【文档说明】宁夏回族自治区银川一中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(16)页，676.365 KB，由小赞的店铺上传

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银川一中2021/2022学年度（下）高一期中考试数学试卷一、选择题：每小题5分，满分60分．1.与2022°终边相同的角是（）A.112−B.72−C.222°D.142°【答案】C【解析】【分析

】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.【详解】∵2022°＝360°×5＋222°，∴与2022°终边相同的角是222°.故选：C.2.已知第二象限角的终边上一点()sin,tanP，则角的终边在A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四

象限【答案】C【解析】【分析】根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin0,tan0,再判断角的象限即可.【详解】因为点()sin,tanP在第二象限，所以有sin0,tan0,所以

是第三象限角.故选：C【点睛】本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题.3.在四边形ABCD中，若0,0ABCDACBD+==，则四边形为（）A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.菱形【答案】D【解析】【分析】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义

去判断四边形的形状.【详解】由0ABCD+=，可得ABDC=，即//ABCD，则四边形ABCD为平行四边形；又由0ACBD=，可得ACBD⊥，则平行四边形四边形ABCD为菱形故选：D.4.22π3πcoscos88−=（）A.22−B.2

2C.-1D.1【答案】B【解析】【分析】由诱导公式和余弦的二倍角公式计算．详解】2222π3ππππ2coscoscossincos888842−=−==．故选：B．5.已知||||1ab==，向量a与b的夹角为60，则|34|a

b−=（）A.5B.13C.32D.13【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积去求|34|ab−的值.详解】()222221|34|3491624911612411132abababab−=−=+−=+−=故选：D6.函数()tan214fxx

=−−的定义域为（）A.3,48xkxkkZ++B.,44xkxkkZ−+C.3,2428kkxxkZ++D.,2424kkxxkZ

−+【答案】C【解析】【分析】利用关于正切型函数的不等式去求函数()tan214fxx=−−的定义域【详解】由πtan(2)14x-?，可得ππππ2π442kxk+?<+，则π3πππ2428kkx+?+【【则函数()tan214fxx=−−

的定义域为3,2428kkxxkZ++故选：C7.已知23PAPBtPC=+，若A、B、C三点共线，则||||ABAC为（）A.12B.13C.23D.2【答案】A【解析】【分析】先求得t的值，再去求||||ABAC的值【详解】由23PAPBtPC=+，若A、B、C三

点共线，可得213t+=，则13t=则2133PAPBPC=+，()1133BAPAPBPCPBBC=−=−=，()2233PCPAPCAPCBBC=−=−=，则||||12||||ABBAACAC==故选

：A8.若,,2,且25sin5=,()10sin10−=−,则sin=A.7210B.22C.12D.110【答案】B【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．【详解】β＝α-(α﹣β)，∵2＜απ＜，2＜βπ＜，π−−＜

β＜2−，∴2−＜αβ2−＜，∵sin（αβ−）1010=−＜0，∴αβ2−−＜＜0，则cos（αβ−）()2210903101αβ1()1010010sin=−−=−−==，∵sinα255=，∴cosα22255511()5255sin=−−=−−=−=−，则s

inβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）2531055105=−−（1010−）30252252250502−===，故选B【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决

本题的关键，是基础题9.化简1111cos22222++3()2的结果为（）A.sin2B.sin2−C.cos2D.cos2−【答案】A【解析】【分析】利用给定角的范围确定出cos与sin2的正负，再利用二倍角的余弦公式化

简变形即得.【详解】因32，则cos0，且3224，即有sin02，所以2211111111cos2coscos(2)sinsin22222222222++=+=−==.故选：A10.已知,,ABC是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足：1112

322OPOAOBOC=++，则P一定为ABC的A.重心B.AB边中线的三等分点（非重心）C.AB边中线的中点D.AB边的中点【答案】B【解析】【详解】如图所示：设AB的中点是E，O是三角形ABC的重心，()1111223223OPOAOBOCOEOC=++=+2

EOOC=()143OPEOOEEO=+=P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心故选B11.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底

与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，512BCAC−=.根据这些信息，可得cos216=（）A.4

