【文档说明】《七年级数学下册期中期末考点大串讲(浙教版)》专题10 矩形的性质与判定（知识点串讲）（解析版）.docx，共(21)页，160.779 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题10矩形的性质与判定知识网络重难突破知识点一矩形的性质1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形2.性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相

等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．【典例1】（2019春•西湖区期末）如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．（1）判断∠CGH

与∠DFE是否相等，并说明理由；（2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由；②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数．【点拨】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，得到CG∥DF根据平行线的性质得到∠AGC＝∠AFD，∠AGH

＝∠AFE，于是得到∠CGH＝∠DFE；（2）①根据平行线的性质得到和角平分线的定义即可得到结论；2②由折叠的性质得到∠EFG＝∠1，根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．【解析】解：（1）∠CGH＝∠DFE，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC

，∴CG∥DF，∵GH∥EF，∴∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE，∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH，∠DFE＝∠DFA+∠AFE，∴∠CGH＝∠DFE；（2）①GH平分∠AGE；理由如下：∵GH∥EF，∴∠AGH＝∠AFE，∠HGE＝∠GEF，∵CE∥DF，∴∠1＝∠GEF，∴∠AGH＝

∠EGH，∴GH平分∠AGE；②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，∴∠EFG＝∠1，∵∠DFG＝52°，∴∠EFG＝64°，∵GH∥EF，∴∠AGH＝∠AFE＝64°，∵∠EGF＝∠DFG＝52°，∴∠HGE＝64°．3【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，正确

的识别图形是解题的关键．【变式训练】1．（2020•宁波模拟）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是（）A．4B．4.6C．4.8D．5【点拨】先根据矩形的性质和勾股定理求出BD＝10，再根据△ABD的面积的不同计算方法即可得出答案

．【解析】解：设点A到BD的距离为h，在矩形ABCD中，∴AB＝6，BC＝AD＝8，∴由勾股定理可知：BD＝10，∴h•BD＝AD•AB，∴h＝＝4.8，故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用勾股定理以及矩形的性质，本题属于基础题型．2．（2019

春•嘉兴期末）矩形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．邻边相等D．对角线相等【点拨】利用矩形的性质对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．【解析】解：A、矩形的对边相等，正确；B、矩形的对角相等，正确；

C、矩形的邻边不一定相等，错误；D、矩形的对角线相等，正确，故选：C．【点睛】考查了矩形的性质，了解矩形的所有性质是解答本题的关键，难度不大．3．（2019春•温州期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO＝55°，则∠AOD等于（）A．11

0°B．115°C．120°D．125°4【点拨】根据矩形的性质可得∠BAO＝∠ABO＝55°，再依据三角形外角性质可知∠AOD＝∠BAO+∠ABO＝55°+55°＝110°．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB．∴∠BAO＝∠ABO

＝55°．∴∠AOD＝∠BAO+∠ABO＝55°+55°＝110°．故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线互相平分且分成的四条线段都相等．4．（2019春•东阳市期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、C

D于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝5．则图中阴影部分的面积为10．【点拨】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解析】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CF

PN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×5＝5，∴S阴＝5+5＝10，故答案为10【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面

积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．知识点二矩形的判定矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.有三个角是直角的四边形是矩形；53.对角线相等的平行四边形是矩形.【典例2】（2018春•杭州期末）已知，如图，在△ABC中

，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF＝DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理

由．【点拨】（1）根据平行四边形的判定定理得出即可；（2）可证△AFE≌△DBE，得出AF＝BD，进而根据AF＝DC，得出D是BC中点的结论，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等

，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．【解析】（1）证明：∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF为矩形，理由是

：∵E是AD的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF＝BD．∵AF＝DC，∴BD＝DC．∵AB＝AC，∴AD⊥BC即∠ADC

＝90°．6∴平行四边形ADCF是矩形，即当AB＝AC时，四边形ADCF为矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键【变式训练】1．（2019春•温岭市期末）下列给出

的条件中不能判定一个四边形是矩形的是（）A．一组对边平行且相等，一个角是直角B．对角线互相平分且相等C．有三个角是直角D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等【点拨】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【解析】解：A、正确．一组对边平行且相等，

一个角是直角的四边形是矩形；B、正确．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；C、正确．有三个角是直角的四边形是矩形；D、错误．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等，等腰梯形满足此条件，不是矩形；故选：D

