【文档说明】宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第四次月考 理数答案.docx，共(21)页，1.434 MB，由小赞的店铺上传

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银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}Axx=∣，104xBxx+=−，则AB=（）A.1,4−B.)

1,5−C.(0,4D.()0,4【答案】D【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104xx+−，则等价于()()1404xxx+−，解

得14x−，所以14Bxx=−，由05Axx=，则04ABxx=.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数

，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZaa=，所以对应复数为()i0aa，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323【答案】D公众号：全元高考【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观

图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥EABCD−，该几何体的高为EF，且4EF=，所以该几何体的体积为13224433EABCDV−==，故选：D

.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2

）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足3cos5=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.202cmC.203cmD.30cm【答案】D【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求

得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为()2210555cm+=.设截得的四边形木板为ABCD，设A=，ABc=，BDa=，ADb=，BCn=，CDm=，如下图所示.由3cos5=且0π可得24sin1cos5=-=，在ABD

△中，由正弦定理得55sina=，解得45a=.公众号：全元高考在ABD△中，由余弦定理，得2222cosabcbc=+−，所以，()()()()222222616168055545bcbcbcbcbcbcbc++=+−=+−+−=，即()2400bc+，可

得020bc+，当且仅当10bc==时等号成立.在BCD△中，πBCD=−，由余弦定理可得()222226802cosπ5amnmnmnmn==+−−=++()()()()22224445545mnmnmnmnmn++=+−+−=，

即()2100mn+，即010mn+，当且仅当5mn==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm.故选：D.5.若13，24−，则−的取值范围是（）A.31−−B.33−−C.03−D.35−−【答案】B【解析】【分析】利

用不等式的性质求解.【详解】∵24−，∴04，40−−，又13，∴33−−，故选：B.6.已知向量(1,1)a=，(,1)bx=−则“()abb+⊥”是“0x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】

【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x=或=1x−，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a=，(,1)bx=−，可得(1,0)abx+=+rr，若()abb+⊥，可得()(1)0abbxx

+=+=，解得0x=或=1x−，所以()abb+⊥是0x=的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以

正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π83−B.8π123−C.16π83−D.16π43−【答案】A【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进

而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin4323=，圆弧的长度为π4π433l==，故一个弓形的面积为18π4434323l−=−，故“莱洛三角形”的面积为8π343438π833−+=−.

故选：A8.若数列na满足11a=，1121nnaa+=+，则9a=（）A.10121−B.9121−C.1021−D.921−【答案】B【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11na+是等比数列，即可得到数列na

的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a=，1121nnaa+=+，所以111121nnaa++=+，又1112a+=，所以数列11na+是首项为2，公比为2的等比数列，所以112nna+=，即121nna=−，所以99121

a=−.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，2NBAN=，2CMMD=，2AB=，3BC=，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）A.33010B.34C.35D.33020【答案】D【解析】【分析】作出异面直线AM与CN

所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DMCMANBNBM，设BMCNP=，则P是BM的中点，设Q是AB的中点，连接PQ，则//PQAM，则NPQ是异面直线AM与CN所成角或其补角.由于2NBAN=，2CMDM=，所以ππ,3

6BANNBA==，由于2AB=，而AB是圆柱底面圆的直径，则ANBN⊥，所以1,3ANBN==，则1101910,22AMPQAM=+===，13923,32CNPNCN=+===，而1QN=，在三角形PQN中，由余弦定理得10103131330

44cos201010232322NPQ+−+−===.故选：D10.已知nS是等差数列na的前n项和，且70a，690aa+则（）A.数列na为递增数列B.80aC.nS的最大值为8

SD.140S【答案】B【解析】【分析】由70a且78690aaaa+=+，所以80a，所以公差870daa=−，所以17n时0na，8n时0na，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a且78690aaaa+=+，所以80a，故B正确；所以公差870daa=

−，数列na为递减数列，A错误；由0d，70a，80a，所以17n，0na，8n时，0na，nS的最大值为7S，故C错误；114147814()7()02aaSaa+==+，故D错误.故选：B11.银川