58+B.514+−C.358+−D.1254−【答案】B【解析】【分析】先求出72ACB=，51cos4ACB−=，再根据二倍角余弦公式求出cos36，然后根据诱导公式求出cos216．【详解】由题意可得：72ACB=，且1512co

s4BCACBAC−==，251cos722cos3614−=−=，解得：225351cos3684++==，解得：51cos364+=，()51cos216cos18036cos364+=+=−=−故选：B12.已知函数()222sincossin(0)24

xfxxx=−−在区间2π5π,36−上是增函数，且在区间0,π上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）A.30,5B.13,25C.15,22D

.50,2【答案】B【解析】【分析】先化简函数()fx的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.详解】222ππ()2sincossinsin2cossin2424xxfxxxxx=−−=−−

πsincos1sinsin(sin1sin)sin2xxxxxxx=−+−=+−=由π2π2xk=+，可得π2π,Z2kxk=+由()fx在区间0,π上恰好取得一次最大值，可得π0π2π2ππ2+，解之得1522

【又()fx在区间2π5π,36−上是增函数，则5ππ622ππ32−−，解之得35综上，的取值范围是1325故选：B二．填空题：每题5分，共20分.13.已知扇形

的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为_____2cm.【答案】4【解析】【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r＝2，l＝4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则282lrlr+==解得r＝2，l

＝4由扇形面积公式可得扇形面积S12=lr12=2×4＝4故答案为4【点睛】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．14.已知2sin()3+=，1sin()3−=，则tant

an的值为_______．【答案】3【解析】【分析】由两角和差的正弦公式，即可得出结果.【详解】由题可得21sincoscossinsincos3211cossinsincoscossin63+===−=所以1

sincostan231cossintan6===故答案为：315.已知当0xx=时函数()sin2cosfxxx=+取得最大值，则0sinx=__________.【答案】55##155【解析】【分析】12cos,sin55

==，为锐角，由两角和的正弦公式变形函数式，利用正弦函数的最大值可得结论．【详解】12()5(sincos)55fxxx=+，令12cos,sin55==，为锐角，则()5sin()fxx=+，0(

)fx是最大值，所以05sin()5x+=，0sin()1x+=，0π2π,2xkkZ+=+，0π2π2xk=+−，所以00π5sinsin(2π)cos25xkx=+−==．故答案为：55．16.已知ABC为等边三角形，2AB=，ABC所在

平面内的点P满足1,APABACAP−−=的最小值为____________．【答案】231−##123−+【解析】【分析】构造不等式去求AP的最小值【详解】22221222222232ABACABACABAC+=++=++=则()()231APAPABACABACAPABACABAC=−

−++−−−+=−（当且仅当APABAC−−与ABAC+方向相反时等号成立）故答案为：231−三．解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若角的终边上有一点(),8Pm−，且3cos5=−.（1）求m的值；（2）求()()()s

incos2tancos++−−−的值.【答案】（1）6−；（2）45.【解析】【分析】（1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出sin，进而可得出结果.【详解】（1）点P

到原点的距离为()222864rmm=+−=+，根据三角函数的概念可得23cos564mm==−+，解得6m=−，6m=（舍去）.（2）原式()()()sincos(sin)(sin)2sintancos(tan)cos++−−==−−−−−，由（1）

可得26410rm=+=，84sin5r−==−，所以原式4sin5=−=.【点睛】本题主要考查由三角函数的定义求参数，以及根据诱导公式化简求值，属于常考题型.18.已知函数()1sincos2fxxx=233cos24x−+.（1）求()fx的最小正周期；（2）若00,2x

，且()012fx=，求()02fx的值.【答案】(1)T=(2)34−【解析】【分析】（1）直接化简函数，再利用三角函数的周期公式求解.(2)先解方程()012fx=得到0x的值，再求()02fx的值.【详解】（1）()1sincos2fxxx

=233cos24x−+13sin244x=−()311cos2sin2423xx++=−．所以()fx的最小正周期T=．（2）因为00,2x，所以022,333x−−，又()001sin223fxx=−12=，所以

0232x−=，解得0526x=，所以()0526fxf=15sin2263=−143sin234==−．【点睛】把形如y＝asinx＋bcosx的函数化为()22s

inyabx+＝＋的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性，这是解决类似问题的必备步骤．根据三角函数值求角时，必须先求出角的范围，然后在该范围内求解．19.已知向量()()()sin1cos10axbxcm

=−=，，=，，，,其中04x，.(1)若的35ab=−,求tanx的值;(2)若ac+与ac−rr垂直,求实数m的取值范围.【答案】(1)12;(2)661122−−，，.【解析】【分析】(1)根据平面向量的数量积

