，故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及双曲线的渐近线，属于基础题.若双曲线方程为22221xyab−=，则渐近线方程为byxa=.4.若直线10xy−+=与圆22210

xyxa+−+−=相切，则a等于（）A.2B.1C.2D.4【答案】A【解析】【分析】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求a的值.【详解】圆22210xyxa+−+−=化成标准方程为()221xya−+=，则0a且圆心坐标为()1,0

，半径为a，直线10xy−+=与圆22210xyxa+−+−=相切，则圆心到直线距离等于半径，即：()221012211da−+===+−，解得2a=.故选：A5.已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa=+，则4a=（）A.16B.8C.4D.2【答案

】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，设出基本量1a和q，列出方程，可求解.【详解】设正数的等比数列na的公比为()0qq，则231111421111534aaqaqaqaqaqa+++==+，解得112aq==（负值舍去），3418

aaq==.故选：B.6.已知抛物线22(0)ypxp=上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.4B.9C.10D.18【答案】C【解析】【分析】根据题意结合抛物线的定义可得10p=，即可得结果.【详解】由题意

可得：22(0)ypxp=的焦点坐标为,02pF，准线为2px=−，设抛物线22(0)ypxp=上横坐标为4点为()04,Ay，则492pAF=+=，解得10p=，故该抛物线的焦点到准线的距离为10p=.故选：C

.的7.椭圆2212516xy+=的焦点为12,FF，P为椭圆上一点，若1260FPF=，则12FPF的面积是.A.1633B.3233C.163D.323【答案】A【解析】【分析】椭圆焦点三角形的面积公式

为2tan2Sb=，直接代入公式可求得面积.【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为2tan2Sb=，故所求面积为16316tan303=，故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三

角形的面积公式为2tan2Sb=，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.8.已知A．B．C是双曲线22221(0,0)xyabab−=上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC⊥且3||||AFCF=，

则该双曲线的离心率是（）A.102B.53C.173D.94【答案】A【解析】【分析】根据题意，连接','AFCF，构造矩形'FAFB；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得ac、的关系，进而求出离心率．【详解】设左焦点为F'，AFm=，连接','AFCF，则3FCm=，'

2AFam=+，'23CFam=+，'2FFc=，因为BFAC⊥，且AB经过原点O，所以四边形'FAFB为矩形，在Rt△'AFC中，222'+'AFACFC=，将边长代入得()()()2222+4=23ammam++，化简得ma=，所以在Rt△'AFF中，222'+'AFAFFF=，代入边长

得()()()22222aaac++=化简得2252ca=，即102e=，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAFB为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即

可.二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．9.圆心在直线:230lxy−−=上，且经过点3(2,)A−，(2,5)B−−的圆的方程为________．【答案】()()221210xy+++=【解析】【分析】直线l和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.

【详解】圆经过点3(2,)A−和(2,5)B−−，12ABk=，AB中点为()0,4−，所以线段AB的垂直平分线的方程是yx=−−24．联立方程组23024xyyx−−==−−，解得12xy=−=−．所以，圆心坐标为()1,2C−−，半径()()22213210rCA=

=++−+=，所以，此圆的标准方程是()()221210xy+++=．故答案为：()()221210xy+++=10.已知点(2,2)A，(1,1)B−，若直线:0lkxyk−−=与线段AB（含端点）相交，则k的取值范围为________．【答案】)1,2,2−−+【解

析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．【详解】由kxyk0−−=可得()1ykx=−，可知直线l为过定点()1,0P，斜率为k的直线，可得201012,21112PAPBkk−−====−−−−，若直线:0lkxyk−−=与线段AB（含端

点）相交，则2k或12k−，所以k的取值范围为)1,2,2−−+.故答案为：)1,2,2−−+.三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11.已知nS是等差数列na的前n项和，60a=，376aa+=.（1）求数列na

的通项公式；（2）若0nS，求n的最小值.【答案】（1）318nan=−+（2）12【解析】【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出nS，得到不等式，求出11n，结合*nN，