一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四

个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD=，1ED=，若鳖臑PADE−的外接球的体积为7143，则阳马PABCD−的外接球的表面积等于（）A.15B.16

C.17D.18【答案】C【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA⊥平面ABCE，ADDE⊥,故可以构造长方体ADEFPQRS−,

易得：长方体ADEFPQRS−的外接球即鳖臑PADE−的外接球，设球的半径为1R，PAx=，由22221=52PEPAADDExR++=+=，且314714π33R=,解得:172R=,3.x=又因四边形ABCD为正方形，阳马PABCD−的外接球即以,,PAABAD

为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R，则有2222172PAABADR++==,解得：217,2R=故阳马PABCD−的外接球的表面积为222174π4π()17π.2R==故选：C.12.若曲线lnyx=与曲线22(0)yxxax=++有公切线，则实数a

的取值范围是（）A.(ln21,)−−+B.[ln21,)−−+C.(ln21,)−++D.[ln21,)−++【答案】A【解析】【分析】设公切线与函数()lnfxx=切于点111(,ln)(0)Axxx，设公切线与函数2()2(0)gxxxax=++切于点22222(,2)(0)B

xxxax++，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln1xxxax=+−=−，消去1x，得222ln(22)1axx=−+−，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()lnfxx=切于点111(,ln)(0)Axxx，由()lnfxx=

，得1()fxx=，所以公切线的斜率为11x，所以公切线方程为1111ln()−=−yxxxx，化简得111(ln1)yxxx=+−，设公切线与函数2()2(0)gxxxax=++切于点22222(,2)(0)Bxxxax++，由2()2(0

)gxxxax=++，得()22gxx=+，则公切线的斜率为222x+，所以公切线方程为22222(2)(22)()yxxaxxx−++=+−，化简得2222(1)yxxxa=+−+，所以21212122ln1

xxxax=+−=−，消去1x，得222ln(22)1axx=−+−，由1>0x，得210x−，令2()ln(22)1(10)Fxxxx=−+−−，则1()201Fxxx=−+，所以()Fx在(1,0)−上递减，所以()(0)ln21FxF=−−，所以由题意得ln21a−

−，即实数a取值范围是(ln21,)−−+，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

，共20分.13.若实数,xy满足约束条件4,2,4,xyxyy+−则2zxy=−+的最大值为________．【答案】4的【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影

部分所示：易知目标函数2zxy=−+可化为2yxz=+，若要求目标函数z的最大值，即求出2yxz=+在y轴上的最大截距即可，易知当2yx=（图中虚线所示）平移到过点A时，截距最大，显然()0,4A，则max4z=，所以

2zxy=−+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()fx满足()()()422fxfxf+=+，则()2022f=__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然

后计算即可．【详解】令2x=−，则()()()2222fff=−+，又()()22ff−=，所以()20f=，于是()()()422fxfxf+=+化为：()()4fxfx+=，所以()fx的周期4T=，所以()()()20225054220fff=+==．故答案为：0.15.在ABC

中，已知3AB=，4AC=，3BC=，则BAAC的值为________.【答案】8−【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos=−=−uuruuuruuuruuuruuuruuu

rBAACABACABACA22222291698222+−+−+−=−=−=−=−ABACBCABACBCABACABAC，即8BAAC=−.故答案为：8−.16.将函数sinyx=的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)倍，纵坐标不变，

得到函数()fx，已知函数()fx在区间π3π,24上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】150,,332【解析】【分析】根据函数图像平移

变换，写出函数()yfx=的解析式，再由函数()yfx=在区间π3π,24上单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可【详解】将函数sinyx=的图象向左平移π4个单位长度得到πsin4yx=+的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)

倍（纵坐标不变），得到函数()πsin4yfxx==+图象，函数()yfx=在区间π3π,24上单调递增，所以3ππ242T−，即ππ4，解得04，①又πππ3ππ24444x+++，所以πππ2π2423πππ2π442kk

+−+++，解得3184233kk−++，②由①②可得150,,332，的故答案:150,,332.三、解答题：共70

分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别是1AA，11CD的中点，过D，M，N三点的平面

与正方体的下底面1111DCBA相交于直线l．（1）画出直线l的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥DMNA−的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a【解析】【分析】（1）延长DM与11