列方程求出tanx的值，再根据x的范围确定tanx的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m的解析式，再求m的取值范围.【详解】(1)因为3sincos15abxx=−=−,即2sincos5xx=,所以222si

ncostan2sincostan15xxxxxx==++,所以22tan5tan20xx−+=即tan2x=或1tan2x=.因为04x，,所以tan01x，,即1tan2x=；(2)因为ac+与ac−rr垂直,()()2

20acacac+−=−=，ac=,所以221sinmx=+,因为04x，,所以2231sin12mx=+，,即661122m−−，，.【点睛

】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于点A，B，单位圆与x轴的正半轴交

于点M，且34MOBS=．,（Ⅰ）求cos22πβ−的值；（Ⅱ）求(2)OAOBOM+的取值范围．【答案】（Ⅰ）32−；（Ⅱ）3(,3]2.【解析】【分析】（Ⅰ）由三角形面积，结合三角形面积公式得23=，而cos2sin22ββ−=，

即可求值.（Ⅱ）由题设，应用辅助角公式可得(3sin(2))3OAOBOM+=+，根据π(0,)2，即可求范围.【详解】（Ⅰ）由题设知，131sin24MOBS==，即3sin2=，又为钝角，∴23=，∴313

cos2sin22sincos2()2222ββββ−===−=−.（Ⅱ）(22)OAOBOMOAOBOAOM=++，由AOM=，23BOA=−，∴33cos()2coscossin3sin()22(2)323OAOBOM

+=+=++=−，∵π(0,)2，即5(,)336+，∴33sin()(,3](2)32OAOBOM+=+.21.已知函数()()sin(0,0,)2fxAxA=+的部分图象如图所示．（1）求函数()yfx=在1,2上的单调递减区

间；（2）若函数()yfx=在区间,ab上恰有2022个零点，求ba−的取值范围．【答案】（1）111,6（2）)2021,2023【解析】【分析】（1）先求得()fx解析式，再去求函数()yfx=在1,2上的单调递减区间；（2）依据函数()yfx=的周期

性及对称性去求ba−的取值范围．【小问1详解】由题可得1A=，412233T=−=，则2πωπT==，当56x=时，()fx取得最大值，则()5ππ2πZ62kk+=+，所以()πφ2πZ3kk=−+，又因为πφ2，

故πφ3=−∴()πsinπ3fxx=−，令ππ3π2ππ2π232kxk+−+，Zk，则5112266kxk++，Zk，故()fx的单调递减区间为()51122Z66kkk++，，则()fx在12，上的单调递减区间为11

16，；【小问2详解】因为()fx周期为2，若函数()yfx=在区间,ab上恰有2022个零点，则101021101121ba+−+，解得ba−的取值范围为)20212023，．22.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现

有一块矩形ABCD草坪如下图所示，已知：120AB=米，603BC=米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，要求点O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD时上，且EOF90=.（1）设BOE=

，试求OEF的周长l关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.【答案】（1）()60cossin1cossinl++=，定义域为,63；（2）当60B

EAF==米时，铺路总费用最低，最低总费用为()3600021+元．【解析】【分析】（1）利用勾股定理通过lOEOFEF=++，得出()60cossin1cossinl++=，结合实际情况得出该函数的定义域；（2）设sincost+=，由题意知，要使得铺路

总费用最低，即为求OEF的周长1201lt=−最小，求出t的取值范围，根据该函数的单调性可得出l的最小值.【详解】（1）由题意，在RtBOE中，60OB=，2B=，BOE=，60cosOE=，

RtAOF中，60OA=，2AFO=，60sinOF=，又2EOF=，2222606060cossincossinEFOEOF=+=+=，所以606060cossincos

sinlOEOFEF=++=++，即()60cossin1cossinl++=.当点F在点D时，这时角最小，求得此时6=；当点E在C点时，这时角最大，求得此时3=.故此函数的定义域为,63；

（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF的周长l的最小值即可．由（1）得()60cossin1cossinl++=，,63，设sincos2sin4t=+=+，21sincos2t−=，则()()260cos

sin16011201cossin12tltt+++===−−，由,63，得5712412+，3122t+，则311212t+−−，从而121311t++−，当4=，即当60BE=时，()min12021l=+，答：当60BEAF==米时

，铺路总费用最低，最低总费用为()3600021+元．【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.