．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边

形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC＝BD，则正确的选法是（）A．①②B．①③C．②③D．以上都可以【点拨】根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可．【解析】解：当具备①③两个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：∵对角线AC、BD互相平分，∴四边形

ABCD为平行四边形．又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．故选：B．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．3．（2020•资兴市一模）如图，AC∥DB，且AC＝2DB，E是AC的中点．（1）求证：四边形BDEC是平行四边形；7（2）连接AD、

BE，直接写出△ABC添加一个什么条件使四边形DBEA是矩形？（不需说明理由）【点拨】（1）证出DB＝EC，即可得出结论；（2）先证四边形DBEA是平行四边形，再证AB＝DE，即可得出结论．【解析】（1）证明：∵E是AC中点，∴AC＝2EC．∵AC＝2DB，∴

DB＝EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．（2）解：添加AB＝BC，理由如下：连接AD、BE，如图，∵DB∥AE，DB＝AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE．∴四边形DBEA是矩形．【点睛】本题

考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．4．（2020•徐汇区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF

＝DH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．8【点拨】（1）利用全等三角形的性质可得EF＝HG，EH＝FG，可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，可求∠FEH＝90°，可得结论．【

解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG，同理可得EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AB＝BC，BE＝BF∴AB＝

BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，

全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．9知识点三矩形的性质与判定综合【典例3】（2020•温州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF．（1）求证：平

行四边形ABCD是矩形．（2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长．【点拨】（1）根据垂直的定义得到∠BEO＝∠CFO，根据全等三角形的性质得到OB＝OC，根据平行四边形的性质得到＝OC，OB＝OD，求得AC＝BD，于是得到结论；（2）根据矩形的性质和勾股定理即可得到

结论．【解析】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°，∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF，∴△BOE≌△COF（AAS），∴OB＝OC，∵四边形BCD是平行四边形，∴OA＝OC，

OB＝OD，∴AO＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵OD＝13，∴OB＝OC＝OD＝13，∵CF＝12，∴OF＝＝＝5，∴BF＝OB+OF＝18．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，

平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．10【变式训练】1．（2020•北京一模）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠AB

C＝60°，BF平分∠ABC，求AD的长．【点拨】（1）根据平行四边形的下载得到BC＝AD，BC∥AD，求得ECAF，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）解直角三角形得到BE＝2，AE＝，根据矩形的性质得到FC⊥BC，FC＝AE＝．

由角平分线的定义得到∠FBC＝∠ABC＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，∴EC＝AF，∴

四边形AECF为平行四边形，又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝4，∴BE＝2，AE＝，∵四边形AECF是矩形，∴FC⊥BC，FC＝AE＝．∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABC＝30°，在Rt△BCF中，∠FC

B＝90°，∠FBC＝30°，FC＝，∴BC＝6，∴AD＝BC＝6．11【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．2．（2020•萧山区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，

∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．【点拨】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形A

BCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题；（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题；【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边

形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，12∴BF＝FC，∴OF＝CD＝1，∵DE平分∠

ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．3．（2019春•香坊区校级期中）四

边形ABCD是平行四边形，∠A＝∠B．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝AB，求∠ACB的度数；（3）在（2）的条件下，点E，F分别在AB，AD上，且CE＝CF，∠ECF＝30°，AC＝4，求2AE﹣FD的值．【点拨】（1）如图1中，根据平行

四边形的性质得到AD∥BC，求得∠A＝∠B＝90°，于是得到四边形ABCD是矩形；（2）如图2中，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图3中，作FH⊥AC于H，根据全等三角形的性质得到BE＝FH，根据直角三角形的性质得到AE+AF＝AE+FH＝AE+BE＝AB，求得AB＝AC＝2，于是得到

结论．【解析】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，13∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：如图2中，在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°；（3）解：如图3中，作FH⊥AC于

H．∵∠ACB＝∠ECF＝30°，∴∠BCE＝∠FCH，∵CE＝CF，∠B＝∠FHC＝90°，∴△BCE≌△HCF，∴BE＝FH，在Rt△AFH中，∵∠FAH＝30°，∴FH＝AF，∴AE+AF＝AE+FH＝AE+B

E＝AB，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC＝2，14∴AE+AF＝2，∴2AE+AF＝4，∴AF＝4﹣2AE，∴DF＝AD﹣AF＝2﹣（4﹣2AE），∴2AE﹣FD＝4﹣2．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、全