DA的延长线交于E，连接NE即为所求；（2）根据DMNANDAMVV−−=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE即为所求：为依据如下：延长DM交11DA的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．11EDMDA，EDM平面DMN，11EDA平面1111DC

BA，E平面DMN平面1111DCBA，又由题意显然有N平面DMN平面1111DCBA，EN平面DMN平面1111DCBA，则NE即为直线l的位置．【小问2详解】因为DMNANDAMVV−−=，

所以3111112332224DMNADAMaaaVNDSa−===.18.已知数列na是等比数列，满足13a=，424a=，数列nb满足14b=，422b=，设nnncab=−，且nc是等差数列.（1）求数列na和nc通项公式

；（2）求nb的通项公式和前n项和nT.【答案】18.13?2nna−=，2ncn=−19.1322nnbn−=+−，21332322=−+−nnTnn【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先

写出数列nb的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列na的公比为q，因为13a=，34124aaq==，所以2q=，即132nna−=，设等差数列nc公差为d，因为1111cab=−=−

，444132cabcd=−=+=，所以1d=，即2ncn=−.【小问2详解】的因为nnncab=−，所以nnnbac=−,由（1）可得1322nnbn−=+−，设nb前n项和为nT，()()131242212−=+++++−+++nnTnn2123212

2nnnn−+=+−−21332322nnn=−+−.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD，30mAB=，15mAD=，有关部门划定了以D为圆心，AD为半径的四分之一圆的地块为

古树保护区.若排污管道的入口为AB边上的点E，出口为CD边上的点F，施工要求EF与古树保护区边界相切，EF右侧的四边形BCFE将作为绿地保护生态区.（31.732，长度精确到0.1m，面积精确到20.01m）（1）若30ADE=，求EF的长；（2）当

入口E在AB上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）53AE=，最大面积为2255.15m【解析】【分析】（1）根据DHHE⊥得RtRtDHEDAE，然后利用锐角三角函数求出EF即可；（2）设ADE

=，结合锐角三角函数定义可表示,AEHF，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H，连结DH，如图.15DHDA==，DAAE⊥，DHHE⊥，RtRtDHEDAE△

△；30HDEADEHDF===；15tan3015tan3017.3mEFEHHF=+=+.【小问2详解】设ADE=，则902EDH=−，15tanAE=，()15tan902HF=−

.()1111515tan1515tan1515tan902222ADEDHEDHFAEFDSSSS=+=+++−△△△梯形2225111tan31225tan225tan225tan2tan222tan44tan

−=+=+=+225122533tan4tan2=+，当且仅当3tan3=，即30=时，等号成立，225330152ABCDBCFEAEFDSSS=−=−梯形梯形矩形，15tan5

3AE==时，生态区即梯形BCEF的面积最大，最大面积为22253450255.15m2−.20.已知向量()π2cos,cos21,sin,16axxbx=+=+−.设函数()1,R2fxabx=+.（1）求函数()fx的解析式及其单

调递增区间；（2）将()fx图象向左平移π4个单位长度得到()gx图象，若方程()21gxn−=在π0,2x上有两个不同的解12,xx，求实数n的取值范围，并求()12sin2xx+的值.【答案】（1

）()πsin26fxx=−，()πππ,π,Z63kkk−++（2）实数n的取值范围是)31,1−，()123sin22xx+=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（

2）利用函数的平移求出()gx的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π13112cossincos212cossincoscos2262222fxabxxxxxxx=+=+−−+=+

−−213cos2113sincoscoscos2=sin2cos22222xxxxxxx+=+−−+−−31πsin2cos2sin2226xxx=−=−()πsin26fxx=−.由πππ2π22π,Z262kxkk−+−

+，可得ππππ,Z63kxkk−++，函数()fx的单调增区间为()πππ,π,Z63kkk−++.【小问2详解】()ππππsin2sin24463gxfxxx=+=+−=+

，πππ2π22π,Z232kxkk−+++，得5ππππ,Z1212kxkk−++，()πsin23gxx=+在区间()5πππ,πZ1212kkk−++上单调递增

