【文档说明】重庆市第八中学2024-2025学年高三上学期适应性月考卷（一）数学 Word版含解析.docx，共(12)页，344.229 KB，由管理员店铺上传

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数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号。都编号，应值号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需度动，用橡皮裤平净后，再选涂其他答案标号.在

试题卷上作答无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，等试用时120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.若命题，则命题为A.B.

C.D.2.若扇形的弧长为，面积为，则其圆心角（正角）为A.B.C.D.3.A.B.C.D.4.已知，且，则的最小值为A.1B.2C.4D.85.下列函数的图象不存在对称中心的是A.B.C.D.6.已知，则A.B.C.D.

7.已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为A.B.C.D.8.已知，若方程有6个不等实数根，则实数的取值范围为A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.将一

枚质地均匀的骰子连续抛掷两次.记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数大于2，则A.B.C.与相互独立D.与相互独立10.已知函数，满足，且对任意，都，当取最小值时，则下列正确的是A

.图象的对称轴方程为B.在上的值域为C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.在上单调递减11.已知，则下列说法正确的是A.方程有且只有一个实根B.存在正整数，使得对任意的，都有成立C.若对任意的，都有成立，则D.若方程有两

个不等实根，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知点在抛物线上，则到的准线的距离为___.13.若对恒成立，则实数的取值范围为___14.已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是___.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知数列na满足，()*3211,23naaaannnn++++=+N.（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnnnaabaa++−=，数列nb的前n项和为nS，求证：*31,82nnSN.16.（本小题满分15分

）某学生兴趣小组在研究所在学校的学生性别与身高（身高分为低于170cm和不低于170cm）的相关关系时，记事件A=“学生身高不低于170cm”，事件B=“学生为女生”.据该校以往的统计结果显示，()()()121,,336PAPBPAB===∣.

（1）求(),PABPAB−∣;（2）若从该校的其中一个班随机抽取36名学生、依据该校以往的统计结果，完成下列列联表，并依据小概率值0.005=的独立性检验.分析学生的性别与身高是否不低于170cm有关？性别身高合计2-3低于170c

m不低于170cm性别身高合计女男合计参考公式及数据：()()()()()22,nadbcxnabcdabcdacbd−==+++++++.0.010.0050.001ax6.6357.87910.82817.（本小题满分15分）在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，有1cos3

cosbBaA+=−.(1)若6A=，求B;（2）若3b=，求ABC的面积最大值.18.（本小题满分17分）已知双曲线C的中心为坐标原点，左、右顶点分别为()()124,0,4,0AA−，虚轴长为6.

（1）求双曲线C的方程；（2）过点()6,0R的直线l与C的右支交于,MN两点，若直线1AM与2AN交于点P.（i）证明：点P在定直线上；（ii）若直线1AN与2AM交于点Q，求PRQR的值.19.（本小题满分17分）已知函数()()()1

log0,1log1aaxfxaax+=+存在极大值()ga.（1）求a的取值范围；（2）若3327,24a，求()lngaa−的值域.数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号123456

78答案CABBDDCD【解析】1.命题𝑝是一个存在性命题,说明存在使𝑥2−4𝑥+3>0的实数𝑥,则它的否定是:不存在使𝑥2−4𝑥+3>0的实数𝑥,即对任意的实数𝑥2−4𝑥+3>0都不能成立,由以上的分析,可得¬𝑝为:∀𝑥>0,𝑥2−4𝑥+3≤0,

故选C.2.设该扇形的圆心角为𝜃,半径为𝑟,则{𝜃𝑟=𝜋,12𝜋𝑟=2𝜋⇒{𝜃=𝜋4𝑟=4,故选A.3.tan240∘+sin300∘=tan(180∘+60∘)+sin(360∘−60∘)=tan60∘−si

n60∘=√32,故选B.4.1𝑎+1𝑏+4𝑎+𝑏=𝑎+𝑏4+4𝑎+𝑏≥2,当且仅当𝑎=𝑏=2时,取“=”成立,故选B.5.A选项中𝑦=𝑥3为奇函数,故𝑦=𝑥3+1有对称中心(0,1);B选项中𝑦=𝑥+1𝑥为奇函数,将其右移一个