得到n的最小值.【小问1详解】设数列na的公差为d，因为60a=，所以()()3766326aaadadd+=−++=−=.解得3d=−.所以()66318naandn=+−=−+.【小问2详解】131815a=−+=，所以()215318333222nnnSn

n+−+==−+.令0nS，得2333022nn−+，解得：11n（0n舍去）.因为*nN，所以n的最小值是12.12.圆C的圆心为()2,0C，且过点33,22A.（1）求圆C的标准方程；（2）直线:10lkxy++=与圆C交,MN两点，且2MN=

，求k.【答案】（1）()2221xy−+=（2）1k=−或17−【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；（2）求出圆心()2,0C到直线:10lkxy++=的距离，利用垂径定领列出方程，求出k.【小问1详

解】设圆的半径为r，则223320122r=−+−=，故圆的标准方程为：()2221xy−+=；【小问2详解】设圆心()2,0C到直线:10lkxy++=的距离为d，则2211kdk+=+，由垂径定理

得：2222MNdr+=，即222212121kk++=+，解得：1k=−或17−.13.已知ABC顶点()3,0A、()1,3B−−、()1,1C．（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；（2）求边BC的垂直平

分线l的方程（3）求ABC的面积．【答案】（1）210xy−−=；1−；（2）220xy++=；（3）5.【解析】【分析】（1）由题可得直线BC的斜率，然后根据点斜式即得；（2）由题可知BC的中点坐标及中垂线的斜率，进而即得；（3）根据两点间距离，点到直线的

距离公式及三角形面积公式即得.【小问1详解】因为()1,3B−−、()1,1C，所以直线BC的斜率为13211k+==+，所以直线BC的方程为()121yx−=−，即210xy−−=，令0x=，得1y=−，即直线BC的方程在y轴上的截距为1−；小问2详解】由题可知BC的中点为

()0,1−，直线BC的斜率为2k=，线段BC的垂直平分线l的斜率为12−，所以线段BC的垂直平分线l的方程为112yx+=−，即220xy++=；【小问3详解】因为直线BC的方程为210xy−−=，又()3,0A，所以A到BC的距离为()2261521d−==+−，又()()2211132

5BC=+++=，所以ABC的面积为11255522BCd==.14.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与.CD当直线AB斜率为0时，弦AB

长4．()1求椭圆的方程；()2若48.7ABCD+=求直线AB的方程．【答案】（1）221.43xy+=（2）10xy−−=或10.xy+−=【解析】【【分析】()c11ea2==，2a4=，又222

abc=+，解得：a2,b3==，即可求出椭圆的方程；()2分类讨论，将直线AB，CD方程代入椭圆方程中，求出AB，CD，利用48ABCD7+=，求出k，即可求直线AB的方程．【详解】()1由题意知c1ea2==，2a4=，又222abc=+，解得：a2,b3==，所以椭圆方程为：22

xy1.43+=()2①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知ABCD7+=，不满足条件；②当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为()ykx1=−，则直线CD的方程为()1yx1k=

−−．将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得()222234kx8kx4k120+−+−=，则221212228k4k12xx,xx34k34k−+==++，所以()2212212k1ABk1xx34k+=+−=+．同

理，()2222112112k1kCD43k43k++==++．所以()()()()2222222212k112k184(k1)48ABCD34k3k4734k3k4++++=+==++++解得k1=，所以直线AB方程为xy10−−=或xy10.+

−=【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，熟练计算弦长公式是关键，属于中档题．Ⅱ卷（巩固检测）四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.已知(2,1)a=，(,1)bx=

，且ab+与2ab−平行，则x等于（）A.10B.10−C.2D.2−【答案】C【解析】【分析】先求出向量ab+与2ab−的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.【详解】因为(2,1)a=，(,1)bx=，所以()2,2abx+=+，()

24,1abx−=−，若ab+与2ab−平行，则()212(4)xx+=−，得x＝2.故选：C.16.已知向量(cos120,sin120)a=，(1,0)b=，则a在b上的投影向量为（）A.32b−B.12b−C.12bD.32b【答案】B【解析】【分析】解法1：根据

向量坐标表示与运算求解；解法2：结合图形处理问题.【详解】解法1：因为()13cos120,sin120,,122aab==−==rrr，,120ab=，则a在b上的投影向量为()1cos1202abb=−rrr.