等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．巩固训练1．（2019春•海曙区期末）如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知AB＝5，OE＝6，则AC的长为（）A．10B．11C．12D．13【点拨

】首先利用三角形的中位线定理求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△ABC的中位线，∵OE＝6，∴BC＝2OE＝12，∵AB＝5，∴AC＝＝13，故选：D．【点睛】考查了矩形的性质，了解矩形的性质是解答本题

的关键，难度不大．152．（2018秋•江东区校级月考）已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是（）A．AC＝BDB．AB＝BCC．AC与BD互相平分D．AC⊥BD【点拨】由矩形的判定可求解．【解析】

解：∵有一个直角的平行四边形是矩形，∴只要四边形ABCD是平行四边形，即可判定四边形ABCD是矩形，∴添加AC与BD互相平分故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键．3．（2019春•柘城县期末

）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数等于75°．【点拨】由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB＝OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根

据平行线的性质和等角对等边得到OB＝BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵

AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，16∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB

＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故答案为75°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OB

C的度数和求OB＝BE．4．（2019秋•朝阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，

则线段MN的最小值为．【点拨】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝

10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴

MN的最小值为；故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟17练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2020春•鄂州期中）如图，△ABC中，

点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；【点拨】（1）利用平行线的性质得：∠OEC＝∠ECB，根据角平分线

的定义可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得结论；（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；【解析】解：（1）OE＝OF，理由如下：∵

MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∴∠OEC＝∠ACE，∴OE＝OC，同理可得：OC＝OF，∴OE＝OF；（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF（已证），∴四边形AECF是平行四边形

，∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，18∴∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、

平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握并区分平行四边形、矩形、正方形的判定是解题关键．6．（2019春•西湖区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N是AD边上的点，BM，CN交于点O，AN＝DM，BM＝CN．（1）求证：平行

四边形ABCD是矩形．（2）若∠BOC＝90°，MN＝1，AM•MD＝12，求矩形ABCD的面积．【点拨】（1）先由平行四边形的性质得出∠A+∠D＝180°，再证明△ABM≌△DCN得出∠A＝∠D，证出∠A＝∠D＝90°，即可得出结论；（2）证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB＝AM，求出AM＝

4，MD＝3，得出AB＝AM＝4，AD＝AM+MD＝7，即可得出结果．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，AD∥BC，∴∠A+∠D＝180°，∵AN＝DM，∴AM＝DN，在△ABM和△DCN中，，∴△ABM≌△DCN（SSS）

，∴∠A＝∠D，∵∠A+∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．19（2）解：∴△ABM≌△DCN，∴∠AMB＝∠DNC，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠OBC，∠DNC＝∠OCB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∴AMB＝

∠OBC＝45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB＝AM，∵AM•MD＝12，AN＝DM，∴AM（AM﹣1）＝12，解得：AM＝4，或AM＝﹣3（舍去），∴AB＝AM＝4，MD＝3，∴AD＝AM+MD＝7，∴矩形ABCD的面积＝AD×AB＝7×4＝

28．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．7．（2019•福田区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长

DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．（1）求证：四边形AEBC是矩形；（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．【点拨】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD

＝BC，推出四边形AEBC是平行四边形，求得∠CAE＝90°，于是得到四边形AEBC是矩形；20（2）根据三角形的内角和得到∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，推出△AOE是等边三角形，得到AE＝EO，求得∠GOF＝∠GAF＝30°，根据直角三角

形的性质得到OG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DA＝AE，∴AE＝BC，AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵AC⊥AD，

∴∠DAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴四边形AEBC是矩形；（2）∵EG⊥AB，∴∠AFG＝90°，∵∠CAB＝30°，∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，∵四边形AEBC是矩形，∴OA＝OC＝

OB＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE＝EO，∴AF＝OF，∴AG＝OG，∴∠GOF＝∠GAF＝30°，∴∠CGO＝60°，∴∠COG＝90°，∵OC＝OA＝AB＝3，∴OG＝，∴△OGC的面积＝×3×＝．21【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性

质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．