单位后得到𝑦=𝑥−1+1𝑥−1=𝑥2−2𝑥+2𝑥−1,故有对称中心(1,0);C选项中𝑦=e𝑥−1e𝑥+1为奇函数,有对称中心(0,0);D选项中𝑦=|𝑥+1𝑥|不存在对称中心,故选D.6.已知cos(𝛼−𝜋6)=23,则sin(

2𝛼+𝜋6)=sin[𝜋2+(2𝛼−𝜋3)]=cos(2𝛼−𝜋3)=2cos2(𝛼−𝜋6)−1=2×49−1=−19,故选D.7.函数𝑓(𝑥)=2ln𝑥−12𝑎𝑥2−2𝑥在(12,4)上存在单调递增区间,即𝑓′(𝑥)=2𝑥−𝑎𝑥−2

>0在区间(12,4)上有解,即2𝑥2−2𝑥>𝑎,令𝑡=1𝑥∈(14,2),即2𝑡2−2𝑡>𝑎有解,故取𝑡=2,得𝑎<4,故选C.8.作出𝑓(𝑥)={|log2(1−𝑥)|,𝑥<1,−(𝑥−2)2+𝑚,𝑥≥1的图象,如图所示:𝑓(1)=𝑚−1,

𝑓(2)=𝑚,令𝑡=𝑓(𝑥),先解𝑓(𝑡)=0,知其有两根𝑡1=0和𝑡2=2+√𝑚,则方程𝑓(𝑥)=𝑡1=0提供2个根,故方程𝑓(𝑥)=𝑡2提供4个不等实根,故𝑚−1≤𝑡2<𝑚,即𝑚−1≤2+√𝑚<𝑚,解得𝑚∈(4,√13+72],故选D.二、多

项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案ABDADACD【解析】9.基本事件(𝑥,𝑦)总数𝑛=6×6=36,事件𝐴包含

的基本事件(𝑥,𝑦)有18个,∴𝑃(𝐴)=1836=12,事件𝐵包含的基本事件(𝑥,𝑦)有9个,所以𝑃(𝐵)=14,故A正确;事件𝐶包含的基本事件(𝑥,𝑦)有24个,𝑃(𝐶)=2436=23,故B正确

;𝐴𝐵包含的基本事件有9个,𝑃(𝐴𝐵)=936=14,𝑃(𝐴𝐵)≠𝑃(𝐴)𝑃(𝐵),∴𝐴与𝐵不是相互独立事件,故C错误;𝐵𝐶包含的基本事件有6个,𝑃(𝐵𝐶)=16=�

�(𝐵)𝑃(𝐶),∴𝐵与𝐶是相互独立事件,故D正确,故选ABD.10.因为𝑓(𝑥)+𝑓(−𝜋3−𝑥)=2,所以𝑓(𝑥)的图象关于点(−𝜋6,1)对称,又对任意𝑥∈𝐑,都有𝑓(𝑥)≥𝑓(−5𝜋12),所以当𝑥=−5𝜋12时,𝑓(𝑥)取得最小值,当�

�取最小值时,即周期𝑇最大,可得𝑇4=−𝜋6−(−5𝜋12),得𝑇=𝜋,所以𝜔=2𝜋𝑇=2,函数𝑓(𝑥)在𝑥=−5𝜋12时取得最小值,所以2sin(−5𝜋6+𝜑)+1=−1.因为|𝜑|<𝜋2,所以𝜑=𝜋

3.即𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝜋3)+1.令2𝑥+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝐙,得𝑥=𝜋12+𝑘𝜋2,𝑘∈𝐙.故A正确;当𝑥∈[−𝜋12,𝜋6]时,2𝑥+𝜋3∈[𝜋6,2𝜋3].此时𝑓(𝑥)的值域为[2,

3],故B错误;将𝑦=2sin(2𝑥−𝜋6)+1的图象向左平移𝜋6个单位长度得到函数𝑦=2sin(2𝑥+𝜋6)+1的图象,故C错误;当𝑥∈[𝜋6,𝜋3]时,2𝑥+𝜋3∈[2𝜋3,𝜋]