，同理可求得()πsin23gxx=+在区间()π7ππ,πZ1212kkk++上单调递减，且()gx的图象关于直线ππ,Z122kxk=+对称，方程()21gxn−=，即()12ngx+=，当π0,2x时，方程(

)12ngx+=有两个不同的解12,xx，由()gx单调性知，()gx在区间π0,12上单调递增，在区间π12π,2上单调递减，且()3πππ30,1,,261222gggg=

===−故当31122n+时，方程()12ngx+=有两个不同的解12,,xx311n−，实数n的取值范围是)31,1−.又()gx的图象关于直线π12x=对称，12π212xx+

=，即()1212π3,sin262xxxx+=+=.21.已知函数()ln1,Rfxxaxa=−+.（1）若0x，使得()0fx成立，求实数a的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N,e,e112233kkkkk+++++

++++为自然对数的底数.【答案】（1）1a；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0fx，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln1(1)xx

x−，令221(N)xkkkkk++=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln1fxxax=−+，则不等式()ln10ln1xfxaxxax++，令ln1()xgxx+=，求导得2l

n()xgxx=−，当(0,1)x时，()0gx，函数()gx递增，当(1,)x+时，()0gx，函数()gx递减，因此当1x=时，max()1gx=，依题意，1a，所以实数a的取值范围是1a.【小问2详解】由（1）知，当1x

时，()(1)gxg，即当1x时，ln1xx−，而当Nk时，222111111()11kkkkkkkk++=+=+−+++，因此2211111ln1()111kkkkkkkk+++−−=−+++，于是222222221223341lnlnlnln11223

3kkkk+++++++++++++11111111(1)()()()112233411kkk−+−+−++−=−++，即有222222221223341ln()1112233kkkk+++++++++，所以2222222212233

41e112233kkkk+++++++++.【点睛】结论点睛：函数()yfx=的定义区间为D，(1)若xD，总有()mfx成立，则min()mfx；(2)若xD，总有()mfx成立，

则max()mfx；(3)若xD，使得()mfx成立，则max()mfx；(4)若xD，使得()mfx成立，则min()mfx.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修

4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为33xttytt=+=−（t为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()2π3=R．（1）求C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若点P是C上的一

点，求点P到直线l的距离的最小值．【答案】（1）C的普通方程2212xy−=；直线l的直角坐标方程30xy+=（2）6【解析】【分析】（1）利用消参法求C的普通方程，根据极坐标可知直线l表示过坐标原点O，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直

线方程；（2）设33,Ptttt+−，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C的参数方程为33xttytt=+=−（t为参数），两式平方相减得22223312xyt

ttt−=+−−=，即C的普通方程2212xy−=；又因为直线l的极坐标方程为()2π3=R，表示过坐标原点O，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan33k==−，所以直线l的直角坐标

方程3yx=−，即30xy+=.【小问2详解】由题意可设33,Ptttt+−，设点33,Ptttt+−到直线l：30xy+=距离为d，则()()()()()2233133133313132231ttttttttd−−+

+++++−===+()()33123162tt−+=，当且仅当()()33131tt−+=，即()2323t=−时，等号成立，所以点P到直线l的距离的最小值6.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22fxxx=−

++.的（1）求不等式()24fxx+的解集；（2）若()fx的最小值为k，且实数,,abc，满足()abck+=，求证：22228abc++.【答案】（1）(,0]−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x−、22x−和2x三种情况解不等式，综合可得

出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()fx的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2xxfxxxxxx−−=−++=−，①当<2x−时，不等式

即为224xx−+，解得1x−，所以<2x−；②当22x−时，不等式即为424x+，解得0x，所以20x−；③当2x时，不等式即为224xx+，无解，即x；综上所示：不等式()24fxx+的解集为(,0]−.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()

22(2)(2)4=−++−−+=fxxxxx，当且仅当22x−时，等号成立，所以()fx取最小值4，即4k=，可得()4+=abc，即4abac+=，所以()()22222222228abcabacabac++=++++=当且仅

当22224abacabbc+===，即2abc===时，等号成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com