【文档说明】江西省南昌市新建区第一中学2021学年高一上期末考试数学（理）试题 含答案.doc，共(4)页，553.500 KB，由小赞的店铺上传

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新建一中2020—2021学年度第一学期期末考试高二数学（理）试卷命题人：审题人：总分值：150分考试时间：120分钟温馨提示：此次考试卷面分为5分说明：1.书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分2.书写有涂改或主观题未完成的，根据情况扣（1—5）分一、选

择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数iiz+−=31（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.“0m”是“不等式02+−mxx在R上恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件3.用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设（）A.1−=x或1xB.1−x或1=xC.1−x或1xD.1−x且1x4.由曲线1yx=

，直线1x=，2x=和x轴所围成平面图形的面积为（）A.12B.ln2C.1D.2ln25.下列求导运算中错误的是()A.3ln3)3(xx=B.2ln1)ln(xxxx−=C.211)1(xxx+=+D.xxx2cos)cos(sin=

6.双曲线)0,0(12222=−babyax的离心率为5，则其渐近线方程为（）A.xy2=B.xy21=C.xy4=D.xy5=7.已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导函数)(xf的图象如图，则下列结论正确的是()A.a，c分别是极大值点和极小值点B.b，c分别是极

大值点和极小值点C.f(x)在区间(a，c)上是增函数D.f(x)在区间(b，c)上是减函数8.已知函数f(x)＝2lnx＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)在]3,21[的最大值为()A.25−B.293ln2−C.1−D.42

ln2−9.已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx(a＞0)，若函数f(x)在[1,2]上单调递减，则a的取值范围是()A.),52[+B.]52,0(C.]1,0(D.),1[+10.定义在),0[+的函

数)(xf，对任意0x，恒有)()(xfxf，efa)1(=，2)2(efb=，则a与b的大小关系为（）A.baB.baC.ba=D.无法确定11.已知斜率为)0(kk的直线l与抛物线xyC4:2=交于BA

,两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F是C的焦点，OFM的面积等于3，则=k()A.41B.31C.21D.36212.若函数axaexfx2)(−−=有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.),1(+B.),2(+C.),0

(+D.),1(+−二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数)(xf的导函数为)(xf，且满足关系式)2(3)(2fxxxf+=,则)2(f的值等于_______.14.已知

)(xf满足(4)(3)1,()fffx=−=为其导函数，且导函数()yfx=的图象如图所示，则()1fx的解集是_________.15.点P是曲线2lnyxxx=+−上任意一点，则点P到直线220xy−−=的最短距离为_________

.16.设F是椭圆)0(1:2222=+babyaxC的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆9222ayx=+与线段PF交于A,B两点，若A,B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤。17.（10分）已知函数xxxf3)(3−=.（1）求曲线)(xfy=在))1(,1(f处的切线方程；（2）求曲线)(xfy=过点)6,2(−的切线方程.18.（11分+1分）已知函数cxxxxf+−+=23)(.（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）若函数f(x

)有三个零点，求实数c的取值范围.19.（11分+1分）已知过点)0,(mP的直线l的参数方程是=+=tytmx2123（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标

方程为cos2=.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C交于A，B两点，且2=PBPA，求实数m的值.20.（11分+1分）已知函数()xfxeax=−（1）讨论)(xf的单调性；（2）当1−=a，若关于x的不等式()fxmx在),0(+上恒成立，求实数m

的取值范围.21.（11分+1分）已知长轴长为22的椭圆)0(1:2222=+babyaxC过点)22,1(P,点F是椭圆C的右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在x轴上的定点D,使得过点D的直线l交椭圆C于BA,两点，设E为点B关于x轴的对称点，且EFA,,三点共

线？若存在，求D点坐标；若不存在，说明理由.22.（11分+1分）设函数()(1)ln(1)fxxxx=−++（1）若方程()fxt=在1,12−上有两个实数解，求t的取值范围；（2）证明：当0mn时，(1)(1)nmmn++.新建一中2020—2

021学年度第一学期期末考试高二数学（理）试卷答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案DBDBCACBDABC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.2−14.)4,3(−15.