,𝑓(𝑥)单调递减,故D正确,故选AD.11.𝑓(𝑥)=e𝑥ln𝑥,故𝑓′(𝑥)=e𝑥ln𝑥⋅(ln𝑥+1),对于A选项,𝑓′(𝑥)只有𝑥=1e这一个变号零点,故𝑓(𝑥)在

(0,1e)上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增,故在𝑥=1e处取得极小值𝑓(1e)=(1e)1e,𝑥→+∞时,𝑓(𝑥)→+∞,当0<𝑥<1e时,𝑓(𝑥)=e𝑥ln𝑥<e0=1,故方程�

�(𝑥)=e只有一个实根,A选项正确;对于B选项,𝑓(𝑥𝑛)≥𝑓(𝑥)⇒𝑥𝑛ln𝑥𝑛≥𝑥ln𝑥,整理得𝑛(𝑥𝑛−1−1𝑛)ln𝑥≥0,由于在𝑥∈(0,1)上ln𝑥<0,𝑥∈(1,+∞)上ln𝑥>0,故𝑥𝑛−1−1𝑛也需要在𝑥∈

(0,1)上小于0,𝑥∈(1,+∞)上大于0,显然不存在正整数𝑛≥2满足题意,B选项错误;对于C选项,ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎(𝑥−1)−1≥0,发现ℎ(1)=0,故𝑥=1必为极小值点,由ℎ′(𝑥)=e𝑥ln𝑥⋅(ln𝑥+1)−𝑎知ℎ′(1)=

0得到𝑎=1,检验当𝑎=1时,对于ℎ′(𝑥)=e𝑥ln𝑥⋅(ln𝑥+1)−1,𝑥>1时,ln𝑥+1>1,e𝑥ln𝑥>1,故ℎ′(𝑥)>0,0<𝑥<1时,ln𝑥+1<1,0<e𝑥ln𝑥<1,故ℎ′(𝑥)<0,故ℎ(𝑥)在𝑥=1取最小值0,故C选项

正确;对于D选项,由C选项知𝑓(𝑥)≥𝑥,且𝑦=𝑥是𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,1)处的切线,不妨设0<𝑥1<𝑥2,故𝑚=𝑓(𝑥2)≥𝑥2,即有0<𝑥1<𝑥2≤𝑚,故|𝑥1−𝑥2|<𝑚,D选项正确,故选ACD

.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)题号121314答案74[1e,+∞)(0,157]∪[154,307]【解析】12.点𝐴(1,√3)在抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥上,则3=2𝑝,解得𝑝=32,由抛物线的定义可知,𝐴到𝐶的准线的距离为𝑥𝐴+𝑝2=1+

34=74.13.两边同乘以𝑥后移项,得𝑎𝑥e𝑎𝑥≥(𝑥+1)ln𝑥−𝑎𝑥,即𝑎𝑥(e𝑎𝑥+1)≥(𝑥+1)ln𝑥=(eln𝑥+1)ln𝑥.令𝑛(𝑥)=𝑥(e𝑥+1),则𝑛(𝑎𝑥

)≥𝑛(ln𝑥).𝑛′(𝑥)=e𝑥+1+𝑥e𝑥,由𝑥∈(0,+∞),𝑛′(𝑥)=e𝑥+1+𝑥e𝑥>0,所以𝑛(𝑥)在(0,+∞)上单调递增.因为𝑛(𝑎𝑥)≥𝑛(ln𝑥),所以𝑎𝑥≥ln𝑥,所以𝑎≥ln𝑥𝑥,令𝜑(𝑥)=ln𝑥𝑥(𝑥>0)

,则𝜑′(𝑥)=1−ln𝑥𝑥2(𝑥>0),当0<𝑥<e时,𝜑′(𝑥)>0,当𝑥>e时,𝜑′(𝑥)<0,所以𝜑(𝑥)在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减,所以𝜑(𝑥)max=𝜑(e)=lnee=1e,所以