解法2：因为1ab==，由图可得，a在x轴上的投影数量为12−，则a在b上的投影向量12b−.故选：B.17.已知直四棱柱1111ABCDABCD−的棱长均为2，60BAD=.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为（）A.π2B.2π2C.πD.2

【答案】B【解析】【分析】先找出平面11BCCB截球面的截面圆的圆心是11BC的中点O，再找到截面圆的半径和交线.【详解】如图所示：由已知，连接11,BDBD，则112,BDBD==因为直四棱柱ABCD-A

1B1C1D1的棱长均为2，60BAD=，所以111BCD△为等边三角形.且1BB⊥平面111BCD，取11BC的中点O，连接1DO,则111DOBC⊥,又1DO平面111BCD，所以1BB⊥1DO，又11BC11BBB=，所以1DO⊥平面11BCCB，故平面11BCCB截球面的

截面圆的圆心是点O，取1BB和1CC的中点EF、，连接11,,EFDEDF,则115DEDF==，故EF、在球面上，2OEOF==,2EF=，所以OEF为直角三角形，EOF90=,球面与侧面11BCCB交线是侧面上以O为圆心，2为半径的圆弧1222ππ

42EF==.故选：B.18.已知O为ABC的外心，4AB=，6AC=，1469AOABAC=+，则ABC的面积为（）A.12B.123C.6D.63【答案】D【解析】的【分析】根据外心求出AOAC，利用条件得出3sin2BA

C=，结合面积公式可得答案.【详解】设AC的中点为D，由O为ABC的外心可得，ODAC⊥，()3618AOACADACADACDO+====，又14()69AOACABACAC=+214116696ABACACABA

C=+=+，所以12ABAC=，又cos46cos12ABACABACBACBAC===，可得1cos2BAC=，故3sin2BAC=，则ABC的面积为113sin4663222ABACBAC==，故选：D.五、填空题：本题共2小

题，每小题5分，共10分．19.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的

对角面面积为_______．【答案】92【解析】【分析】根据正四棱台的体积公式，梯形的面积公式，即可求解【详解】设该正四棱台的的高为h,则根据题意可得：()2212424283h++=，∴3h=，又易知对角面为上下底分别为22与42，且高为3h=的等腰梯形，∴该棱台的对角面面积为()1

22423922+=．故答案为：92.20.在三棱锥PAOB−中，24PBOA==，PA⊥平面AOB，OAOB⊥，45POA=，则OA与BP所成的角为__________.【答案】60##π3【解析】【分析】如图，以OA，

OB为邻边将AOB补成矩形OACB，连接CP，则PBC（或其补角）为OA与BP所成的角，由线面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAC，则BCPC⊥，所以cosBCPBCPB=，代入求解即可得出答案.【详解】如图，以OA，OB邻

边将AOB补成矩形OACB，连接CP，则PBC（或其补角）为OA与BP所成的角.由PA⊥平面AOB，BC平面AOB，得PABC⊥，又ACBC⊥，PAACA=，,PAAC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为PC平面PAC，所以BCP

C⊥.又21cos42BCPBCPB===，所以60PBC=.故OA与BP所成的角为60.故答案为：60.六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.在矩形ABCD中，2AB=，3BC=，E是AB的中点，F是BC边上的三等

分点（靠近点B），AF与DE交于点M.（1）设ABa=，ADb=，请用a，b表示AF和DE；为（2）求ME与MFuuuur夹角的余弦值.【答案】（1）13AFab=+，12DEab=−（2）210−【解析】【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可得解；（2）法一：利用平角向量的数量积

运算求得DE，AF，AFDE，从而得解；法二：建立直角坐标系，得到各点坐标，从而求得DE，AF，AFDE，由此得解.【小问1详解】依题意，作出图形如下，因为E是AB的中点，F是BC边上的三等分点（靠近点B），所以111333AFABBFABBCA

BADab=+=+=+=+，1122DEDAAEADABab=+=−+=−.【小问2详解】法一：依题意得，3,2,ADABADAB==⊥，1,1AEBF==，则0ab=，2,3ab==，所以2210DEADAE=+=，225AFAB

BF=+=，2211151132263AFDEababaabb=+−=−−=−，由于ME与MFuuuur的夹角等于DE与AF的夹角，所以DE与AF夹角的余弦值为1210105DEAFDEAF−==−，即ME与MFuuuur夹角的余