25516.517三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解：(1)由已知得33)(2−=xxf,则0)1(=f所以切线斜率0=k，又切点坐标为)2,1(−，所以切线方程为02=+y，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切

线方程为02=+y.(2)由已知得33)(2−=xxf，设切点为)3,(0300xxx−,则33263200030−=−+−xxxx，即0622030=−xx，得00=x或3，所以切线方程为03=+y

x或05424=−−yx18.解：(1)cxxxxf+−+=23)(，则f′(x)＝3x2＋2x－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>13，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和),31(+.

（2）由（1）知，)(xf在1−=x取得极大值c+1，在31=x取得极小值c+−275函数f(x)有三个零点，+−+027501cc解得2751−c实数c的取值范围)275,1(

−19.解(1)消去参数t，可得直线l的普通方程为x＝3y＋m，即x－3y－m＝0.因为ρ＝2cosθ，所以ρ2＝2ρcosθ.可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即x2－2x＋y2＝0.(2)把x＝m

＋32t，y＝12t代入x2－2x＋y2＝0，得t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0.由Δ>0，得－1<m<3.设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1·t2＝m2－2m.因为|PA|·|PB|＝|t1·t2

|＝2，所以m2－2m＝±2，解得m＝1±3.因为－1<m<3，所以m＝1±3.20.解：（1）aexfx−=)(当0a时，则0)(xf在),(+−上恒成立，所以)(xf在),(+−上单调递增。当0a时

，由0)(xf，得axln,由0)(xf，得,lnax所以)(xf在)ln,(a−上单调递减，在),(ln+a上单调递增。(2)由题意知mxxex+在),0(+上恒成立，即1+xemx恒成立令1)(+=xexgx)0(x

，则2)1()(xexxgx−=当10x时，则0)(xg；当1x时，则0)(xg。所以)(xg在)1,0(上单调递减，在),1+（上单调递增。则)(xg在1=x时取得极小值1+e，也是最小值

所以实数m的取值范围为]1,(+−e21.解(1)因为222=a，所以2=a，将点)22,1(P代入12222=+byax，得1=b，所以椭圆C的方程为1222=+yx.(2)存在点)0,2(D满足条件.设)0,(tD，直线l方程为tmyx+=，),(11yxA，),(22yxB,则),(2

2yxE−联立=++=1222yxtmyx，消去x，得022)2(222=−+++tmtyym22221+−=+mmtyy，222221+−=mtyy且0，由EFA,,三点共线，得0)1()1(2112=−+−yxyx，所以0))(1(22121=+−+yytymy，所以0)2

2()1(222222=+−−++−mmttmtm解得2=t.22.解：（1）由()(1)ln(1)fxxxx=−++，定义域为()1,−+，()ln(1)fxx=−+，()ln(1)00fxxx=−+==，当021−x时，()

()0,fxfx单调递增，当01x时，()()0,fxfx单调递减，则()fx在1[,0]2−上单调递增，在(0,1上单调递减，又111(0)0,(1)1ln4,()ln2222fff==−−=−+，135(1)()ln20,222ff−−=−.)21()1(f

f∴当11[ln2,0)22t−+时，方程()fxt=有两解.（2）∵0mn.∴要证：(1)(1)nmmn++只需证ln(1)ln(1)nmmn++，只需证：ln(1)ln(1)mnmn++.设ln(1)(),(0)xgxxx+=，则22ln

(1)(1)ln(1)1()(1)xxxxxxgxxxx−+−+++=+=.由（1）知()(1)ln(1)fxxxx=−++在(0,)+单调递减，又()00f=，∴(1)ln(1)0xxx−++，即()gx是减函数，而mn.∴()()gmgn，故原不等式成立.