𝑎≥1e.14.由函数𝑓(𝑥)=𝑎sin𝜔𝑥+𝑏cos𝜔𝑥=√𝑎2+𝑏2sin(𝜔𝑥+𝜑)(tan𝜑=𝑏𝑎,𝜑∈(0,𝜋2),可知函数周期是2𝜋𝜔,由①知𝑓′(𝜋3)=𝜔(𝑎cos𝜔𝜋3−𝑏sin𝜔𝜋3)=0⇒tan𝜔𝜋3=𝑎

𝑏,且函数的一条对称轴是𝑥=𝜋3,所以𝜔×𝜋3+𝜑=𝜋2+𝑚𝜋(𝑚∈𝐙)⇒𝜑=−𝜔𝜋3+𝜋2+𝑚𝜋;又因为𝑓(𝑥)在区间[3𝜋5,4𝜋5]是单调函数,所以[3𝜋5𝜔+𝜑,4𝜋5𝜔+𝜑]⊆[−𝜋2+�

�𝜋,𝜋2+𝑘𝜋](𝑘∈𝐙),{3𝜋5𝜔+𝜑≥−𝜋2+𝑘𝜋4𝜋5𝜔+𝜑≤𝜋2+𝑘𝜋12𝑇≥𝜋5⇒{3𝜋5𝜔−𝜔𝜋3+𝜋2+𝑚𝜋≥−𝜋2+𝑘𝜋4𝜋5𝜔−𝜔𝜋3+𝜋2+𝑚𝜋≤𝜋2+𝑘𝜋1

2𝑇≥𝜋5⇒{𝜔≥−154+154(𝑘−𝑚)𝜔≤157(𝑘−𝑚)0<𝜔≤5⇒0<𝜔≤157或154≤𝜔≤307.四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题

满分13分)（1）解:已知𝑎1+𝑎22+𝑎33+⋯+𝑎𝑛𝑛=𝑛(𝑛+1),𝑛∈𝐍∗,当𝑛=1时,𝑎1=2;当𝑛≥2时,𝑎1+𝑎22+𝑎33+⋯+𝑎𝑛−1𝑛−1=𝑛(𝑛−1)⇒𝑎𝑛𝑛=2𝑛⇒𝑎𝑛

=2𝑛2,综上:𝑎𝑛=2𝑛2,𝑛∈𝐍∗..(6分)（2）证明:𝑏𝑛=𝑎𝑛+1−𝑎𝑛𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1=12(1𝑛2−1(𝑛+1)2)⇒𝑆𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛=12(1−1(𝑛+1)2),.(9分)∵𝑆𝑛=

12(1−1(𝑛+1)2),𝑛∈𝐍∗单调递增,(10分)∴𝑛=1时,(𝑆𝑛)min=𝑆1=38,(11分)∵𝑛∈𝐍∗,1(𝑛+1)2>0,∴1−1(𝑛+1)2<1,即𝑆𝑛<12

,.(12分)因此:∀𝑛∈𝐍∗,38≤𝑆𝑛<12.(13分)16.(本小题满分15分)解:(1)𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴∣𝐵)𝑃(𝐵)=16×23=19;由全概率公式可得𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐴∣𝐵)+𝑃(𝐵⃐

)⋅𝑃(𝐴∣𝐵⃐),解得𝑃(𝐴∣𝐵⃐)=23.-(6分)（2）完成列联表如下:性别身高合计2-3低于170cm不低于170cm女20424男4812合计241236零假设为𝐻0:学生的性别与身高是否不低于

170cm无关,根据列联表中的数据,经计算得到𝜒2=36×(20×8−4×4)224×12×12×24=9>7.879=𝑥0.005,根据小概率值𝛼=0.005的独立性检验,我们推断𝐻0不成立,即认为学生的性别与身高是否不低

于170cm有关,此推断犯错误的概率不大于0.005..(15分)17.(本小题满分15分)解:(1)在△𝐴𝐵𝐶中,∵𝐴=𝜋6,∴sin𝐴=12,cos𝐴=√32,由正弦定理,sin𝐴(1+cos𝐵)=sin𝐵(√3−cos𝐴),1+cos𝐵

2=sin𝐵(√3−√32)=√3sin𝐵2,则有1+cos𝐵=√3sin𝐵⇒2cos2𝐵2=2√3sin𝐵2cos𝐵2⇒tan𝐵2=√33,由于𝐵∈(0,𝜋),故𝐵2=𝜋6⇒𝐵=𝜋3..(6分)（2）原等式变为sin𝐴(1