弦值为210−.法二：建立直角坐标系，如图，则(0,0)A，(2,0)B，(2,3)C，(0,3)D，(1,0)E，(2,1)F，故(2,1)AF=，5AF=，(1,3)DE=−，10DE=，则231AFDE=−=−，由于ME与MFuuuur的夹角等于DE与AF的夹角所

以DE与AF夹角的余弦值为1210105DEAFDEAF−==−，即ME与MFuuuur夹角的余弦值为210−.22.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，12AB=，O为1AB的中点，E、F在1AC上，1233EFAEFC==.（1）试在直线1AB上确定点P，使得对于1FC

上任一点D，恒有//PD平面AOE；（用文字描述点P位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知Q在直线1AA上，满足对于1FC上任一点D，恒有//QD平面AOE，P为（1）中确定的点，试求当1APQ△的面积最大时，二面角1PACQ−−的余弦值.【答案】（1）答

案见解析（2）77【解析】【分析】（1）延长OB至点P，使12BPOB=，点P即所求的点，然后证明出平面1//PCF平面AOE，利用面面平行的性质可得出结论；（2）分别延长1CF、1AA，所得交点即点Q，连接PQ，则二面角1PACQ−−即二面角1BACA−−，推导

出11258APQABASS=△△，可知，当1ABAS△最大时，1APQS△最大，利用基本不等式求出1ABAS△的最大值，及其等号成立的条件，分析可知1AAC△为等腰直角三角形，取AC的中点M，则BMAC⊥，在平面11AACA内过点M作1M

NAC⊥，垂足为N，连接BN，分析可知BNM为二面角1BACA−−的平面角，计算出BNM三边边长，即可求得BNM的余弦值，即为所求.【小问1详解】解：延长OB至点P，使12BPOB=，点P即所求的点，图

形如下：证明如下：连接PF、1PC，在正三棱柱111ABCABC-中，11//AACC且11AACC=，所以，11AAECCF=，又因为1AECF=，所以，11AAECCF△≌△，所以，11AEACFC=，则11AECCFA=，故1//CFAE，因为

1CFË平面AOE，AE平面AOE，所以，1//CF平面AOE，因为1233EFAEFC==，则123AEEF=，因为O为1AB的中点，12BPOB=，则13322OPOBOA==，故123OAOP=，所以，1123AEOAEFO

P==，所以，//PFOE，因PF平面AOE，OE平面AOE，所以，//PF平面AOE，又因为1CFPFF=，1CF、PF平面1PCF，所以，平面1//PCF平面AOE，当点D在线段1FC上运动时，P

D平面1PCF，故//PD平面AOE.【小问2详解】解：分别延长1CF、1AA，所得交点即点Q，连接PQ，则二面角1PACQ−−即二面角1BACA−−.因为Q、D直线1CF，且1//CFAE，则//QDA

E，因为QD平面AOE，AE平面AOE，所以，//QD平面AOE，合乎题意，因为1111125AACCCFAQAQAF===，且1125AOAP=，所以1111AAAOAQAP=，所以11APQAOA△∽△.所以111252548APQAOAABASSS==△△△，

所以当1ABAS△最大时，1APQS△最大.为由基本不等式可得1222111111122222ABAABAAABSABAA+===△，当且仅当12ABAA==时等号成立.此时2AC=，且1AAC△为等腰直角三角形.取AC的中点M，则BMAC⊥，在平面11AACA内过点M作1MNAC⊥，垂

足为N，连接BN.因为1AA⊥平面ABC，BM平面ABC，所以1BMAA⊥，又1ACAAA=，AC平面11AACC，1AA平面11AACC，所以BM⊥平面11AACC.因为1AC平面11AACC

，所以1BMAC⊥，又MNBMM=，MN平面BMN，BM平面BMN，所以1AC⊥平面BMN.因为BN平面BMN，所以1ACBN⊥.所以BNM为二面角1BACA−−的平面角.因为1222CMAC==，所以36sin60222BMBC==

=，221sin45222MNCM===，因为BM⊥平面11AACC，MN平面11AACC，则BMMN⊥，所以2222617222BNBMMN=+=+=，所以127cos277MNBNMBN===.即二面角1PACQ−−的余弦值为77.【点睛】方法点

睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的

大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.