+cos𝐵)=sin𝐵(√3−cos𝐴),∴√3sin𝐵−cos𝐴sin𝐵=sin𝐴+cos𝐵sin𝐴,∴√3sin𝐵=sin𝐴+sin(𝐴+𝐵)=sin𝐴+sin(𝜋−𝐶)=sin𝐴+sin𝐶,由正弦定理得√3𝑏=𝑎+𝑐,∵𝑏

=√3,∴𝑎+𝑐=3,𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵,由余弦定理知cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=(𝑎+𝑐)2−3−2𝑎𝑐2𝑎𝑐=3𝑎𝑐−1,其中𝑎𝑐≤(𝑎+𝑐)24=94,𝑎=𝑐时取等,𝑆

△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐√1−cos2𝐵=12𝑎𝑐√6𝑎𝑐−9(𝑎𝑐)2=12√6𝑎𝑐−9≤12√6×94−9=3√24..(15分)法二:由cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22�

�𝑐=(𝑎+𝑐)2−3−2𝑎𝑐2𝑎𝑐=3𝑎𝑐−1⇒31+cos𝐵=𝑎𝑐,其中𝑎𝑐≤(𝑎+𝑐)24=94,故cos𝐵≥13,𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=1231+cos𝐵sin𝐵=3sin𝐵2(1+cos𝐵)=3√1−

cos2𝐵2(1+cos𝐵),令𝑡=1+cos𝐵≥43,𝑆△𝐴𝐵𝐶=32√1−cos𝐵1+cos𝐵=32√2−𝑡𝑡≤32√32−1=3√24.法三:由正弦定理得√3𝑏=𝑎+𝑐,∵𝑏=√3,∴𝑎+𝑐=3,则点𝐵可看作是以𝐴,𝐶为焦点,3为长轴长的椭圆上

的点,以𝐴𝐶中点为原点,𝐴𝐶所在直线为𝑥轴建立直角坐标系,则点𝐵轨迹方程为:𝑥294+𝑦232=1,故𝑆△𝐴𝐵𝐶=12|𝐴𝐶|⋅|𝑦𝐵|≤12×√3×√32=3√24.18.(本小题满分17分)（1）解

:设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0),依题意有:𝑎=4,2𝑏=6,∴𝑏=3,所以双曲线方程为𝑥216−𝑦29=1..(4分)(2)(i)证明:设直线𝑀𝑁方程为:𝑥=𝑚�

�+6,设𝑀(𝑥1,𝑦1),𝑁(𝑥2,𝑦2),联立方程{𝑥=𝑚𝑦+6𝑥216−𝑦29=1,消去𝑥得:(9𝑚2−16)𝑦2+108𝑚𝑦+180=0,∵𝑚≠±43,∴𝑦1+𝑦2=

−108𝑚9𝑚2−16,𝑦1𝑦2=1809𝑚2−16,∵𝑀(𝑥1,𝑦1)是双曲线𝐶上的点,∴𝑥1216−𝑦129=1,∴𝑥12−1616=𝑦129,∴(𝑥1+4)(𝑥1−4)𝑦12=169,∴𝑥1+4𝑦1=16𝑦19(𝑥1−4),直线𝐴1𝑀:𝑦=�

�1𝑥1+4(𝑥+4),直线𝐴2𝑁:𝑦=𝑦2𝑥2−4(𝑥−4),联立方程得𝑦1𝑥1+4(𝑥+4)=𝑦2𝑥2−4(𝑥−4),∴𝑥+4𝑥−4=𝑦2(𝑥1+4)𝑦1(�

�2−4)=𝑥1+4𝑦1⋅𝑦2𝑥2−4=16𝑦19(𝑥1−4)⋅𝑦2(𝑥2−4)=16𝑦19(𝑚𝑦1+2)⋅𝑦2(𝑚𝑦2+2)=16𝑦1𝑦29𝑚2𝑦1𝑦2+18𝑚(𝑦1+𝑦2)+36=−5,解得𝑥=83,故

点𝑃在定直线𝑥=83上..(12分)(ii)解:由双曲线对称性可知,点𝑄也在直线𝑥=83上,设𝑃(83,𝑦3),𝑄(83,𝑦4),点𝑃在直线𝐴1𝑀上,所以𝑦3=𝑦1𝑥1+4(83+4)=20𝑦13(𝑥1+4),点

𝑄在直线𝐴1𝑁上,所以𝑦4=𝑦2𝑥2+4(83+4)=20𝑦23(𝑥2+4),所以𝑃𝑅⋅𝑄𝑅=(103,−𝑦3)⋅(103,−𝑦4)=1009+𝑦3𝑦4=1009+4009⋅𝑦1𝑦2(𝑥1+4)(𝑥2+4)=1009+4009⋅

𝑦1𝑦2(𝑚𝑦1+10)(𝑚𝑦2+10)=1009+4009⋅𝑦1𝑦2𝑚2𝑦1𝑦2+10𝑚(𝑦1+𝑦2)+100=1009+4009⋅1809𝑚2−16𝑚21809𝑚2−

16−1080𝑚29𝑚2−16+100=1009−4009×980=559,所以𝑃𝑅⋅𝑄𝑅=559..(17分)19.(本小题满分17分)解:(1)𝑓(𝑥)=ln𝑎+ln𝑥ln(𝑥+1),𝑓′(𝑥)=𝑥+1𝑥ln(𝑥+1)−ln𝑥−ln𝑎(

𝑥+1)ln2(𝑥+1),.(3分)令ℎ(𝑥)=𝑥+1𝑥ln(𝑥+1)−ln𝑥,则ℎ′(𝑥)=−ln(𝑥+1)𝑥2<0在(0,+∞)上恒成立,所以ℎ(𝑥)在(0,+∞)上单减..(5分

)因为lim𝑥→0+ℎ(𝑥)=+∞,lim𝑥→+∞ℎ(𝑥)=0,所以:①当ln𝑎<0,即𝑎∈(0,1)时,ℎ(𝑥)−ln𝑎>0,即𝑓′(𝑥)>0在(0,+∞)上恒成立,即𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单增,无极大值,不合题意,舍;②当ln

𝑎>0,即𝑎∈(1,+∞)时,存在𝑥0∈(0,+∞),使得ℎ(𝑥0)=ln𝑎,此时,当𝑥∈(0,𝑥0)时,ℎ(𝑥)−ln𝑎>0⇒𝑓′(𝑥)>0,当𝑥∈(𝑥0,+∞)时,ℎ(𝑥)−ln𝑎<0⇒𝑓′(𝑥)<0,则𝑓(𝑥)在(0,𝑥0)上单增,

在(𝑥0,+∞)上单减.所以𝑓(𝑥)存在极大值𝑓(𝑥0),符合题意.综上,𝑎∈(1,+∞)..(8分)（2）由（1）知,ℎ(𝑥0)=ln𝑎∈[ln3√32,ln274],且ℎ(𝑥)在(0,+∞)上单减,ℎ(12)=ln274,ℎ(2)=ln3√32,所以𝑥0∈[12,2]且𝑎

与𝑥0一一对应.(10分)因为𝑔(𝑎)−ln𝑎=𝑓(𝑥0)−ℎ(𝑥0)=ln𝑎+ln𝑥0ln(𝑥0+1)−(𝑥0+1)ln(𝑥0+1)𝑥0+ln𝑥0=1+1−(𝑥0+1)ln(𝑥0+1)𝑥0+ln𝑥

0,(13分)令𝜑(𝑥)=1+1−(𝑥+1)⋅ln(𝑥+1)𝑥+ln𝑥,𝑥∈[12,2],则𝜑′(𝑥)=ln(𝑥+1)−1𝑥2,所以𝜑(𝑥)在(12,e−1)上单减,在(e−1,2)上单增.又𝜑(e−1)=l

n(e−1),𝜑(2)<𝜑(12)=3−ln274,所以𝜑(𝑥)∈[ln(e−1),3−ln274],即𝑔(𝑎)−ln𝑎∈[ln(e−1),3−ln274].(17分)